双曲线的简单几何性质同步练习- 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质一、必备知识基础练1.已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=A.6 B.4 C.2 D.12.(多选题)在下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的有()A.x29-y24C.x24-y293.已知双曲线方程为x2-y24=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有(A.4条 B.3条 C.2条 D.1条4.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于(A.2-1 B.2 C.2+1 D.2+25.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1A.y=±12x B.y=±2C.y=±x D.y=±2x6.已知双曲线y2a2-7.已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(13,0)在线段PQ8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=53(2)经过点C(-3,2),且与双曲线x29.双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点二、关键能力提升练10.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为()A.x23-y2=1 B.xC.y23-x21211.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于PA.2+1 B.3+1C.2 D.512.已知直线y=x-2与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,13.已知点A(-3,0)和B(3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.(1)求点C的轨迹方程;(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长.参考答案1.D∵双曲线的离心率e=ca=5,c=∴a2+1a=5,解得2.ABD令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.3.B因为双曲线x2-y24=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.4.C不妨设双曲线标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=2+1或e=1-2(舍去)5.C设双曲线的半焦距为c,则F(c,0),将x=c代入双曲线x2a得y=±b2a,不妨取Cc,b又A1(-a,0),A2(a,0),所以kA1B因为A1B⊥A2C,所以-b2a即b4a2(c所以a=b,故渐近线方程是y=±bax=±6.y=±34x依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=±abx=±7.32根据题意,双曲线C:x24-y29=所以点A(13,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点,虚轴长为6,所以|PQ|=12.双曲线图象如图.|PF|-|AP|=2a=4,①|QF|-|QA|=2a=4,②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,故周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.8.解(1)设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则2b=8,e=ca=53,从而b=4,代入c2=a(2)由题意可设所求双曲线方程为x28-y216=λ(λ≠0),将点C(-3,2)的坐标代入,得389.解由题意得,双曲线x29-y216=1的右顶点A(3,0),右焦点不妨设直线FB的方程为y=43(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=解得x=175,y=-3215,所以B175,-32所以S△AFB=12|AF||yB|=12(c-a)·|yB|=12×(5-10.ABD依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x或y=±3x,根据选项检验可知A,B,D均可能11.B(方法1)令双曲线的左焦点为F1,连接QF,QF1,图略,由题意可知,焦点三角形QF1F是∠QF1F=π6的直角三角形.令QF=1,则FF1=2,QF1=3,e=2c2(方法2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2,故x1+x2=0,x设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故FP·FQ=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以a4,得ba4-6ba2-3=0,解得b故c=1+ba2=12.233直线y=x-2与线段则线段AB的垂直平分线的斜率为-1,又线段AB的垂直平分线过点(4,0),∴线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4),即x+y-4=0.联立y=x即AB的中点坐标为(3,1).设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,∵AB的中点坐标为(3,1),AB的斜率为1,∴x1+x2=6,y1+y2=2,y1-y则x12a则b2a2=∴双曲线C的离心率e=1+b13.解(1)∵点A(-3,0)和B(3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.|AB|=23>2,∴点C的轨迹方程是以A(-3,0)和B(3,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=3,∴点C的轨迹方程