专题01 三角函数、向量的数量积与三角恒等变换 - 高一数学 （人教B版2019必修第三册）

高一数学人教B版

必修三

期末考点大串讲串讲01必修三第7-8章期末复习

010203目

录押题预测题型剖析考点透视10大常考点：知识梳理、思维导图19个题型典例剖析+技巧点拨精选10道期末真题对应考点练考点透视01考点1角的概念的推广（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的

端点

⁠旋转所成的图形；

（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.提醒

相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.端点

考点2弧度制的定义和公式（1）定义：长度等于

半径长

⁠的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；（2）公式角α的弧度数公式｜α｜＝（弧长用l表示）角度与弧度的换算1°＝rad；1rad＝

°

⁠弧长公式l＝

｜α｜r

⁠扇形面积公式S＝

lr

⁠＝

｜α｜r2

⁠提醒

有关角度与弧度的两个注意点①角度与弧度换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；②利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.半径长

｜α｜r

考点3任意角的三角函数

（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.y

x

考点4同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；

考点5诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα

－sinα

⁠sinαcosα

cosα

⁠余弦cosα

－cosα

⁠cosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα

－tanα

⁠－sinα

cosα

－cosα

－tanα

考点5诱导公式

考点6同角三角函数关系式的常见变形⁠（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；（3）（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；

2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）.考点7正弦、余弦、正切函数的图象与性质2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象⁠⁠⁠定义域RR{xx≠kπ＋}值域

[－1，1]

[－1，1]

⁠R周期性2π

2π

π

⁠奇偶性

奇函数

偶函数

⁠奇函数[－1，1]

[－1，1]

2π

π

奇函数

偶函数

考点7正弦、余弦、正切函数的图象与性质续表函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx递增区间

[2kπ－π，2kπ]

⁠递减区间

[2kπ，2kπ＋π]

⁠无对称中心

（kπ，0）

⁠对称轴方程x＝kπ＋

x＝kπ

⁠无[2kπ－π，2kπ]

[2kπ，2kπ＋π]

（kπ，0）

x＝kπ

考点7正弦、余弦、正切函数的图象与性质提醒

（1）正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan

x无单调递减区间；y＝tan

x在整个定义域内不单调；（2）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时要注意A和ω的符号，应首先化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.⁠1.对称性与周期

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.与三角函数的奇偶性相关的结论

考点8平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

｜a｜｜b｜cosθ

⁠叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝

｜a｜｜b｜cosθ

⁠.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影向量：

｜a｜｜cosθ

｜a｜｜b｜cosθ

考点8平面向量的数量积（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒

（1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/

b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））.考点8平面向量的数量积已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝｜a｜｜b｜cosθa·b＝

x1x2＋y1y2

⁠模｜a｜＝｜a｜＝

⁠夹角cosθ＝cosθ＝x1x2＋y1y2

考点8平面向量的数量积几何表示坐标表示a⊥b的充要条件a·b＝0

x1x2＋y1y2

⁠＝0a∥b的充要条件a＝λb（λ∈R）

x1y2－x2y1

⁠＝0｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）｜x1x2＋y1y2｜≤x1x2＋y1y2

x1y2－x2y1

提醒

（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.考点9两角和与差的余弦、正弦、正切公式（1）cos（α－β）＝

cosαcosβ＋sinαsinβ

⁠（C（α－β））；

（2）cos（α＋β）＝

cosαcosβ－sinαsinβ

⁠（C（α＋β））；

（3）sin（α－β）＝

sinαcosβ－cosαsinβ

⁠（S（α－β））；

（4）sin（α＋β）＝

sinαcosβ＋cosαsinβ

⁠（S（α＋β））；

cosαcosβ＋sinαsinβ

cosαcosβ－sinαsinβ

sinαcosβ－cosαsinβ

sinαcosβ＋cosαsinβ

2sinαcosα

cos2α－sin2α

2cos2α－1

1－2sin2α

考点10.二倍角公式考点10.二倍角公式

题型剖析02题型1象限角与终边相同的角

题型1象限角与终边相同的角｜练后悟通｜1.象限角的2种判断方法（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.题型2

三角函数值符号的判定

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

答案

C题型2

三角函数值符号的判定｜解题技法｜三角函数值符号的判断方法

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.题型3同角三角函数基本关系式的应用

｜解题技法｜利用同角基本关系式“知一求二”的方法题型3同角三角函数基本关系式的应用题型4sinα，cosα的齐次式问题

A.B.－C.－3D.3

答案

A题型4sinα，cosα的齐次式问题｜解题技法｜利用“齐次化切”求齐次式值的方法（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos

α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan

α的式子，代入tan

α的值即可求解；（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan

α的式子，代入tan

α的值即可求解.题型5“sinα±cosα，sinαcosα”之间关系的应用

A.－B.－C.D.

答案

D题型5“sinα±cosα，sinαcosα”之间关系的应用

题型6

诱导公式的应用⁠

A.－1B.1C.tanαD.－tanα

题型6

诱导公式的应用

题型7三角函数的值域（最值）

A.B.C.D.

答案

（1）B

题型7三角函数的值域（最值）｜解题技法｜求三角函数的值域（最值）的三种类型及解题思路（1）形如y＝asin

x＋bcos

x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；（2）形如y＝asin2x＋bsin

x＋c的三角函数，可先设sin

x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y＝asin

xcos

x＋b（sin

x±cos

x）＋c的三角函数，可先设t＝sin

x±cos

x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.题型8求三角函数的单调区间【例8】

已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则

（

）A.f（x）在上单调递减B.f（x）在上单调递增C.f（x）在上单调递减D.f（x）在上单调递增

｜解题技法｜求三角函数单调区间的步骤（1）将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数；（2）把ωx＋φ看作一个整体，再根据y＝sin

x和y＝cos

x的单调区间及A的正负，列不等式求解.题型8求三角函数的单调区间题型9根据三角函数的单调性求参数

题型9根据三角函数的单调性求参数

题型10三角函数的周期性

A.πB.2πC.3πD.4π

答案

（1）D

题型10三角函数的周期性｜解题技法｜题型11三角函数的奇偶性与对称性⁠【例11】函数f（x）＝（1＋cos2x）sin2x是

（

）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数

题型11三角函数的奇偶性与对称性

题型12平面向量的模【例12】

已知向量a，b满足｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a与b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝

⁠，｜a－3b｜＝

⁠；

题型12平面向量的模｜解题技法｜求平面向量的模的两种方法题型13平面向量的夹角【例13】已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，

若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝

（

）A.－6B.－5C.5D.6

答案

（1）C题型13平面向量的夹角｜解题技法｜求平面向量的夹角的方法题型14平面向量的垂直

题型14平面向量的垂直｜解题技法｜有关平面向量垂直的两类题型题型15角的变换

题型15角的变换｜解题技法｜三角公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.题型16名的变换

A.－B.C.D.－

答案

A题型17三角函数式的化简⁠

A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα

题型17三角函数式的化简｜解题技法｜三角函数式的化简要遵循“3看”原则题型18给角求值

A.1B.C.D.2

答案

C题型18给角求值｜解题技法｜给角求值问题的基本思路

观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：（1）特殊角的三角函数值；（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.题型19三角恒等变换的综合应用

（1）求f（x）的单调递增区间；

题型19三角恒等变换的综合应用押题预