辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A⋂B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣3≤x≤2} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）已知随机变量ξ～N（5，σ2），若P（3≤ξ≤7）＝0.4，则P（ξ＞7）＝（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）数列{an}中，“an2＝an﹣1•an+1（n≥2）”是“数列{an}为等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是（）A． B． C． D．5．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．6．（5分）某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（）A．72 B．144 C．288 D．1567．（5分）的展开式中按x的升幂排列的第4项为（）A． B． C． D．8．（5分）已知，则必有（）A．a＞c＞b B．b＞c且a＞c C．b＞c＞a D．a＞b且a＞c二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知两个随机变量X，Y满足Y＝5X﹣2，若X～B（10，），则（）A．E（X）＝6 B． C．E（Y）＝30 D．D（Y）＝60（多选）10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则（）A．f（x）有3个极大值点 B．f（x）在x＝a处取得极大值 C．f（b）＜f（c）＜f（d） D．f（a）＞f（b）（多选）11．（5分）已知，则（）A．a0＝1 B．a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9＝0 C．a1+a3+a5+a7+a9＝﹣256 D．（多选）12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x+2）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝xln（x+1），则（）A．f（﹣1）＝ln2 B．f（x）的一个周期为4 C．f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称 D．f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝506ln6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则n＝．14．（5分）函数的定义域为，最小值为．15．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若a1＝190，S20＞0，S24＜0，则整数d的一个值可以为．16．（5分）利率的变动会对股价产生一定的影响，根据分析得出，在利率下调的情况下，某股票的股价上涨的概率为0.7，在利率不变的情况下，该股票的股价上涨的概率为0.2，在利率上调的情况下，该股票的股价上涨的概率为0.1．假设利率下调的概率为0.6，利率不变的概率为0.3，则该股票的股价上涨的概率为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知在等差数列{an}中，a2+a10＝34，a5＝14．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．18．（12分）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：体育锻炼性别合计男生女生喜欢280p280+p不喜欢q120120+q合计280+q120+p400+p+q在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的．（1）求p，q的值；（2）依据α＝0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？附：χ2＝，n＝a+b+c+d．α0.050.0250.0100.001xα3.8415.0246.63510.82819．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax的极小值点为1．（1）求a；（2）若过点（﹣1，﹣1）作直线与曲线y＝f（x）相切，求切线方程．20．（12分）（1）若成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10）都落在直线y＝﹣0.76x+0.58上，求样本相关系数．（2）现随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和乘客投诉次数进行调查．所得数据如下表所示：航空公司编号12345678910航班正点率x/%80788184869091938889乘客投诉次数y263324201810971211根据表格的数据，试问乘客投诉次数与航班正点率之间是否呈现线性相关关系？它们之间的相关程度如何？参考数据：相关系数，当|r|＞0.85时两个变量之间具有很强的线性相关关系．取．21．（12分）广场舞、健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音、占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点．不少地区为此出台了相关政策，对违规行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康、绿色环保的生活方式，规范广场舞、集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》．小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步．已知她从点O出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为．（1）求移动4步后回到点O的概率；（2）若移动5步后到达点Q，记O，Q两点之间的步数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．（2）已知方程f（x）＝x有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜x2．①求a的取值范围；②若x2≥3x1，证明：．

2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A⋂B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣3≤x≤2} D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】根据集合的交集概念运算即可．【解答】解：因为A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2．（5分）已知随机变量ξ～N（5，σ2），若P（3≤ξ≤7）＝0.4，则P（ξ＞7）＝（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【分析】由正态分布的对称性求解即可．【解答】解：由随机变量ξ～N（5，σ2）及正态分布的对称性，知P（3≤ξ≤7）＝2P（5≤ξ≤7）＝0.4，所以P（5≤ξ≤7）＝0.2，所以P（ξ＞7）＝0.5﹣P（5≤ξ≤7）＝0.3．故选：C．【点评】本题考查百分位数的应用，属于基础题．3．（5分）数列{an}中，“an2＝an﹣1•an+1（n≥2）”是“数列{an}为等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列定义和中项，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：数列{an}中，当“an2＝an﹣1•an+1（n≥2）”时，若an≠0，n∈N+，＝，“数列{an}为等比数列”；若an＝0或an含义0项，n∈N+，“数列{an}不是等比数列”；故数列{an}中，“an2＝an﹣1•an+1（n≥2）”不能推出“数列{an}为等比数列”当“数列{an}为等比数列”在数列{an}中，满足等比数列的定义：＝＝同一常数，则一定有“an2＝an﹣1•an+1（n≥2）”成立．故数列{an}中，“数列{an}为等比数列能推出”“an2＝an﹣1•an+1（n≥2）”所以：数列{an}中，“an2＝an﹣1•an+1（n≥2）”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4．（5分）某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是（）A． B． C． D．【分析】根据分步计数原理以及排列公式进行计算即可．【解答】解：从26个英文字母选2个的排列有种．从0到9，10个数字中选2个的排列有种，则该密码可能的个数是．故选：C．【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．5．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．【分析】根据奇偶性排除C，D；根据当x＞0时，f（x）＞0，排除A，从而可得答案．【解答】解：因为的定义域为（﹣∞，0）⋃（0，+∞），关于原点对称，且，所以f（x）是偶函数，排除C，D，当x＞0时，f（x）＞0，排除A．故选：B．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查了函数图象的变换，属于基础题．6．（5分）某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（）A．72 B．144 C．288 D．156【分析】根据题意，设两道必须相邻的工序为a、b，不能相邻的工序为c、d，剩下的两道工序为e、f，先用捆绑法分析a、b，将a、b整体与e、f进行全排列，再用插空法分析c和d，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，设两道必须相邻的工序为a、b，不能相邻的工序为c、d，剩下的两道工序为e、f，先将a与b看成一个整体，与e、f进行全排列，排好后有4个空位可用，在4个空位中任选2个，安排c和d，则有种安排方法．故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7．（5分）的展开式中按x的升幂排列的第4项为（）A． B． C． D．【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解．【解答】解：因为的通项，所以按x的升幂排列的第4项为．故选：B．【点评】本题考查二项展开式的通项公式，属于基础题．8．（5分）已知，则必有（）A．a＞c＞b B．b＞c且a＞c C．b＞c＞a D．a＞b且a＞c【分析】由x＞y＞1＞z＞0，得，x﹣y＞0，x﹣z＞0，y﹣z＞0，再根据作差法变形两两判断即可．【解答】解：因为x＞y＞1＞z＞0，所以，x﹣y＞0，x﹣z＞0，y﹣z＞0所以，所以a＞b，，所以a＞c，符号不能确定，所以b，c的大小不能确定所以a＞b且a＞c．故选：D．【点评】本题考查不等式相关知识，属于基础题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知两个随机变量X，Y满足Y＝5X﹣2，若X～B（10，），则（）A．E（X）＝6 B． C．E（Y）＝30 D．D（Y）＝60【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到E（X），D（X），再利用期望与方差的性质求出E（Y），D（Y），结合选项进行逐一分析即可．【解答】解：已知X～B（10，），所以，又Y＝5X﹣2，此时E（Y）＝E（5X﹣2）＝5E（X）﹣2＝5×6﹣2＝28，．故选：ABD．【点评】本题考查二项分布的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．（多选）10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则（）A．f（x）有3个极大值点 B．f（x）在x＝a处取得极大值 C．f（b）＜f（c）＜f（d） D．f（a）＞f（b）【分析】根据f（x）的导函数的图象可得函数f（x）的单调性，极值点，从而判断各个选项．【解答】解：由图可知x＝a，x＝b，x＝d是函数f（x）的三个极值点，可知f（x）在x＝a及x＝d处取得极大值，A错误，B正确．当x∈[b，d]时，f′（x）⩾0，则f（x）单调递增，则f（b）＜f（c）＜f（d），C正确．当x∈[a，b]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，则f（a）＞f（b），D正确．故选：BCD．【点评】本题考查函数的极值点问题，属于基础题．（多选）11．（5分）已知，则（）A．a0＝1 B．a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9＝0 C．a1+a3+a5+a7+a9＝﹣256 D．【分析】对于A，令x＝0可求出a0，对于B，令x＝1，再结合a0＝1可求进行判断，对于C，令x＝﹣1，，再结合a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9＝0可求得结果，对于D，令x＝2，再结合a0＝1可进行判断．【解答】解：对于A，令x＝0，则a0＝1，所以A正确，对于B，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9＝0，因为a0＝1，所以a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9＝﹣1，所以B错误，对于C，令x＝﹣1，则，因为a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9＝0，所以，所以，所以C正确，对于D，令x＝2，则，因为a0＝1，所以，所以D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．（多选）12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x+2）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝xln（x+1），则（）A．f（﹣1）＝ln2 B．f（x）的一个周期为4 C．f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称 D．f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝506ln6【分析】对于A，利用偶函数求得f（﹣1）＝f（1）＝ln2，即可判断；对于B，由题意可得f（﹣x+2）＝f（x+2）＝f（x﹣2），从而有f（x+4）＝f（x），即可判断；对于C，由题意可得f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，从而可判断；对于D，f（0）＝0，f（1）＝ln2，f（2）＝2ln3，f（3）＝f（1）＝ln2，再利用周期性即可计算，从而可判断．【解答】解：对于A，因为f（x）为偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝xln（x+1），所以f（﹣1）＝f（1）＝ln2，故A正确；对于B，因为f（x）为偶函数，且f（﹣x+2）＝f（x+2），所以f（﹣x+2）＝f（x+2）＝f（x﹣2），所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，故B正确；对于C，因为f（﹣x+2）＝f（x+2），所以f（x）的图象关于直线x＝2对称．因为f（x）的周期为4，所以f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，故C错误；对于D，因为f（0）＝0，f（1）＝ln2，f（2）＝2ln3，f（3）＝f（1）＝ln2，所以f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝f（0）+506×（0+ln2+2ln3+ln2）＝1012ln6，故D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则n＝7．