新人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间中直线、平面的垂直培优练习题

第3课时空间中直线、平面的垂直

《必备知识-圈实

知识点空间中直线、平面垂直的向量表示

(1)两直线垂直的判定方法

设直线人，/2的方向向量分别为“1,U2,则

Z1_L/2=〃l-L〃2O@lL2=0.

(2)直线和平面垂直的判定方法

设直线/的方向向量为〃，平面。的法向量为小则

4£R,使得u=Xn.

(3)平面和平面垂直的判定方法

设平面Q,£的法向量分别为"2,则

aip=〃iL〃2=〃r〃2=0.

♦即时训练

1.若平面a,4的法向量分别为a=(—1,2,4),b=(x,-1,—2),且a,6

则x的值为()

A.10B.-10

C.；D.-g

解析：选B.因为a_L夕，所以a仍=(一1,2,4)-(%,—1,—2)=0,解得x=

-10.

2.设直线I的一个方向向量为a=(l,一|),平面a的法向量为"=

gi，则()

A.I//aB.Z_La

C./与。斜交D.无法判定

3

解析：选B.由题意得n//a,所以/_La,故选B.

关键能力0提升

考点一直线与直线垂直的证明

El如图，已知正三棱柱ABC-ALBCI的各棱长都为1,

4,

般是底面上3c边的中点,N是侧棱CC1上的点，且CN=(CC1.B.C,

求证：ABi±MN.

【证明】方法一：设协=a,AC=b,AA\=c,则由已知

条件和正三棱柱的性质,

得⑷=|Z>|=|c|=l,

ac=bc=Q,ABi=a+c,

AM=1(a+/,),AN=b-\~^c,

60°+0-0+0+|=0.

所以Qi，疚，所以ABiLMN.

方法二:

设A3中点为。，作。Oi〃AAi.以。为坐标原点，OB,0C,。。所在直线

为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得A(一/0,0

0,0),

cjo,坐，o),乂0,坐，口,0，1),

因为“为BC中点，所以需，乎，o).

所以疚=［一:,坐，j,ABi=(l,0,1),

所以疝&1=—1+0+(=0.

所以说所以ABiLMN.

陶题技巧------------------------------

利用向量证明线线垂直的方法

(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向

量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直

线互相垂直;

(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形,

将两直线的方向向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线的方向

向量的数量积等于0,从而证明两条直线互相垂直.

＜跟踪训练如图，在四棱锥P-A3CD中,底面A3CD,

底面A3CD为正方形，PD=DC,E,R分别是A3,P3的中点.

求证：EF±CD.

证明：以。为原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，

设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),

aaaa

0,P(0,0,a),25V2

所以辞=(—0，"，DC=(0,a,0),

因为辞DC=(音,0,?-(0,a,0)=0,

所以EFLDC.

考点二直线与平面垂直的证明

ET21如图所示，在正方体ABCD-ALBICLDI中，E,R分别

是BBi,DbBi的中点.求证：EfU平面BAC.

【证明】方法一：设正方体的棱长为2,以。为原点，

DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，

则A(2,0,0),C(0,2,0),Bi(2,2,2),E(2,2,1),F(l,1,2).

所以辞=(-1,-1,1),

ABi=(0,2,2),AC=(~2,2,0).

所以律=-1,1)-(0,2,2)=(-l)X0+(-1)X2+1X2=0,

EFAC=(~1,-1,l)-(~2,2,0)=2—2+0=0,

所以辞，Qi,EF±AC,

所以EfUAB,EF±AC.

5LABiHAC=A,ABi,ACu平面SAC,

所以EfU平面BiAC.

方法二：由方法一得Qi=(0,2,2),AC=(-2,2,0),EF=(-1,-1,

1).

设平面BAC的法向量为"=(x,y,z),

ABin=0,

贝(

AC-n=0,

2x+2z=0,

即＜

〔一2x+2y=0.

取x=l,则y=l,z=—1,

所以〃=(1,1,-1),所以律=一”,

所以律〃"，所以EfU平面BMC.

胭题技巧------------------------------

用坐标法证明线面垂直的方法及步骤

方法一：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.

(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.

方法二：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)求出平面的法向量.

(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.

＜跟踪训练如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,

AB±AD,AB=4,AD=2\[2,CD=2,必，平面A3CD,PA=

4.求证：皮)，平面PAC.

证明：因为平面ABC。，AB1AD,所以以A为坐标原

点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、2轴建立空间直

角坐标系.

