2024届陕西省铜川市高考数学三模试卷（文科）

2024年陕西省铜川市高考数学三模试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，若，则实数m的取值范围为(

)A. B. C. D.2.设复数z满足其中i为虚数单位，则z等于(

)A. B. C. D.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦点坐标为(

)A. B. C. D.4.设函数在区间单调递减，则a的取值范围是(

)A. B. C. D.5.已知，则(

)A. B. C. D.6.已知圆C：经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为(

)A.4 B.5 C.6 D.77.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中9环的概率为(

)A.

B.

C.

D.8.已知函数，则下列说法中不正确的是(

)A.的最小正周期为 B.的最大值为

C.在区间上单调递增 D.9.设的内角满足，，则“是锐角三角形”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知原点为O，椭圆C：与直线l：交于A，B两点，线段AB的中点为M，若直线OM的斜率为，则椭圆C的离心率为(

)A. B. C. D.11.在正方体中，E，F，G分别为BC，CD，的中点，若，则平面EFG截正方体所得截面的面积为(

)A. B. C. D.12.若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为(

)A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某校高一年级甲，乙两名同学8次历史测试分制成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的中位数之和为______.14.已知点O为外接圆的圆心，且，则______.15.已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为______.16.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的外接球的表面积为______.三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题12分

已知数列满足：…，

求数列的通项公式；

若，求正整数m的最大值.18.本小题12分

学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为，

求甲教师总得分为0分的概率；

判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别若，则认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别19.本小题12分

如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E是PA的中点，F是线段PB上靠近P的三等分点，

求证：平面BDE；

求点F到平面BDE的距离.20.本小题12分

已知函数

当时，求曲线在点处的切线方程；

若求实数a的取值范围.21.本小题12分

过抛物线C：焦点F的直线l交C于M，N两点，若直线l垂直于x轴，则的面积为2，其中O为原点.

求抛物线C的方程；

抛物线C的准线上是否存在点P，使得当时，的面积为若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.22.本小题10分

