2025届山西省太原市迎泽区太原实验中学高一下数学期末经典试题含解析

2025届山西省太原市迎泽区太原实验中学高一下数学期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角的终边经过点，则=（）A． B． C． D．2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．24．已知圆：及直线：，当直线被截得的弦长为时，则等于（）A． B． C． D．5．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）A．， B．,C．， D．，7．把十进制数化为二进制数为A． B．C． D．8．圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．9．已知直线，平面，给出下列命题：①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则其中正确的命题是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等腰三角形底角的余弦值等于，则这个三角形顶角的正弦值为________．12．设,则的值是____.13．记为数列的前项和.若，则_______.14．__________.15．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.16．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的弧长为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）请确定3998是否是数列中的项？18．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间.19．已知函数(1)若关于的不等式的解集为,求的值;(2)若对任意恒成立,求的取值范围.20．已知数列满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．21．在直角坐标系中，点，圆的圆心为，半径为2.（Ⅰ）若，直线经过点交圆于、两点，且，求直线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点满足，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.考点：三角函数的概念.2、A【解析】

由，得，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.3、B【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件，表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4、C【解析】

求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算弦长可解得．【详解】由题意，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以，解得．故选：C.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法由垂径定理得垂直，由勾股定理列式计算．5、A【解析】

根据条件可求出，，从而可求出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】由题得；，，所以；；又；的夹角为．故选．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．6、A【解析】

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【详解】．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以，表示同一个函数．．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域，两个函数的定义域不相同，对应法则相同，所以，不能表示同一个函数．故选．【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．7、C【解析】选C.8、B【解析】

圆的标准方程为，圆心，故排除、，代入点，只有项经过此点，也可以设出要求的圆的方程：，再代入点，可以求得圆的半径为．故选．点睛：这个题目主要考查圆的标准方程，因为这是一道选择题，故根据与条件中的圆的方程可以得到圆心坐标，进而可以排除几个选项，如果正规方法，就可以按照已知圆心，写出标准方程，代入已知点求出标准方程即可．9、A【解析】

根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。【详解】①若，则在平面内必有一条直线使，又即，则，故正确。②若，且，与可平行可相交，故错误③若，即又，则，故正确④若，且，与可平行可相交，故错误所以①③正确，②④错误故选A【点睛】本题考查面面垂直，面面平行的判定，属于基础题。10、A【解析】设甲到达时刻为，乙到达时刻为，依题意列不等式组为，画出可行域如下图阴影部分，故概率为.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

已知等腰三角形可知为锐角，利用三角形内角和为，建立底角和顶角之间的关系，再求解三角函数值．【详解】设此三角形的底角为，顶角为，易知为锐角，则，，所以．【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．12、【解析】

根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解．【详解】解：由题意知：故，即．故答案为.【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题．13、【解析】

由和的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式.【详解】当时，当时，即则数列是首项为，公比为的等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查了已知求，属于基础题.14、【解析】

利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可.【详解】.故答案为【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.15、0【解析】

利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】根据向量减法的几何意义可得：,即,所以.故答案为：0【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.16、【解析】

先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解.【详解】因为圆心角，所以弧长.故答案为：【点睛】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）第1000项【解析】

（1）由题意有，解方程组即得数列的通项公式；（2）假设3998是数列中的项，有，得，即可判断得解.【详解】解：（1）设数列的公差为，由题意有，解得，则数列的通项公式为.（2）假设3998是数列中的项，有，得，故3998是数列中的第1000项.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，考查某一项是否是等差数列中的项的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18、（1）（2）【解析】

（1）通过降次公式和辅助角公式化简函数得到，再根据周期公式得到答案.（2）根据（1）中函数表达式，直接利用单调区间公式得到答案.【详解】（1）由题意得．可得：函数的最小正周期（2）由，得，所以函数的单调递增区间为．【点睛】本题考查三角函数的最小正周期，函数的单调区间，将函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生对于三角函数性质的应用和计算能力.19、（1）；（2）【解析】

(1)不等式可化为，而解集为，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；（2）法一：讨论和时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围；法二：利用二次函数在上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.【详解】（1）法一：不等式可化为，其解集为，由根与系数的关系可知，解得，经检验时满足题意.法二：由题意知，原不等式所对应的方程的两个实数根为和4，将（或4）代入方程计算可得，经检验时满足题意.（2）法一：由题意可知恒成立，①若，则恒成立，符合题意。②若，则恒成立，而，当且仅当时取等号，所以，即.故实数的取值范围为.法二：二次函数的对称轴为.①若，即，函数在上单调递增，恒成立，故；②若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，由得.故；③若，即，此时函数在上单调递减，由得，与矛盾，故不存在.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的性质，不等式恒成立中含参问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度较大.20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【详解】证明：，且有，，又，，即，且，是首项为1，公差为的等差数列．解：由知，即，所以．【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.21、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用d=1以直线的斜率存在、不存在两种情况进行分类讨论；（Ⅱ）设，由求出x、y满足的关系式，可得点在圆上，推出圆与