统考版2024高考数学二轮专题复习第一篇核心价值引领引领三素材创新弘扬文化文

引领三素材创新弘扬文化创新一从古籍名著中浸润数学文化例1[2022·全国甲卷]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋CD2A．11-33C．9-33[听课记录]名师点题本题以沈括探讨的圆弧长计算方法“会圆术”为背景，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程，引发学生的学习爱好．对点训练1.[2022·安徽省江南十校高三一模]《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘视察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为()A．eq\f(320,1602－1)B．eq\f(1,160)C．eq\f(160,802－1)D．eq\f(1,80)创新二在先贤的成就中了解数学文化例2[2022·河南省名校联盟1月联考]我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上文字写成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2)))).(其中S为面积，a，b，c为△ABC三个内角A，B，C所对的边).若bcosC＋ccosB＝4，c＝2eq\r(2)，且a＝c(cosB＋eq\r(2)cosC)，则利用“三斜求积”公式可得△ABC的面积S＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(7)C．4D．8对点训练2.[2022·湖北省圆创联考高三2月其次次联合测评]用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图1)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图2)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1(y≥0)绕y轴旋转一周后得一半橄榄状的几何体(如图3)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于()A．15πB．30πC．45πD．60π创新三在数学故事中创建数学文化例3公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了闻名的阿基里斯悖论：让乌龟在阿基里斯前面1000米处起先，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当竞赛起先后，若阿基里斯跑了1000米，则乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍旧前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍旧前于他1米……所以阿基里斯恒久追不上乌龟．依据这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为()A．eq\f(104－1,90)米B．eq\f(105－1,900)米C．eq\f(105－9,90)米D．eq\f(104－9,900)米名师点题本题是以“阿基里斯悖论”为背景创设的等比数列求和的问题，破解此类题的基本思路是明确题意，构建出等比数列的模型，再利用等比数列的通项公式、前n项和的公式，即可得出结果．当等比数列{an}的公比q不为1时，其前n项和的公式有两种，一般地，若a1，q与项数已知，常选用公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)求和，若a1，an与q已知，常选用公式Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)求和．对点训练3．十九世纪末，法国学者贝特朗在探讨几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内随意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”．贝特朗采纳“随机半径”“随机端点”“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击几何概率概念本身，剧烈地刺激了概率论基础的严格化．设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，如图所示，则由“随机端点”求法所求得的弦长AB大于圆O的内接等边三角形ACD边长的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)引领三素材创新弘扬文化创新一[例1]解析：连接OC，则依据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，则CD＝2－eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up8(︵))的弧长的近似值s＝AB＋eq\f(CD2,OA)＝2＋eq\f(（2－\r(3)）2,2)＝eq\f(11－4\r(3),2).故选B.答案：B对点训练1．解析：由题意可知：eq\f(d,l)＝eq\f(1,80)，taneq\f(∠AOB,2)＝eq\f(\f(d,2),l)＝eq\f(1,160)，所以tan∠AOB＝eq\f(2tan\f(∠AOB,2),1－tan2\f(∠AOB,2))＝eq\f(\f(1,80),1－\f(1,1602))＝eq\f(320,1602－1).故选A.答案：A创新二[例2]解析：因为bcosC＋ccosB＝4，由余弦定理可得beq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋ceq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝4，所以a＝4，又因为a＝c（cosB＋eq\r(2)cosC），由正弦定理可得sinA＝sinCcosB＋eq\r(2)sinCcosC，即sin（B＋C）＝sinCcosB＋eq\r(2)sinCcosC，所以sinBcosC＝eq\r(2)sinCcosC，因为a>c，所以A>C，所以C<eq\f(π,2)，所以sinB＝eq\r(2)sinC，所以b＝eq\r(2)c＝4，代入S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))＝eq\r(\f(1,4)（16×8－42）)＝2eq\r(7).故选B.答案：B对点训练2．解析：构造一个底面半径为3，高为5的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为h（0≤h≤5）时，小圆锥的底面半径为r，则eq\f(h,5)＝eq\f(r,3)，∴r＝eq\f(3,5)h，故截面面积为9π－eq\f(9h2π,25)，把y＝h代入椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1可得x＝±eq\f(3\r(25－h2),5)，∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2＝9π－eq\f(9h2π,25)，由祖暅原理可得半个橄榄球形几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝9π×5－eq\f(1,3)×9π×5＝30π.故选B.答案：B创新三[例3]解析：通解设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a1＝100，q＝eq\f(1,10)，an＝a1qn－1.令10－2＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(n－1)，解得n＝5，所以S5＝eq\f(a1（1－q5）,1－q)＝eq\f(100×（1－0.15）,1－0.1)＝eq\f(105－1,900)，即乌龟爬行的总距离为eq\f(105－1,900)米．故选B.优解设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a1＝100，q＝eq\f(1,10).令an＝10－2，则Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝eq\f(100－10