2025届浙江省上虞市春晖中学高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届浙江省上虞市春晖中学高一下数学期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（）A． B． C． D．2．设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定3．等差数列中，，，下列结论错误的是（）A．，，成等比数列 B．C． D．4．若，则下列不等式中不正确的是（）A． B． C． D．5．同时掷两个骰子，向上的点数之和是的概率是（）A． B． C． D．6．已知函数f(x)=x,x≥0,|x2A．a<0 B．0<a<1 C．a>1 D．a≥17．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．－4 B． C． D．8．已知：，则（）A． B． C． D．9．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,7010．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A．－12 B．－14 C．10 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法有______种．（用数字回答）12．一组样本数据8，10，18，12的方差为___________.13．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．14．一艘海轮从出发，沿北偏东方向航行后到达海岛，然后从出发沿北偏东方向航行后到达海岛，如果下次直接从沿北偏东方向到达，则______.15．若，且，则的最小值为_______.16．若则____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若，是数列的保三角形函数”，求的取值范围；（2）已知数列的首项为2019，是数列的前项和，且满足，证明是“三角形”数列；（3）求证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．18．记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．19．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足条件.（1）求点的轨迹的方程；（2）设点是点关于直线的对称点，问是否存在点同时满足条件：①点在曲线上；②三点共线，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.20．已知关于的一元二次函数，从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数，从集合中随机取一个数作为此函数的一次项系数.（1）若，，求函数有零点的概率；（2）若，求函数在区间上是增函数的概率.21．如图，在平面四边形中，，，的面积为．⑴求的长；⑵若，，求的长．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．2、B【解析】

利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3、C【解析】

根据条件得到公差，然后得到等差数列的通项，从而对四个选项进行判断，得到答案.【详解】等差数列中，，所以，所以，所以，，，，，，，，，所以，所以，，成等比数列，故A选项正确，，故B选项正确，，故C选项错误，，故D选项正确.故选：C.【点睛】本题考查求等差数列的项，等差数列求前项的和，属于简单题.4、C【解析】

，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A：，，所以成立；B：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C：且，根据可乘性可知结果；D：，根据乘方性可判断结果.【详解】A：由题意，不等式，可得，则，，所以成立，所以A是正确的；B：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；C：由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；D：由，可得，所以D是正确的，故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.5、C【解析】

分别计算出所有可能的结果和点数之和为的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】同时掷两个骰子，共有种结果其中点数之和是的共有：，共种结果点数之和是的概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.6、B【解析】

令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围.【详解】令g(x)=0得f(x)=a,函数f(x)的图像如图所示，当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点，所以0＜a＜1.故选：B【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.7、A【解析】

由奇函数的性质可得:即可求出【详解】因为是定义在上的奇函数，所以又因为当时，，所以，所以，选A.【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。其中奇函数主要有以下几点性质：1、图形关于原点对称。2、在定义域上满足。3、若定义域包含0，一定有。8、A【解析】

观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【详解】令，则，所以，所以，故选A.【点睛】本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.9、B【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.10、A【解析】

由直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．【详解】∵直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），∴2m﹣4×5=0，解得m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，解得n=﹣1．故答案为：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、72【解析】

先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，利用乘法原理得到排法总数为.【详解】先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，利用乘法原理得到排法总数为种，故答案为72【点睛】本题考查排列、组合计数原理的应用，考查基本运算能力.12、14【解析】

直接利用平均数和方差的公式，即可得到本题答案.【详解】平均数，方差.故答案为：14【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用.13、【解析】

根据函数图象以及不等式的等价关系即可．【详解】解：不等式等价为或，

则，或，

故不等式的解集是．

故答案为：．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．14、【解析】

首先根据余弦定理求出，在根据正弦定理求出，即可求出【详解】有题知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.15、【解析】

将变换为，展开利用均值不等式得到答案.【详解】若，且，则时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.16、【解析】因为,所以=.故填．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析；（3）见解析．【解析】

（1）先由条件得是三角形数列，再利用，是数列的“保三角形函数”，得到，解得的取值范围；（2）先利用条件求出数列的通项公式，再证明其满足“三角形”数列的定义即可；（3）根据函数，，是数列1，，的“保三角形函数”，可以得到①1，，是三角形数列，所以，即，②数列中的各项必须在定义域内，即，③，，是三角形数列；结论为在利用，是单调递减函数，就可求出对应的范围，即可证明．【详解】（1）解：显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列，因为，显然有，由得，解得，所以当时，是数列的“保三角形函数”；（2）证：由，当时，，∴，∴，当时，即，解得，∴，∴数列是以2019为首项，以为公比的等比数列，∴，显然，因为，所以是“三角形”数列；（3）证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，，是三角形数列，所以，即；②数列中的各项必须在定义域内，即；③，，是三角形数列，由于，是单调递减函数，所以，解得，所以函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．【点睛】本题主要考查数列与三角函数的综合，考查在新定义下数列与三角函数的结合，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查转化思想，属于难题．18、（1），（2），最小值为−1．【解析】

（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．（II）由（I）得．所以当n=4时，取得最小值，最小值为−1．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.19、（1）；（2）存在点，直线方程为.【解析】

（1）设，由题意根据两点间的距离公式即可求解.（2）假设存在点满足题意，此时直线的方程为：.设，，根据题意可得，求出，再将直线与圆联立求出，根据向量共线的坐标表示以及点在圆上，求出即可求解.【详解】（1）设，由得，整理得：，所以点的轨迹方程为.（2）假设存在点满足题意，此时直线的方程为：.设，.因为与关于直线对称，所以解得即.由，得，即.此时，，，所以，所以当时，三点共线.若在曲线上，则，整理得，即，所以，即.综上所述，存在点，满足条件①②，此时直线方程为.【点睛】本小题主要考查坐标法、圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查数形结合思想、整体运算思想，化归与转化思想等.20、（1）；（2）【解析】

（1）依次列出所有可能的情况，求出满足的情况总数，即可得到概率；（2）列出不等关系，表示出平面区域，求出满足表示的区域的面积，即可得到概率.【详解】（1）由题可得，，从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数，从集合中随机取一个数作为此函数的一次项系数，记为，这样的有序数对共有，9种情况；函数有零点，即满足，满足条件的有：，6种情况，所以其概率为；（2），满足条件的有序数对，，即平面直角坐标系内区域：矩形及内部区域，面积为4，函数在区间上是增函数，即满足，，，即，平