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

求曲线C的极坐标方程；

设M，N是曲线C上的两点，且，求面积的最大值.23.本小题12分

已知函数

求不等式的解集；

记函数的最小值为M，若正数a，b，c满足，证明：

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：集合，，

若，则，

即m的取值范围为

故选：

由已知结合集合的包含关系即可求解．

本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：，

，

，

故选：

利用复数的运算法则即可得出．

本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】A

【解析】解：由题意得，令，

解得，则，即，

所以双曲线的方程为，

所以，

所以C的焦点坐标为

故选：

由题意判断，由双曲线方程写出其渐近线方程，比较即得，代入方程即可求得其焦点坐标．

本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线渐近线方程的求解，属于基础题．4.【答案】D

【解析】解；设，其对称轴方程为，

是减函数，要使在区间单调递减，

则在区间单调递增且恒大于0成立，

则，即，

实数a的取值范围是

故选：

由复合函数的单调性把问题转化为在区间单调递增且恒大于0成立，由此可得实数a的取值范围．

本题考查复合函数的单调性及应用，考查化归与转化思想，是基础题．5.【答案】A

【解析】解：，

则，

故选：

由已知结合和差角公式，辅助角公式进行化简，再由二倍角公式即可求解．

本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．6.【答案】C

【解析】解：圆C：经过点，

则，即，

故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

又，

圆心到原点的距离的最大值为

故选：

先求出圆心的轨迹方程，再结合两点之间的距离公式，即可求解．

本题主要考查点与圆的距离的求解，属于基础题．7.【答案】A

【解析】解：根据题意，设中心10环圆的半径为r，则射击靶所在大圆的半径为4r，则射击靶所在大圆的面积为；

同时9环所在圆环的面积为，

故某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中9环的概率为

故选：

根据题意，设中心10环圆的半径为r，求出射击靶所在大圆的面积和9环所在圆环的面积，由几何概型计算公式计算可得答案．

本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．8.【答案】C

【解析】解：依题意，则函数的最大值为，最小值正周期为，从而可排除A，B选项．

，，根据三角函数的性质可知，

当，即时函数单调递减，

当，即时函数单调递增，

故在区间上不可能单调递增，应选C项．

为偶函数，

从而，从而可排除D选项．

故选：

首先化解函数的解析式，再根据函数的性质判断ABC，求，判断函数是否是偶函数，即可判断

本题主要考查了三角函数性质的综合应用，属于中档题．9.【答案】A

【解析】解：是锐角三角形，

则，

故，能推得，即充分性得证；

当时，满足，但不是锐角三角形，必要性不成立．

故选：

根据正弦函数的单调性，依次判断充分性、必要性，即可求解．

本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．10.【答案】B

【解析】解：设，，，即，

直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，

则两式相减可得，

，即，即，故

故选：

设，，，利用平方差法转化求解离心率即可．

本题主要考查椭圆的性质，点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．11.【答案】D

【解析】解：如图，过点G作EF的平行线交于点J，过点J作FG的平行线交于点I，

过点I作EF的平行线交于点H，易知点J，I，H都在截面EFG内，

且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，

所求面积

故选：

借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得．

本题考查正方体截面问题，属于中档题．12.【答案】B

【解析】解：因为，

所以，

令，得

令，则

令，则，即，即

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

，

又当时，；当时，，

当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点．

故选：

先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．

本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于中档题．13.【答案】167

【解析】解：由茎叶图知：甲数据为78，80，81，82，84，88，93，95，乙数据为75，80，80，83，85，90，92，95，

所以甲，乙两组数据的中位数分别为，

故中位数之和为

故答案为：

根据中位数的定义求解．

本题主要考查了中位数的定义，属于基础题．14.【答案】

【解析】解：由，得，

由O为外接圆的圆心，得，

结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且，

故，

故

故答案为：

根据向量的运算可得，进而根据外心的性质以及向量加法的运算法则可得四边形OACB为的菱形，即可求解．

本题主要考查了向量的线性运算及向量加法的几何意义的应用，属于基础题．15.【答案】答案不唯一

【解析】解：由为偶函数，知的图象关于y轴对称；

由为奇函数，知的图象关于点中心对称，

据此构造函数，则是偶函数；为奇函数，符合题意．

故答案为：答案不唯一

由已知结合函数的奇偶性及对称性即可求解．

本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数解析式求解中的应用，属于基础题．16.【答案】

【解析】解：根据题意，如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，

则，故

取AD的中点，连接，

又，，则

由对称性易知，过正方形ABCD的中心且垂直于平面ABCD的直线必过线段EF的中点，且所求外接球的球心O在这条直线上，

设球O的半径为R，则，且，

从而，即，

当点O在线段内包括端点时，有，可得，

从而，即球心O在线段EF的中点，其半径

当点O在线段外时，，解得舍

故所求外接球的表面积为

故答案为：

根据题意，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，分析球心的位置，进而求出球的半径，进而计算可得答案．

本题考查球的表面积计算，涉及组合体的结构特征，属于中档题．17.【答案】解：当时，，

当时，

，①

，②

由①-②得：，

，

又满足上式，

数列的通项公式为

由知，

，

由题意可得：，

解得，

又，

正整数m的最大值为

【解析】已知①，则②，由①-②得：，然后求解即可；

由知，然后累加求和解不等式即可．

本题考查了利用数列递推式求数列得通项公式，重点考查了裂项求和法，属中档题．18.【答案】解：由题知甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项，

故所求概率为；

不妨设甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，

则甲获得冠军的概率

，

则乙获得冠军的概率，

则，，

所以，

即甲、乙获得冠军的实力没有明显差别．

【解析】由题知甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项，再由相互独立事件的概率的乘法公式即可解；

不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，则教师甲获得冠军的概率，教师乙获得冠军的概率，然后结合题意求出，并代入所给公式即可判断．

本题考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题．19.【答案】解：证明：如图，连接AC交BD于点O，连接EO，

因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点，

因为E是PA中点，所以，

因为平面BDE，平面BDE，

所以平面

因为平面ABCD，所以，

又四边形ABCD是正方形，所以

又，所以平面PAD，

又平面PAD，所以，

因为点E是PA的中点，，所以，

又，所以平面PAB，

又平面PAB，所以，

又易知，所以，

所以，

因为，

又，F是线段PB上靠近P的三等分点，

所以，

所以，

设点F到平面BDE的距离为d，

则，解得，

所以点F到平面BDE的距离为

【解析】先证，再用线面平行的判定定理即可得证；

利用等体积法求解即可．

本题考查线面平行的判定以及等体积法求点到平面的距离，属于中档题．20.【答案】解：函数，

当时，，

，

，，

所求切线方程为，即

由题意得，

令，则，

当时，易知，

单调递增，

当，即时，，

函数单调递增，即，符合题意．

当，即时，，

又当时，，

，

当时，，函数单调递减，

当时，，不符合题意．

综上，实数a的取值范围为

【解析】求导数，可得，可求出切线方程．

构造新函数，讨论和，可得结果．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和切线方程，属于中档题．21.【答案】解：易知抛物线C的焦点，

因为直线l垂直于x轴，

不妨设，

因为M，N两点均在抛物线上，

所以，

此时，

则，

解得，

故抛物线C的方程为；

由知抛物线C的准线方程为，，

设，，，

易知直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为，

联立，消去x并整理得，

此时，

解得，

由韦达定理得，，

因为，

所以，

即

，

解得，

因为，

又原点O到直线l的距离，

所以，

解得，

则

故存在点，符合题目要求．

【解析】由题意，设出M，N两点的坐标，代入抛物线中，求出，根据三角形面积公式进行求解即可；

设出P，M，N三点的坐标，易知直线l的斜率存在且不为0，设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算得到，再利用弦长公式、点到直线的距离公式和三角形面积公式进行求解即可．

本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，

消去参数得，，即，

因为，

所以，即，

故曲线C的极坐标方程为

由知曲线C的标准方程为，

所以曲线C是以为圆心，半径为5的圆，且过原点O，

因为，

所以MN过圆心，且为直角三角形，

所以，

所以，当且仅当时，等号成立，

故面积的最大值为

【解析】消去参数可得曲线C的