则3(4,0,0),P(0,0,4),D(0,2吸，0),C(2,2y[2,

0),A(0,0,0),

所以应)=(-4,2^2,0),

AC=(2,2y[2,0),AP=(0,0,4),

所以防AC=(—4)X2+2吸X2y/2+0X0=0,

BDAP=(—4)X0+2/X0+0X4=0,所以BDLAC,BD±AP.

因为APAAC=A,AC,APu平面RIC,3D。平面B4C,所以3D，平面必C.

考点三平面与平面垂直的证明

Em

如图，在圆锥尸。中，已知。。=啦，。。的直径AB=2,C是◎的中点,

。为AC的中点.证明：平面尸平面必C.

【证明】如图所示，以。为坐标原点，OB,0C,，点的方向分别为x轴、

y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则

0(0,0,0),4—1,0,0),B(l,0,0),C(0,1,0),P(0,0,y/2),。(一今0),

所以沅TG，I，0),OP=(0,0,的，戌=(—1,0,—g,PC=(0,1,

一地).设“1=(X1,yi,Z1)是平面P。。的一个法向量，则由“1・应)=0,ni-OP=

0,得所以zi=0,xi=yi,取yi=l,得〃i=(l,1,0).

Szi=0,

设“2=(x2,y2,Z2)是平面R4C的一个法向量，则由“2•戌=0,n2-PC=0,

—九2—0,

得，厂所以X2=—巾Z2,y2=-\j2z2,取Z2=l,得"2=(一也，/，

j2-y/2z2=0,'

1).因为〃r〃2=(l,1,0)•(一啦，1)=0,所以〃1，〃2,所以平面平

面PAC.

胭题技巧-----------------------

向量证明面面垂直的方法

利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定

定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平

面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.

＜跟踪训练如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B

AB±BC,AB=BC=2,=E为的中点，证明：平面小今。

AEC平面A41C1C.4庭〜

X

证明：由题意得A3,BC,3LB两两垂直，以3为坐标原点，BA,BC,BBi

所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0),Ai(2,0,1),C(0,2,0),Ci(0,2,1),E(0,0,J,

则筋i=(0,0,1),AC=(-2,2,0),ACi=(-2,2,1),翁=[-2,0,1

设平面A41cle的法向量为〃i=(xi,yi,zi),

m-AAi=0,[zi=0,

则J即1

nr-AC=0,[—2xi+2yi=0,

令xi=l,得y=l,所以〃i=(l,1,0).

设平面AEG的法向量为“2=(x2,yi,Z2),

H2-ACI=0,

则＜_

”2•屈=0,

-2x2~h2y2^~Z2=0,

即＜1

—2X2+]Z2=0,

令Z2=4,得X2=l,y2=—l,所以“2=(1,—1,4).

因为ni-n2=lXl+lX(-l)+0X4=0,

所以"I_L"2,所以平面AECi_L平面A41cle.

《课堂巩固自1测

1.已知三条直线/l,h,的一个方向向量分别为4=(4,-1,0),b=(l,

4,5),c=(-3,12,-9),则()

A./l±/2,但/1与不垂直

B./l±/3,但/1与/2不垂直

C./2XZ3,但与/1不垂直

D./1,b,/3两两互相垂直

解析:选A.因为a彷=(4,-1,0)-(1,4,5)=4—4+0=0,a-c=(4,-1,

0)-(-3,12,—9)=-12—12+0=-24W0,bc=(l,4,5＞(—3,12,-9)=-

3+48—45=0,所以a_l_万，a与c不垂直，b.Lc,所以Z2XZ3,但/1与/3

不垂直.

2.平面a的一个法向量为桃=(1,2,0),平面夕的一个法向量为”=(2,

—1,0),则平面a与平面少的位置关系是()

A.平行B.相交但不垂直

C.垂直D.不能确定

解析：选C.因为加2,0).(2,-1,0)=0,所以两个法向量垂直，从

而得到两个平面垂直，故选C.

