中考数学试卷多边形与平行四边形、等腰三角形（含解析）

多边形与平行四边形

一、选择题

1.(湖北省宜昌•3分)如图，在平面直角坐标系中，把AABC绕原点。旋转180°得到

△CDA,点A,B,C的坐标分别为(-5,2),(-2,-2),(5,-2),则点D的坐标为

()

A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,5)D.(-2,5)

【分析】依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点0,依据B的坐标为(-2,

-2),即可得出D的坐标为(2,2).

【解答】解：•.•点A,C的坐标分别为(-5,2),(5,-2),

，点0是AC的中点，

VAB=CD,AD=BC,

.,.四边形ABCD是平行四边形，

ABD经过点0,

的坐标为(-2,-2),

；.D的坐标为(2,2),

故选：A.

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特

殊性质来求出旋转后的点的坐标.

2.(ft东临沂•3分)如图，在QABCD中，AB=10,AD=6,AC1BC.贝ijBD=4丘

【分析】由BCXAC,AB=10,BC=AD=6,由勾股定理求得AC的长，得出0A长，然后由勾

股定理求得0B的长即可.

【解答】解：：四边形ABCD是平行四边形,

.\BC=AD=6,OB=D,OA=OC,

VAC1BC,

•••AC=JA/2-BC2=8,

；.0C=4,

OB=VOC2+BC2=2V13'

.\BD=20B=4V15

故答案为：4J元.

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思

想的应用.

3.（2018•北京・2分）若正多边形的一个外角是60。，则该正多边形的内角和为

A.360°B.540℃.720°D.900°

【答案】C

【解析】由题意，正多边形的边数为〃="=6,其内角和为（〃-2>180°=720°.

60°

【考点】正多边形，多边形的内外角和.

4（2018•安徽・4分）DABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得

出四边形AECF一定为平行四边形的是（）

A.BE=DFB.AE=CFC.AF//CED.NBAE=NDCF

【答案】B

【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.

【详解】A、如图，：四边形ABCD是平行四边形，；.0A=0C,0B=0D,

：BE=DF,...OERF,.•.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；

B、如图所示，AE=CF,不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意;

C、如图，•.,四边形ABCD是平行四边形，，OA=OC,

,.•AF//CE,.\ZFAO=ZECO,

又•；NAOF=/COE,.-.AAGF^ACOE,.\AF=CE,

.•.AFCE,.•.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意;

D、如图，•.•四边形ABCD是平行四边形，；.AB=CD,AB//CD,

/ABE=NCDF,

又：NBAE=/DCF,.,.△ABE^ACDF,；.AE=CF,ZAEB=ZCFD,/.ZAEO=ZCFO,

.,.AE//CF,

/.AECF,.•.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，

故选B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理

与性质定理是解题的关键.

5（四川宜宾•3分）在QABCD中，若NBAD与/CDA的角平分线交于点E,则4AED的形

状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【考点】L5：平行四边形的性质.

【分析】想办法证明NE=90°即可判断.

【解答】解：如图，二•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,

.,.ZBAD+ZADC=180",

,?ZEAD=-^ZBAD,ZADE=^ZADC,

22

/.ZEAD+ZADE=^（ZBAD+ZADC）=90°,

2

AZE=90°,

AAADE是直角三角形，

AD

B

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

6（四川自贡•4分）如图，在4ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若4ADE的面

积为4,则^ABC的面积为（）

A.8B.12C.14D.16

【分析】直接利用三角形中位线定理得出LBC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.

2

【解答】解：♦.•在aABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

；.DE〃BC,DE=LBC,

2

.".△ADE^AABC,

.•.D—E―,1,

BC2

.SAADE1

••-------------->

^AABC4

•••△ADE的面积为4,

...△ABC的面积为:16,

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出aADEs

△ABC是解题关键.

7（台湾•分）如图，锐角三角形ABC中，BOAB>AC,甲、乙两人想找一点P,使得

NBPC与NA互补，其作法分别如下：

（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求：

（乙）作过B点且与AB垂直的直线1,作过C点且与AC垂直的直线，交1于P点，则P

即为所求

对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

【分析】甲：根据作图可得AC=AP,利用等边对等角得：ZAPC=ZACP,由平角的定义可知:

ZBPC+ZAPC=180°,根据等量代换可作判断；

乙：根据四边形的内角和可得：ZBPC+ZA=180°.

【解答】解:甲：如图1,VAC-AP,

/.ZAPC=ZACP,

VZBPC+ZAPC=180°

AZBPC+ZACP=180",

二甲错误；

乙：如图2,VAB±PB,AC±PC,

.,.ZABP=ZACP=90°,

/.ZBPC+ZA=180°,

...乙正确，

故选：D.

【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题

意是解题的关键.

8.（台湾•分）如图，AIBC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC±,F点在DE上，

G、H两点在BC上，且DE〃BC,FG〃AB,FH〃AC,若BG：GH：HC=4：6：5,则AADE与

△FGH的面积比为何？（）

A.2：1B.3：2C.5：2D.9：4

【分析】只要证明△ADESAFGH,可得也些理）2,由此即可解决问题;

^AFGHGH

【解答】解：VBG：GH：HC=4：6：5,可以假设BG=4k,GH=6k,HC=5k,

'.'DE/7BC,FG〃AB,FH〃AC,

四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，

・・・DF=BG=4k,EF=HC=5k,DE=DF+EF=9k,ZFGH=ZB=ZADE,ZFHG=ZC=ZAED,

.-.△ADE^AFGH,

.•.S辿DE）J（9k）2=2故

S/kFGHGH6k4

选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

9.（浙江宁波•4分）已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为（

）

A.6B.7C.8D.9

【考点】多边形的外角和定理

【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数.

【解答】解：正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,

则这个正多边形的边数是：360°+40°=9.

故选：D.

【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于

360度.

10.（2018四川省泸州市3分）如图,QABCD的对角线AC,BD相交于点0,E是AB中点,且

AE+E0=4,则。ABCD的周长为（）

【分析】首先证明：OE=LBC,由AE+E0=4,推出AB+BC=8即可解决问题；

2

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.OA=OC,

VAE=EB,

.,.OE=A.BC,

2

VAE+EO=4,

/.2AE+2EO8,

...AB+BC=8,

平行四边形ABCD的周长=2X8=16,

故选:B.

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握

三角形的中位线定理，属于中考常考题型.

二.填空题

1.（浙江临安•3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻

轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE,其中/BAC=36度.

图1图2

【考点】多边形的内角和定理和等腰三角形的性质

【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：；/ABC=（5-2）-1800=108°,△ABC是等腰三角形，

5

；.NBAC=/BCA=36度.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质.

n边形的内角和为：180°（n-2）.

2（2018年江苏省南京市・2分）如图，在aABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线,

分别交AB、AC于点D、E,连接DE.若BC=10cm,则DE=5cm.

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是AABC的中位线，进而得出答案.

【解答】解：•••用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，

；.D为AB的中点，E为AC的中点，

；.DE是AABC的中位线，

BC=5cm.故答案

为：5.

【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE是aABC的

中位线是解题关键.

3（2018•株洲市・3分）如图，0为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，N0AB=90°,点

B（0,2物，将该三角形沿轴向右平移得到RtAo‘A'B'，此时点的坐标为（2也,2物，则线

段0A在平移过程中扫过部分的图形面积为.

【答案】4

【解析】分析：利用平移的性质得出AA,的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA'对

应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可.

详解：•••点B的坐标为（0,2啦），将该三角形沿x轴向右平移得到RtZ\0'A'B’,此时点

B7的坐标为（2啦，2亦）,

.•.AA'=BBf=2在，

•.•△OAB是等腰直角三角形，

AA（赤，板）,

:.卜N对应的高也

线段0A在平移过程中扫过部分的图形面积为2企X亚=4.

故答案为：4.

点睛：此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移

规律得出对应点坐标是解题关键.

4（2018•株洲市・3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,且BD=CD,过点A作

AMLBD于点M,过点D作DN±AB于点N,且3啦，在DB的延长线上取一点P,满足NABD

=ZMAP

+ZPAB,贝i」AP=.

【答案】6

【解析】分析：根据BD=CD,AB=CD,可得BD=BA,再根据AM±BD,DN±AB,即可得到DN=AM=3线

依据/ABD=NMAP+NPAB,ZABD=ZP+ZBAP,即可得到aAPM是等腰直角三角形，进而得到

啦AM=6.

详解：VBD=CD,AB=CD,

.\BD=BA,

又VAM^BD,DN±AB,

；.DN=AM=3屈

XVZABD=ZMAP+ZPAB,ZABD=ZP+ZBAP,

；.NP=NPAM,

•••△APM是等腰直角三角形，

；.AP=^AM=6,

故答案为：6.

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的

关键是判定aAPM是等腰直角三角形.

5.（2018年江苏省泰州市・3分）如图，oABCD中，AC,BD相交于点0,若AD=6,

AC+BD=16,则△BOC的周长为14.

【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题;

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD=BC=6,0A=0C,0B=0D,

VAC+BD=16,

.\0B+0C=8,

ABOC的周长=BC+0B+0C=6+8=14,

故答案为14.

【点评】本题考查平行四边形的性质.三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识，属于中考常考题型.

6.（2018年江苏省泰州市・3分）如图，四边形ABCD中，AC平分NBAD,ZACD=ZABC=90",

E、F分别为AC、CD的中点，ZD=a,则/BEF的度数为270。-3a（用含a的式子表

示）.

【分析】根据直角三角形的性质得到NDAC=90°-a,根据角平分线的定义、三角形的外角

的性质得到/CEB=180。-2a,根据三角形中位线定理、平行线的性质得到/CEF=/D=a,

结合图形计算即可.

【解答】解：:NACD=90°,ND=a,

.\ZDAC=90°-a,

；AC平分/BAD,

ZDAC=ZBAC=90°-a,

VZABC=90°,EAC的中点，

.\BE=AE=EC,

.\ZEAB=ZEBA=90°-a,

.\ZCEB=180°-2a,

：E、F分别为AC、CD的中点,

；.EF〃AD,

ZCEF=ZD=a,

ZBEF=180°-2a+90°-a=270°-3a,

故答案为:270°-3a.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角

形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

7.（2018年江苏省宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是

【答案】8

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：设这个多边形边数为n,.I（n-2）X180°=360°X3,

n=8.

故答案为：8.

【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360。，根据题意列出方程，解之即可.

8（2018•甘肃白银，定西，武威・3分）1080°,则该正多边形的边数是.

【答案】8

【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可.

【解答】设正多边形的边数是

根据题意得：（n-2）T80°=1080°,

解得：n=8.

故答案为：8.

【点评】考查多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.

9.（湖南省衡阳•3分）如图，口ABCD的对角线相交于点0,且AD#CD,过点。作0M

1AC,交AD于点M.如果ACDM的周长为8,那么口1BCD的周长是16.

【解答】解：；ABCD是平行四边形,

.*.0A=0C,

V0M1AC,

.\AM=MC.

/.ACDM的周长=AD+CD=8,

平行四边形ABCD的周长是

2X8=16.故答案为16.

10.（2018・ft东荷泽・3分）若正多边形的每一个内角为135°,则这个正多边形的边数是

8.

【考点】L3：多边形内角与外角.

【分析】先求出每一外角的度数是45°,然后用多边形的外角和为360°+45°进行计算

即可得解.

【解答】解：•••所有内角都是135°,

每一个外角的度数是180°-135°=45°,

•.•多边形的外角和为360°,

.•.360°+45°=8,

即这个多边形是八边

形.故答案为：8.

【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一.

11.（2018・ft西・3分）图1是我国古代建筑中的一种窗格.其中冰裂纹图案象征着坚冰

出现裂纹并开始清溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图

1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则Z1+N2+Z3+Z4+Z5=

度.

（第12题图2）

【答案】360

【考点】多边形外角和

【解析】•••任意n边形的外角和为360°,图中五条线段组成五边形

Z1+N2+N3+N4+N5=360°

12.（2018・ft东淄博・4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2,AD=3,将4ACD沿

对角线AC折叠，点D落在AABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点0,则AADE的周

长等于10.

AD

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质.

【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解.

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形

；.AD〃BC,CD=AB=2

由折叠，ZDAC=ZEAC

ZDAC=ZACB

ZACB=ZEAC

.,.OA=OC

：AE过BC的中点0

.•.AO』C

2

ZBAC=90°

ZACE=90°

由折叠，ZACD=90°

；.E、C、D共线，则DE=4

.•.△ADE的周长为:3+3+2+2=10

故答案为：10

【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明.解题时注意不

能忽略E、C、D三点共线.

13.（2018•四川成都・3分）如图,在菱形458中，taiN=W,分别在边zLQAC

上，将四边形AMNB沿翻折，使的对应线段万开经过顶点D,当EFLAD

【答案】7

【考点】勾股定理，菱形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，解直

角三角形

【解析】【解答】解：•••菱形AMNB沿AfN翻折，使」方的对应线段E户经过顶点D,

：.ZA=ZE=ZC,Z1=ZB,EM=AM,AB=EF=DC=AD

VEF1EF

ZEDM=90°

,,_4DM

...tan/E=taW-W=DE

设DM=4x,DE=3x,则EM=AM=5x=EF

DC=AD=AM+DM=9x,DF=EF-DE=9x-3x=6x

延长EF交BC于点H

，AD〃BC,EF±EF

ZEDM=ZDHC=90°VZE=ZC

AADEM^AHCD

.\EM：DC=DE:CH,即5x：9x=3x：CH

27

解之：CH=~\

在RtZ\DHC中，DH=DC-CH2

27

DH2=81X2-(~X)2

36

解之：DH=5A

366

.\FH=DH-DF=5、-6x=5“

VZ1+ZHFN=18O°ZB+ZC=180°,Z1=ZB

ZHFN=ZC,ZDHC=ZFHN=90°

.,.△FHN^ACHD

627

.,.FN:DC=FH:CH,即FN:9x=SA：~A

解之：FN=2x=BN

.\CN=BC-BN=9x-2x=7x

BN2

，CN=7

2

故答案为：7

【分析】根据折叠的性质，可得出菱形AMNB沿翻折，使的对应线段无月经过

顶点D,可得出/A=/E=/C,Z1=ZB,EM=AM,AB=EF=DC=AD,利用锐角三角形函数的定

..4DM

义，可得出tanNE=rarL1_3=DE,设DM=4x,DE=3x,贝l]EM=AM=5x=EF,就可求出菱

形的边长及EM的长，延长即交BC于点II,再证明△DEMs/MICD,求出C11的长，利用

勾股定理求出DH的长，就可得出FH的长，然后证明△FHNsaCHD,求出FN的长，即可

得出BN

的长，从而可求出BN和CN之比。

三.解答题

1.(湖北省孝感•8分)如图，B,E,C,F在一条直线上，已知AB〃DE,AC:〃DF,

BE=CF,连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形.

【分析】由AB〃DE、AC〃DF利用平行线的性质可得出NB=NDEF、ZACB=ZF,由BE=CF

可得出BC=EF,进而可证出△ABC义Z\DEF(ASA),根据全等三角形的性质可得出AB=DE,再

结合AB〃DE,即可证出四边形ABED是平行四边形.

【解答】证明：；AB〃DE,AC〃DF,

.\ZB=ZDEF,ZACB=ZF.

VBE=CF,

；.BE+CE=CF+CE,

.\BC=EF,

，ZB=ZDEF

在aABC和4DEF中，BC-EF,

ZACB=ZF

/.△ABC^ADEF(ASA),

AAB=DE.

又：AB〃DE,

...四边形ABED是平行四边形.

【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用

全等三角形的性质找出AB=DE是解题的关键.

2.(2018•湖南省永州市・10分)如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以线段

AB为边向外作等边AABD,点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.

(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；

(2)若AB=6,求平行四边形BCFD的面积.

【分析】（1）在RtAABC中，E为AB的中点，则CE=^AB,BE=1AB,得到NBCE=NEBC=60°.由

22

△AEF^ABEC,得/AFE=/BCE=60°.又ND=60°,得/AFE=/D=60度.所以FC/7BD,

又因为NBAD=NABC=60°,所以AD/7BC,即FD〃BC,则四边形BCFD是平行四边形.

（2）在RtZ\ABC中，求出BC,AC即可解决问题；

【解答】（1）证明：在AABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,

Z.ZABC=60°.

在等边4ABD中，ZBAD=60°,

.\ZBAD=ZABC=60°.

：E为AB的中点,

/.AE=BE.

XVZAEF=ZBEC,

.,.△AEF^ABEC.

在aABC中，ZACB=90°,E为AB的中点，

；.CE」AB,BEqB.

22

/.CE=AE,

ZEAC=ZECA=30°,

AZBCE=ZEBC=60°.

又•.,△AEF丝△BEC,

AZAFE=ZBCE=60°.

又・・・ND=60°，

.\ZAFE=ZD=60°.

・・・FC〃BD.

又・・,NBAD=NABC=60°,

AAD/ZBC,即FD〃BC.

・・・四边形BCFD是平行四边形.

(2)解：在RtZXABC中，VZBAC=30°,AB=6,

・・.BC」AB=3,AC=/BC=3«,

2

1•S平行四边形近9匹

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、

解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常

考题型.

3.（2018年江苏省宿迁）如图，在DABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且

BE=DF,EF分别与AB、CD交于点G、H,求证：AG=CH.

【答案】证明：：在DABCD中，；.AD〃BC,AD=BC,/A=NC,

/.ZE=ZF,又

VBE=DF,

.\AD+DF=CB+BE,即

AF=CE,

在△CEH和AAFG中，

(NE=ZF

lzc=乙4,

.,.△CEH^AAFG,

.\CH=AG.

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质

【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD〃BC,AD=BC,NA=/C,根据平行线的性质得N

E=/F,再结合已知条件可得AF=CE,根据ASA得ACEH丝△AFG,根据全等三角形对应边相

等得证.

4(新疆生产建设兵团・8分)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0.E,F是

AC上的两点，并且AE=CF,连接DE,BF.

(1)求证：△DOEg^BOF；

(2)若BD=EF,连接FB,DF.判断四边形EBFD的形状，并说明理由.

【分析】(1)根据SAS即可证明;

(2)首先证明四边形EBFD是平行四边形,再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明;

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.".OA=OC,OB=OD,

：AE=CF,

；.OE=OF,

在△»£()和aBOF中，

"OD=OB

<ZD0E=ZB0F

OE=OF

.,.△DOE^ABOF.

(2)解：结论：四边形EBFD是菱

形.理由：；OD=OB,OE=OF,

...四边形EBFD是平行四边形，

VBD=EF,

四边形EBFD是菱形.

D

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

5.(2018•湖北恩施・8分)如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC〃FD,

AD交BE于0.

求证：AD与BE互相平分.

【分析】连接BD,AE,判定△ABCgZ\DEF(ASA),可得AB=DE,依据AB〃DE,即可得出

四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分.

【解答】证明：如图,连接BD,AE,

：FB=CE,

.-.BC=EF,

又：AB〃ED,AC〃FD,

ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,

在aABC和ADEF中，

'/ABC=NDEF

<BC=EF，

ZACB=ZDFE

AAABC^ADEF(ASA),

，AB=DE,

又•；AB〃DE,

四边形ABDE是平行四边形，

；.AD与BE互相平分.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对

应边相等得出结论.

6.（2018•广东广州•14分）如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,ZD=30°,

AB=BC.C

（1）求NA+NC的度数。

（2）连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。

（3）若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动，且满足.店=RE^+CE2，求点E运动

路径的长度。

【答案】（1）解：在四边形ABCD中，ZB=60°,ZD=30°,

ZA+ZC=360°-ZB-ZC=360°-60°-30°=270°。

（2）解：如图，将aBCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAQ,连接DQ,

0

VBD=BQ,NDBQ=60°,

.,.△BDQ是等边三角形,

・・・BD=DQ,

VZBAD+ZC=270°,

ZBAD+ZBAQ=270°,

.\ZDAQ=360°-270°=90°,

...△DAQ是直角三角形

.*.AD2+AQ2=DQ2,

即AD2+CD2=BD2

(3)解：如图，将aBCE绕点B逆时针旋转60°,得到aBAF,连接EF,

VBE=BF,ZEBF=60°,

...△BEF是等边三角形，

；.EF=BE,NBFE=60°,

,/AE2=BE2+CE2

.,.AE=EF2+AF2

.,.ZAFE=90°

ZBFA=ZBFE+ZAFE=60°+90°=150°,

.,.ZBEC=150°,

则动点E在四边形ABCD内部运动，满足/BEC=150°,以BC为边向外作等边

△OBC,则点E是以0为圆心，0B为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC,

VOB=AB=1,

则BC=6需1=J

【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，

旋转的性质

【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360度，结合已知条件即可求出答案.

（2）将ABCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAQ,连接DQ（如图），由旋转性质和等边

三角形判定得是等边三角形，由旋转性质根据角的计算可得4DAQ是直角三角形，

根据勾股定理得AD2+AQ2=DQ2,即ADUCDJBD?.

（3）将4BCE绕点B逆时针旋转60°,得到ABAF,连接EF（如图），由等边三角形判定得

△BEF是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得AEJEF2+AF2,即/AFE=90°,

从而得出NBFA=/BEC=150°,从而得出点E是在以0为圆心，0B为半径的圆周上运动，

运动轨迹为BC,根据弧长公式即可得出答案.

7.（2018四川省眉ft市15分）如图①，在四边形ABCD中，ACLBD于点E,AB=AC=BD,点

M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.

(1)求证：BN平分NABE；

(2)若BD=1,连结DN,当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长;

(3)如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM,求证：△MFNs^BDC.

【答案】⑴证明：；AB=AC,

ZABC=ZACB,

又为BC中点，

.\AM1BC,

在RtAABM中,

.\ZABC+ZMAB=90°,

VAC1BD,

在RtACBE中，

.\ZACB+ZEBC=90°,

.,.ZMAB=ZEBC,

又•.,MBuMN,AM1BC,

.•.△NBM为等腰直角三角形，

；.NMBN=NMNB=45°,

.,.ZEBC+ZNBE=45°,ZMAB+ZABN=ZMNB=45°,

ZMAB=ZEBC,

ZNBE=ZABN,

；.BN平分/ABE.

(2)解：四边形DNBC为平行四边形，

设BM=CM=MN=a,则DN=BC=2a,

在aABN和△DBN中，

LIB=DB

ZNBE=乙ABN

'：、RN=RN

.,.△ABN丝△DBN中(SAS),

；.AN=DN=2a,在

RtAABM中，

VBD=1,AB=AC=BD,

，AB=1,

.,.AM2+BM2=AB2,

(2a+a)2+a2=l,

叵

解得：a=10.

叵

：.BC=2a=~S-.

(3)解证明：：MB=MN,M为BC中点,

1

.\MN=MB=2BC,

又；F是AB的中点,AB=AC=BD,

在RtAABM中，

11

；.MF=AF=BF=2AB=2BD,

.\ZMAB=ZFMN,

由⑴知NMAB=NEBC,

ZFMN=ZEBC,

MFMN1

又：BD~BC~2,

.,.△MFN^ABDC.

【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角

形

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形等边对角得ZABC=ZACB,由等腰三角形三线合一的性

质得AM1BC,根据等角的余角相等得NMAB=/EBC；根据等腰三角形的判定可得△NBM为

等腰直角三角形，由角的运算和等量代换得NNBE=/ABN,即BN平分/ABE.

(2)由平行四边形的性质设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a,根据全等三角形的判定SAS得4ABN

^△DBN中，全等三角形的性质得AN=DN=2a,在RtAABM中，根据勾股定理代入数值得(2a+a)

2+a=l,解方程，由BC=2a得出答案。

（3）根据相似三角形的判定两边对应成比例及夹角相等得证.

等腰三角形

一、选择题

1.（2018枣庄・3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在

小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB,那么使AABP为等腰直

角三角形的点P的个数是（）

【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论.

【解答】解：如图所示，使AABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,

Pa

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关

键.2（2018枣庄・3分）如图，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,AF平分

ZCAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为（）

【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+NCFA=90°,NFAD+NAED=90°,根据角平分

线和对顶角相等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出

答案.

【解答】解：过点F作FGLAB于点G,

VZACB=90°,CD1AB,

AZCDA=90°,

ZCAF+ZCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,

VAF平分NCAB,

・・・ZCAF=ZFAD,

AZCFA=ZAED=ZCEF,

ACE=CF,

・「AF平分NCAB,NACF二NAGF=90°,

.\FC=FG,

VZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

/.△BFG^ABAC,

・BF二FG

**ABAC，

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

ABCM,

.4-FC.FG

••--------------------，

53

：FC=FG,

.4-FC_FC

•・--------------------，

53

解得：FC=W,

2

即CE的长为

—.故选：A.

2

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及

相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出/CEF=/CFE.

3.（2018淄博・4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A,B,C

的距离分别为3,4,5,则4ABC的面积为（）

BC

A.B2^318+25V3D.孙2蜉

94^S.9+

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理.

【分析】将aBPC绕点B逆时针旋转60°得ABEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,

NPBE=60。，则4BPE为等边三角形，得到PE=PB=4,ZBPE=60°,在4AEP中，AE=5,

延长BP,作AF±BP于点FAP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到4APE为直角三角

形，且NAPE=90°,即可得到NAPB的度数，在直角4APF中利用三角函数求得AF和PF

的长，则在直角^ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积.

【解答】解：•••△ABC为等边三角形，

；.BA=BC,

可将aBPC绕点B逆时针旋转60°得ABEA,连EP,且延长BP,作AF_LBP于点F.如图，

；.BE=BP=4,AE=PC=5,ZPBE=60°,

.♦.△BPE为等边三角形，

；.PE=PB=4,ZBPE=60°,

在Z\AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,

.-.AE2=PE2+PA2,

••.△APE为直角三角形,且NAPE=90°,

ZAPB=900+60°=150°.

ZAPF=30",

二.在直角△APF』AP=且,PF=®AP=±伍.

222

・•・在直角AABF)2+(—)J25+12.则AABC

24

叵.(25+12遂§25V5

44

故选：A.

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前

后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距

离相等.

4.（2018•江苏扬州・3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰RtAABC

和等腰RtZ\ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论：

①△BAEs^CAD；②MP・MD=MA・ME；③2CBJCP・CM.其中正确的是（）

【分析】(1)由等腰RtzXABC和等腰RtZ\ADE三边份数关系可证;

(2)通过等积式倒推可知，证明△PAMs^EMD即可；

(3)2CB?转化为AC2,证明△ACPs^MCA,问题可证.

【解答】解：由已知：AC=V2AB,AD=V2AE

AC_AD

AB^AE

,?ZBAC=ZEAD

AZBAE=ZCAD

AABAE^ACAD

所以①正确

VABAE^ACAD

/.ZBEA=ZCDA

,ZZPME=ZAMD

/.APME^AAMD

/.HP_ME

MA^MD

所以②正确

,ZZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

：.P>E、D、A四点共圆

/.ZAPD=ZEAD=90°

,?ZCAE=1800-ZBAC-ZEAD=90°

/.△CAP^ACMA

.\AC2=CP<M

,/AC=V2AB

/.2CB2=CP*CM

所以③正确

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断.在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推

的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案.

5.（湖南省常德•3分）如图，已知BD是AABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，

ZBAC=90°,AD=3,则CE的长为（）

A.6B.5C.4D.3-y3

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,根据角平分线的定义、三角形内角和定理

求出NC=NDBC=NABD=30°,根据直角三角形的性质解答.

【解答】解：•••£口是BC的垂直平分线，

.\DB=DC,

.\ZC=ZDBC,

；BD是aABC的角平分线,

.\ZABD=ZDBC,

NC=NDBC=/ABD=30°,

，BD=2AD=6,

.".CE=CDXcosZC=3V3«

故选：D.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上

的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

6.（台湾•分）如图，锐角三角形ABC中，BOAB>AC,甲、乙两人想找一点P,使得

NBPC与NA互补，其作法分别如下：

（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；

（乙）作过B点且与AB垂直的直线1,作过C点且与AC垂直的直线，交1于P点，则P即

为所求

对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）

BC

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

【分析】甲：根据作图可得AC=AP,利用等边对等角得：ZAPC=ZACP,由平角的定义可知:

ZBPC+ZAPC=180°,根据等量代换可作判断；

乙：根据四边形的内角和可得：ZBPC+ZA=180°.

