山东省聊城第二中学2025届高一数学第二学期期末预测试题含解析

山东省聊城第二中学2025届高一数学第二学期期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（）A．2015年第三季度环比有所提高 B．2016年第一季度同比有所提高C．2017年第三季度同比有所提高 D．2018年第一季度环比有所提高2．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（）A．41 B．42 C．43 D．443．下列函数中，是偶函数且在区间上是增函数的是（）A． B．C． D．4．(2016高考新课标III，理3)已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．1205．已知,,,是球球面上的四个点，平面,,，则该球的表面积为（）A． B． C． D．6．若，则（）A．-4 B．3 C．4 D．-37．如直线与平行但不重合，则的值为（）．A．或2 B．2 C． D．8．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（）A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．10．向量，，且，则等于（）A． B． C．2 D．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．12．已知向量，且，则_______．13．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．14．己知是等差数列，是其前项和，，则______.15．已知数列的通项公式为，则该数列的前1025项的和___________.16．已知，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，若，且，，求满足条件的，.18．已知函数的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求函数的单调递减区间及图象的对称轴方程.19．如图，已知矩形中，，，M是以为直径的半圆周上的任意一点（与C，D均不重合），且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求与所成的角20．如图，是边长为2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.21．在中，内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．2、A【解析】

由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码．【详解】由题知分组间隔为以，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为.故选：A.【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础．3、A【解析】

逐一分析选项，得到答案.【详解】A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；故选A.【点睛】本题考查了函数的基本性质，属于基础题型.4、A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．5、B【解析】

根据截面法，作出球心O与外接圆圆心所在截面，利用平行四边形和勾股定理可求得球半径，从而得到结果.【详解】如图，的外接圆圆心E为BC的中点，设球心为O，连接OE，OP，OA，D为PA的中点，连接OD.根据直角三角形的性质可得，且平面，则//，由为等腰三角形可得，又，所以//，则四边形ODAE是矩形，所以=，而，中，根据勾股定理可得，所以该球的表面积为.所以本题答案为B.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积问题，几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定.6、A【解析】

已知等式左边用诱导公式变形后用正弦和二倍角公式化简，右边用切化弦法变形，再由二倍角公式化简后可得．【详解】，，∴，．故选：A．【点睛】本题考查诱导公式，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握三角函数恒等变形公式，确定选用公式的顺序是解题关键．7、C【解析】

两直线斜率相等，且截距不相等。【详解】解析：由题意得，，解得或2，经检验时两直线重合，故.故选C.【点睛】本题考查两直线平行，属于基础题.8、C【解析】

根据复合函数单调性，结合对数型函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于的底数为，而函数在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，结合对数型函数的定义域得，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数单调性求参数的取值范围，属于基础题.9、D【解析】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质.设公差为则由等差数列前n项和公式知：是的二次函数；又知对应二次函数图像的对称轴为于是对应二次函数为无法确定所以根据条件无法确定有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有即故选D10、B【解析】

先由数量积为，得出，求出的坐标，利用模长的坐标公式求解即可.【详解】由题意可得，则则故选：B【点睛】本题主要考查了向量模的坐标表示以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.详解：∵，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.12、【解析】

先由向量共线，求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，解得，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型.13、【解析】

试题分析：设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为考点：1．圆的标准方程；2．向量模的运算14、-1【解析】

由等差数列的结合，代入计算即可.【详解】己知是等差数列，是其前项和，所以，得，由等差中项得，所以.故答案为-1【点睛】本题考查了等差数列前项和公式和等差中项的应用，属于基础题.15、2039【解析】

根据所给分段函数,依次列举出当时的值,即可求得的值.【详解】当时,,当时,,,共1个2.当时,,,共3个2.当时,,,共7个2.当时,,,共15个2.当时,,,共31个2.当时,,,共63个2.当时,,,共127个2.当时,,,共255个2.当时,,,共511个2.当时,,,共1个2.所以由以上可知故答案为:2039【点睛】本题考查了分段函数的应用,由所给式子列举出各个项,即可求和,属于中档题.16、【解析】

由可得，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、，【解析】

利用三角恒等变换，化简的解析式，从而得出结论．【详解】解：，∴，待定系数，可得，又，∴，∴，.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，属于基础题．18、（1），；（2）减区间为，对称轴方程为【解析】

(1)先根据平移后周期不变求得,再根据三角函数的平移方法求得即可.(2)根据(1)中,代入可得,利用辅助角公式求得,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.【详解】（1）因为函数的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合,所以.所以,因为,所以.（2）由（1）,,所以,.令,解得所以函数的单调递减区间为.令,可得图象的对称轴方程为.【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.19、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）证明，得到平面，得到答案.（2）过点M作于点E，当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大，作于F，连接，与所成的角即与所成的角，计算得到答案.【详解】（1）为直径，，已知平面平面，.平面，所以，又，平面，又平面，∴平面平面.（2）过点M作于点E，∵平面平面，平面，即为四棱锥的高，又底面面积为定值.所以当M为半圆弧的中点时，四棱锥的体积最大.作于F，连接，，与所成的角即与所成的角.在直角中，，，所以.，故与所成的角为.【点睛】本题考查了面面垂直，体积的最值，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）取的中点，连接，由平面平面，得平面，再证即可证明（2）证明平面，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明．【详解】（1）取的中点，连接，因为，且，.所以，.又因为平面平面，所以平面，又平面，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）连接，由（1）知，又，，所以四边形是平行四边形，所以.又是正三角形，为的中点，∴，因为平面平面，所以平面，所以平面.又平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面.【点