3.(多选)(2022・肥城高二期中)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关

系的结论中，正确的是()

A.两条不重合直线/i,办的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,一

3,1),则/1〃/2

B.直线/的方向向量a=(l,-1,2),平面a的法向量是u=(6,4,—1),

则l±a

C.平面a,4的法向量分别是"=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则a,4

D.直线/的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是〃=(0,—5,0),

则l//a

解析：选AC.对于A,两条不重合直线/i,6的方向向量分别是a=(2,3,

—1),8=(—2,—3,1),且Z>=—a,所以h〃b,故A正确；

对于B,直线/的方向向量a=(l,—1,2),平面a的法向量是〃=(6,4,

—1)JLau=1X6—1X4+2X(—1)=0,所以/〃a或仁々，故B错误；

对于C,平面a,4的法向量分别是"=(2,2,-1),v=(-3,4,2),且

=2X(—3)+2X4—1X2=0.所以a,色故C正确；

对于D,直线/的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是〃=(0,—5,

0),且"=一1a,所以/_La,故D错误.故选AC.

4.如图，已知正三棱柱ABCAbBCi的各棱长都是4,E是

的中点，动点R在侧棱CQ上，且不与点C重合.当CR

=1时，求证：EF1A1C.

证明：

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),BQ小,2,0),C(0,4,

0),Ai(0,0,4),E(y/3,3,0),F(0,4,1),于是无i=(0,-4,4),赤=(-木,

1,1),所以•律=(0,-4,4)-(~y/3,1,l)=0-4+4=0,故EfUAiC

课后达标0检测

[A基础达标]

1.设直线/i的一个方向向量为a=(2,1,-2),直线/2的一个方向向量为

b=(2,2,m),若/1JJ2,则m=()

A.1B.12

C.-3D.3

解析：选D.因为所以a_LZ>,所以a•方=2X2+1X2+(—2)•m=0,所

以"1=3.

2.两平面a,夕的法向量分别为〃=(3,—1,z),v=(—2,—y,1),若。_14,

则y+z的值是()

A.13B.6

C.16D.-12

解析：选B.因为a邛,所以〃▼=(),即-6+y+z=0,即y+z=6,故选

B.

3.如图，以，平面ABCD,四边形ABCD为正方形，E

AF

为CD的中点，歹是AD上一点，当BfUPE时，丽=()

A.3B.1

C.2D.3

解析：选B.建立如图所示空间直角坐标系，设正方

形ABCD的边长为1,PA=a,则5(1,0,0),E(J,1,0),P(0,0,a).设尺0,

y,0),则丽=(—1,y,0),RE=&1,一j.因为BfUPE,即而RE=(-

l)x1+y=0,解得y=T,即'0,I，0)是AD的中点，故第=1.故选B.

4.(多选)已知v为直线/的方向向量，m,“2分别为平面a,夕的法向量(a,

夕不重合)，那么下列选项正确的是()

A.ni//〃2=a〃£B.mJ_〃2=aJ_£

C.v//n\<^l//aD.V_L〃IQ/〃a

解析：选AB.平面a,B不重合，所以平面a,B的法向量平行等价于平面«,

夕平行，A正确；

平面a,B不重合，所以平面«,B的法向量垂直等价于平面«,p垂直，B

正确；

直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，C错误；

直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面

内，D错误.故选AB.

5.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是()

A.若直线/的方向向量a=(l,-1,2),直线机的方向向量力=(2,1,-

；),则/与机垂直

B.若直线/的方向向量a=(0,1,-1),平面a的法向量〃=(1,-1,-

1),则/±«

C.若平面a,一的法向量分别为〃i=(0,1,3),〃2=(1,0,2),则a,4

D.若平面a经过三点A(l,0,-1),3(0,1,0),C(-l,2,0),向量〃

=(1,u,。是平面a的法向量，则M+/=1

解析：选AD.对于A,a0=1X2—1X1+2X(—J=°，贝汁心所以直

线/与根垂直，故A是真命题；对于B,〃•〃=(),则所以/〃a或/u%

故B是假命题；对于C,m-m=6,所以a_L£不成立，故C是假命题；对于D,

易得AB=(—1,1,1),因为向量〃=(1,u,。是平面a的法向量，所以〃

0,即-1+"+，=0,得〃+，=1,故D是真命题.

6.(多选)已知点P是平行四边形A3CD所在平面外一点，且屈=(2,-1,

-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,—1).则()

A.AP±AB

B.AP±AD

C.AP是平面ABC。的一个法向量

D.AP//BD

解析：选ABC.屈AP=2X(-l)+(-l)X2+(-4)X(-l)=-2-2+4=

0,

所以获LAP,gpAPLAB,故A正确.

ADAP=4X(-l)+2X2+0=0,

所以国5±AD,AP±AD,故B正确.

因为APLA3,APIAD,ABHAD=A,所以AP,平面A5CD,所以修是

平面A3CD的一个法向量，故C正确.

又BDu平面ABCD,所以修LBD,故D错误.

7.已知a=(0,1,1),b=(l,1,0),c=(l,0,1)分别是平面a,p,7的

一个法向量，则a,夕，/三个平面中互相垂直的有对.

解析：因为a力=(0,1,1).(1,1,0)=1力0,«.c=(0,1,1).(1,0,1)=1WO,

bc=(l,1,0)-(1,0,1)=1力0,所以a,b,c中任意两个都不垂直，即a,夕，

y中任意两个都不垂直.

答案：0

8.(2022・北京师范大学附属中学月考)已知直线/与平面a垂直，直线/的一

个方向向量为〃=(1,3,z),向量v=(3,-2,1)与平面a平行，则2=.

解析：因为直线/与平面a垂直，u=(l,3,z)为直线/的一个方向向量，

向量v=(3,—2,1)与平面a平行，所以“^=0,即(1,3,z>(3,-2,1)=3-

6+z=z—3=0,解得2=3.

答案：3

9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方

形，底面ABCD且尸。=1,若E,R分别为P3,AD中点,

则直线EF与平面PBC的位置关系是

解析：以。为原点，DA,DC,DP所在直线为x轴，y轴,

z轴建立空间直角坐标系(图略),

11

则2'2'20,0

所以=fo,—25~2

由图易知，平面P3C的一个法向量”=(0,1,1),

,一1

因为EF=~2n,

所以律//n,所以EfU平面PBC.

答案：垂直

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，必，底面ABCD,ABLAD,

ACLCD,ZABC=60°,PA=AB=BC=2,E是PC的中点.

求证：(1)CD±AE；

平面ABE.

证明：(1)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别

为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),3(2,0,0),C(l,#,O),D|^O,平，o),

P(0,0,2),坐，1),所以诙=(-1,卓，0),施

=停‘坐,1),

所以诙AE=-lx|+坐X坐+0X1=0,所以CDLAE.

(2)由(1),得而=k发，-2],AB=(2,0,0),AE坐，1

设向量〃=(x,y,z)是平面的法向量,

(2%=0,

n-AB=Q,

则1_得41S取丁=2,则n=(0,2,一5),

[〃AE=0,1/x+^~y+z=0,

一2小一

所以尸。=寸n,所以PD//n,所以平面A3E.

[B能力提升]

11.三棱锥被平行于底面A5C的平面所截得的几何体如图所

示，截面为AiBCi,ZBAC=90°,AiA,平面ABC,AiA=y[3,

AB=AC=2AiCi=2,。为3C的中点.

求证：平面AiAD,平面BCCLBI.

证明：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),BQ,0,0),C(0,2,0),

Ai(0,0,小),Ci(0,1,y/3).

因为。为3c的中点，所以。点坐标为(1,1,0),

所以与1=(0,0,5)，AD=(1,1,0),BC=(~2,2,0),CCi=(0,-1,

小),设平面AiAD的法向量“1=(x1,yi,zi),平面BCCLBI的法向量为“2=(x2,

”，Z2).

ni-AAi=0,fy[3zi=0,

由彳得〕八

[m-AD=Q,^1+-V1=O-

所以zi=0,令yi=—1得xi=l,此时m=(l,—1,0).

n2,BC=Q-2冗2+2丁2=0,

由T—9

得＜-y2+<§Z2=0.

ji2,CCi=0,

令丁2=1,得X2=l,22=9，此时〃2=[1,

所以〃1加2=1—1+0=0,所以m_L〃2.

所以平面AMO,平面BCCiBi.

12.已知，在四棱锥P-A3CD中，PC，底面A3CD,底面

A3CD为正方形，CD=CB=CP=4,E为PD的中点.

⑴求证：DC1BP.

(2)在棱3C上是否存在点E使得ARLBE?若存在，求

的长；若不存在，说明理由.

解：(1)证明：因为PC,平面A3CD,DCu平面A3CD,所以PCLDC

因为底面A3CD为正方形，所以DC,3c

因为PCCBC=C,所以DC,平面PBC.

因为3Pu平面PBC,所以DC±BP.

(2)存在，当3R=2时，使得ARL3E.

证明如下：如图，以C为坐标原点，CD所在直线为x

轴，CB所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立空间直角

坐标系.

连接AR,设BF=t,贝|A(4,4,0),F(0,4-t,0),B(0,

4,0),EQ,0,2),