【解答】解：甲：如图1,：AC=AP,

AZAPC=ZACP,

ZBPC+ZAPC=180°

.\ZBPC+ZACP=18O0,

甲错误；

乙：如图2,VAB±PB,AC±PC,

AZABP=ZACP=90°,

.\ZBPC+ZA=180°,

.•.乙正确，

故选：D.

【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题

意是解题的关键.

7.（2018•湖北荆门・3分）如图，等腰RtAABC中，斜边AB的长为2,0为AB的中点，P

为AC边上的动点，0Q_L0P交BC于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点

M所经过的路线长为（）

A.乎…浮TC」

D.2

【分析】连接0C,作PE1AB于E,MH1AB于H,QF1AB于F,如图，利用等腰直角三

角形的性质得近,ZA=ZB=45°,OC±AB,0C=0A=0B=l,ZOCB=45°，再证明RtAAOP

多。平CQ,

会△COQ得到AP=CQ,接着利用AAPE和ABEQ都为等腰直角三角形得到

QF=Y0BQ,所以返BC=1,然后证明ffl为梯形PEFQ的中位线得到工，即可判定点M到

222

AB的距离为工，从而得到点M的运动路线为4ABC的中位线，最后利用三角形中位线性

2

质得到点M所经过的路线长.

【解答】解：连接0C,作PELAB于E,MIUAB于II,QFLAB于F,如图,

VAACB为到等腰直角三角形，

.\AC=BC=^SAB=V2，ZA=ZB=45",

2

为AB的中点,

/.0C1AB,0C平分NACB,OC=OA=OB=1,

；./0CB=45°,

VZP0Q=90°，ZC0A=90°，

.\ZA0P=ZC0Q,

在RtAAOP和△COQ中

'NA=N0CQ

,AO=CO，

ZA0P=ZC0Q

ARtAAOP^ACOQ,

，AP=CQ,

易得4APE和△BFQ都为等腰直角三角形,

,-.PE=2^AP=^-CQ,QF=^BQ,

?.PE+QF=^(CQ+BQ)=^-BC=^-XA/2=1,

222

点为PQ的中点，

；.MH为梯形PEFQ的中位线，

.•.MH」(PE+QF)即点M

22

至UABL,而CO=1,

2

点M的运动路线为aABC的中位线，

当点P从点A运动到点C时，点M^AB=1.故选：C.

2

【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨

迹.也考查了等腰直角三角形的性质.

8.(2018•河北・3分)已知：如图4,点P在线段AB外，且PA=PB.求证：点尸在线段

45的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是()

A.作NAP3的平分线PC交4B于点C

B.过点P作尸CLAB于点C且AC=3。

C.取A8中点C,连接PC

D.过点P作PCVAB,垂足为C

答案।B

本题考查等腰三角形的性质（三线合一）但需耍运用全等三角形的判定来加以

证明,这是对学生对知识点拿握是否扎实的一项考查，题目旌度不大，但是者

虑问题需要细心.A、C、D三项都对.选项B过点P作PCj.AB丁点C,是不能作

出AC=B（"的，这一条件需要运用全等来证明,因此本题选B.

9.（2018四川省绵阳市）如图，Z\ACB和4ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,AACB

的顶点A在4ECD的斜边DE上，若AE=6,AD=诟，则两个三角形重叠部分的面积为

（）

B.3-亚

c.6-1

D.3-后

【答案】D

【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质,

等腰直角三角形

【解析】【解答】解：连接BD,作CH_LDE,

CB

•••△ACB和4ECD都是等腰直角三角形，

NACB=/ECD=90°,ZADC=ZCAB=45°,

即/ACD+/DCB=NACD+/ACE=90°,

/.ZDCB=ZACE,

在△口□?和4ECA中，

pC=EC

ZDCB=AACE

UC=BC，

/.△DCB^AECA,

，DB=EA=Jl,ZCDB=ZE=45°,

AZCDB+ZADC=ZADB=90",

在RtAABD中，

AAB=通2亚

在RtAABC中，

.\2AC2