反比例函数-2师

第十二讲反比例函数

一、反比例函数基础知识

1.函数的定义

函数y=&(左70)称为反比例函数，定义域为xwO的所有实数.

x

2.函数的性质

(1)函数的图像

(2)单调性

k

反比例函数,=勺(左NO)在左＞0且x＞0时，函数值y随x增大而减小；在左＞0且x＜0时，函数

x

值y随x增大而减小；也就是说，人＞0时，反比例函数在第一象限是单调递减的，在第三象限也是单调

递减的.

反比例函数,=勺(kNO)在左＜0且x＞0时，函数值y随x增大而增大；在左＜0且x＜0时，函数

x

值y随x增大而增大；也就是说，左＜0时，反比例函数在第一象限是单调递增的，在第三象限也是单调

递增的.

(3)对称性

k

反比例函数y=-(k^O)的图像上的点是关于原点0成中心对称.

x

在左＞0时，函数y='(4W0)的图像关于直线y=x对称；

X

k

在左＜0时，函数y=勺(左。0)的图像关于直线丫=一乂对称；

x

二、例题部分

例1.已知函数y=(帆—1)］病一2为反比例函数，求m的值；

解析：根据反比例函数的概念，反比例函数产上=

kx：不仅需x的次数是-1,且k#0.

由m?-2—1,得m=di,而41#0,即mWL

_2

例2.给出函数：①y=2x；②y=-2x+l；③y=—(x〉O)；(4)y=%2(x<-1),其中y随着x的增

x

大而减小的是().

A.①②B.①③C.②④D.②③④

解：D

例3.若M（2,2）和N©-1-"）是反比例函数丁=4的图像上的两个点，则一次函数丫=履+5的图像

X

经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

［解］:k<0,b<0.故过二、三、四象限，选D

［解］:分a>0和a<0两种情况讨论，选A

例5.已知一次函数％=履+6,y随着x的增大而减小，且占>0；则它与反比例函数%=4在同一坐

标系中的图像只可能是（）

例6.已知'=%+%，%与x成反比例，%与1一2成正比例，且当1=3时，％=%=5,求当％=-5

时，y的值；

解设y1=1伏i—0),丁2=42(x-2).当x=3

时,yi=yi=5,求一与后2,得

ki=3X5=15,k2=丁、=5.

■■v=yi+Ji=?+5(x-2).

当x5,得y=弋+5(-5-2)=-38

-J

例7.如图，在反比例函数的图像上任取一点P,过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N,已知

矩形PMON的面积为6,求该反比例函数的解析式.

［解］:设P点坐标为（m,n）

例8.（江苏中考题）已知反比例函数y=&的图像经过点A,过点A作AB，x轴于点B,/ABC的面积

X

为石，求该反比例函数的解析式.

解:设点4的坐标为（mg。

•.•点4在第二象限.jy,

m<0,n>0oJ

轴于6,.一■女（r

mn=-2\'3~Q

又反比例函数尸会的图像经过点A.

•••△A08的面积为\/丁，j

/.n=—,与，

..^-OB-A^VT''m

2图2

所求反比例函数的解析式为:尸心

X

［小结］:设点A是反比例函数y=&（左W0）的图像上任意一点，过点A作AB_Lx轴于B点，连结OA,则

X

有SAAB。=］|小

4

例9.（2003年重庆中招）如图，函数y二-履（攵。0）与函数丁=——的图像交于A、B两点，过点A

x

作AC垂直于y轴，垂足为C,则/BOC的面积是多少？

解:A=-4,由结论可知：

SA4OC=yl-41=2.由于41两点关于。点

成中心对称，

所以OA=。8,所以SA.”=S&M=2.

2

例10.已知A、B两点是反比例函数y=—（犬>0）的图像上任意两点，过A、B两点分别作y轴的垂线,

x

垂足分别为c、D,连结AB、AO、BO,则梯形ABDC的面积与/AOB的面积比

是()

A.2:1B.1:2C.1:1D.2:3

解析设AO、BD交于点E.

S律彩ACDE=•

则5八4=SAME+SABOS.

=SAME+S梯潜朴OE+S鼻形AB”.

故选(C).

例11.(2001年吉林省中考题)已知反比例函数y=和一次函数y=2x—l,其中一次函数的图像经过

2x

(a,b)、(a+l,b+Q两点:

(1)求反比例函数的解析式；

(2)已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点的坐标.

.•反比例函数的解析式为'

解：⑴’.直线经过点(a,切、(a+1,b

+以，

b=2a~1,

、b+k=2(a+l)-1.-A点在第一象限，

解得k=2..'点A的坐标为(1,1).

Q

例12.(2001年中考题)如图，已知点A(4,加)、B(-l/)在反比例函数y二一的图像上，直线AB与x轴

x

交于点C,如果点D在y轴上，且DA=DC,求点D的坐标.

解油点4、3在了=的图像上，得m

/x

=2,”=-8,

设D(0,y).

则有A(4,2)>B(-1,-8).

设宜线AB为丁=kx+b,•;DA=DC,

.•.〉一_U

所以，直线AB为y=2x-6,且有C(3,

故有D0,1

Q).

2加+Sn

例13.(2001年天津市中考题)已知关于x的一次函数y=s+3”和反比例函数y=----L的图像都

x

经过点(L-2),求：

(1)一次函数和反比例函数的解析式；

(2)两个函数图像的另一个交点的坐标.

解，由题意有

m+3w=-2,y=4x-6,

解得

{2m+5w=1X(-2).

XI=1，［X2=t

解A匍,w=4,1

I〃=-2.八=-2,葭…

故一次函数的解析式为丁=4x-6,反

「、

.,所求的另一个交点为十,-4.

比例函数的解析式为.v=-V

例14.(2003年天津中招)如图,一次函数y=Ax+b(左，0)的图像与x轴,y轴分别交于A,B两点,且与反比

例函数y=—(m丰0)的图像在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若0A=0B=0D=l.

x

(1)求点A,B,D的坐标；

(2)求一次函数和反比例函数的解析式.

解：(1)因为。4=OB=OD=1,所以4、

B、D三点的坐标分别为A(-1,0)

D(l,0).

(2)因为点A、8在一次函数y=kx+b(b

#0)的图象上，

所以解得仁?

=1.16=1.

所以一次函数的解析式为y=x+I.

因为点C在一次函数,=«+1的图象上,

且CD_L*轴,所以点C的坐标为(1,2).又因

为点C在反比例函数y=y(m#0)的图象

上，所以m=2.

所以解析式为r=p

1.y=勺+。（攵w0）的图像可由y二生的图像向y轴正方向平移b个单位得到；

xx

2.y=上业丰0）的图像可由y=-的图像向x轴正方向平移a个单位得到；

x-ax

3.y=—匚+以左W0）的图像可由y=勺的图像先向x轴正方向平移a个单位，再向y轴正方向平移b

x-ax

个单位得到.

练习题

1.已知反比例函数v="（左＜0）的图像上有两点,5（x,,y2），且西＜%,则％的值是（）

x

A.正数B.负数C.非正数D.不能确定

［解］:D

2.在同一坐标系中，函数y=人和y=Ax+3（k是不等于0的常数）的图像大致是（）

［解］:A

t1

3.已知反比例函数y=±（左NO）,当x＞0时，y随着x的增大而增大，那么一次函数y=—"-4攵的

x2

图像经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

（初中数学竞赛同步辅导，第三分册，P103,