【分析】根据组合数性质得到关于n的方程，解出即可．【解答】解：因为，所以n2+n﹣56＝（n﹣7）（n+8）＝0，所以n＝7或n＝﹣8（舍去）．故答案为：7．【点评】本题考查组合数公式，属于基础题．14．（5分）函数的定义域为（﹣∞，2），最小值为．【分析】根据函数f（x）的解析式可得定义域；利用基本不等式可得f（x）的最小值．【解答】解：由2﹣x＞0，得x＜2，则f（x）的定义域为（﹣∞，2），，当且仅当，即x＝﹣1时等号成立，所以f（x）的最小值为．故答案为：（﹣∞，2），．【点评】本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，属于基础题．15．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若a1＝190，S20＞0，S24＜0，则整数d的一个值可以为﹣17（答案不唯一）．【分析】利用等差数列前n项和的基本量计算可求得．【解答】解：因为a1＝190，所以，所以，故d的整数解为﹣19，﹣18，﹣17．故答案为：﹣17（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题．16．（5分）利率的变动会对股价产生一定的影响，根据分析得出，在利率下调的情况下，某股票的股价上涨的概率为0.7，在利率不变的情况下，该股票的股价上涨的概率为0.2，在利率上调的情况下，该股票的股价上涨的概率为0.1．假设利率下调的概率为0.6，利率不变的概率为0.3，则该股票的股价上涨的概率为0.49．【分析】利用全概率公式计算可得答案．【解答】解：记事件A为“利率下调”，事件B为“利率不变”，事件C为“利率上调”，事件D为“股价上张”，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，P（C）＝0.1，P（D|A）＝0.7，P（D|B）＝0.2，P（D|C）＝0.1，所以P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.49．故答案为：0.49．【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知在等差数列{an}中，a2+a10＝34，a5＝14．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和性质求解首项和公差，即可得{an}的通项公式；（2）直接根据裂项相消法求前n项和Sn．【解答】解：（1）设{an}的公差为d．由a2+a10＝34，可得a6＝17．因为a5＝14，所以d＝a6﹣a5＝3．因为a5＝a1+4d＝14，所以a1＝2，故an＝3n﹣1．（2）因为an＝3n﹣1，所以，所以．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18．（12分）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：体育锻炼性别合计男生女生喜欢280p280+p不喜欢q120120+q合计280+q120+p400+p+q在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的．（1）求p，q的值；（2）依据α＝0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？附：χ2＝，n＝a+b+c+d．α0.050.0250.0100.001xα3.8415.0246.63510.828【分析】（1）根据题设条件，建立p，q的方程组即可求出结果；（2）通过计算出χ2＝7.609＜10.828即可判断出结果．【解答】解：（1）由题可知，解得p＝180，q＝120．（2）零假设为H0学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，根据列联表及（1）中数据，经计算得到≈7.609＜10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联．【点评】本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax的极小值点为1．（1）求a；（2）若过点（﹣1，﹣1）作直线与曲线y＝f（x）相切，求切线方程．【分析】（1）求出函数f（x）的导数f′（x），由f′（1）＝0求出a值，再验证作答．（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣x2+ax的定义域为R，求导得f′（x）＝3x2﹣2x+a，由f（x）的极小值点为1，得f′（1）＝1+a＝0，解得a＝﹣1，此时f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）（3x+1），当时f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，即1为f（x）的极小值点，所以a＝﹣1．（2）由（1）知f（x）＝x3﹣x2﹣x，f′（x）＝3x2﹣2x﹣1，设切点为（x0，f（x0）），则，于是切线方程为，而切线过点（﹣1，﹣1），因此，整理得，即，解得x0＝±1，当x0＝1时，切线方程为y＝﹣1；当x0＝﹣1时，切线方程为y+1＝4（x+1），即4x﹣y+3＝0，所以所求切线方程为y＝﹣1，4x﹣y+3＝0．【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数求函数的切线，属中档题．20．（12分）（1）若成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10）都落在直线y＝﹣0.76x+0.58上，求样本相关系数．（2）现随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和乘客投诉次数进行调查．所得数据如下表所示：航空公司编号12345678910航班正点率x/%80788184869091938889乘客投诉次数y263324201810971211根据表格的数据，试问乘客投诉次数与航班正点率之间是否呈现线性相关关系？它们之间的相关程度如何？参考数据：相关系数，当|r|＞0.85时两个变量之间具有很强的线性相关关系．取．【分析】（1）利用相关系数与线性相关程度的关系得结果；（2）计算相关系数，由数据判断结论．【解答】解：（1）因为成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10）都落在直线y＝﹣0.76x+0.58上，直线的斜率为负数，∴相关系数为﹣1．（2），，（﹣8）+7×（﹣10）+2×（﹣5）+3×（﹣6）＝﹣389，，，，∴|r|＞0.85，∴乘客投诉次数与航班正点率之间负相关，具有很强的线性相关关系．【点评】本题主要考查线性回归方程，相关系数，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）广场舞、健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音、占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点．不少地区为此出台了相关政策，对违规行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康、绿色环保的生活方式，规范广场舞、集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》．小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步．已知她从点O出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为．（1）求移动4步后回到点O的概率；（2）若移动5步后到达点Q，记O，Q两点之间的步数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意，得到每次向前移动一