人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）（原卷版）

专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）易错点1对空间向量的运算理解不清1．在棱长为1的正四面体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的长度均最短时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．下列命题中正确的个数是（

）．①若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线．②向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，那么对于空间任意一个向量SKIPIF1<0，存在有序实数组SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，而SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0是空间向量的一组基底．A．0 B．1 C．2 D．33．以下命题：①若SKIPIF1<0，则存在唯一的实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0为空间的一个基底，则SKIPIF1<0构成空间的另一个基底；④SKIPIF1<0一定成立.则其中真命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．14．下面四个结论正确的个数是（

）①空间向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若空间四个点P，A，B，C，SKIPIF1<0，则A，B，C三点共线；③已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为钝角；④任意向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．A．4 B．3 C．2 D．15．（多选）给出下列命题，其中正确的是（）A．若SKIPIF1<0是空间的一个基底，则SKIPIF1<0也是空间的一个基底B．在空间直角坐标系中，点SKIPIF1<0关于坐标平面yOz的对称点是SKIPIF1<0C．若空间四个点P，A，B，C满足SKIPIF1<0，则A，B，C三点共线D．平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<06．（多选）下列命题中正确的是（

）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线的充分条件B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线，对空间任意一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为空间四点，且有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线），则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线的充分不必要条件7．在正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面．易错点2忽略条件导致建系错误8．如图，在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，平面SKIPIF1<0与棱SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，试确定点SKIPIF1<0的位置.9．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)试建立空间直角坐标系，并写出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标；(2)求SKIPIF1<0的余弦值．10．如图所示，正三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长都为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．11．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的一点，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．12．在平行六面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平行六面体高为SKIPIF1<0，顶点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0的射影SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，设SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0，建立适当空间直角坐标系并写出点SKIPIF1<0的坐标.SKIPIF1<013．如图所示，已知平行六面体SKIPIF1<0的底面为边长为SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0分别为上、下底面的中心，且SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．请建立适当空间直角坐标系，并求点SKIPIF1<0的坐标．14．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．易错点3证明线面平行垂直时出现混乱15．设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<016．设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的三点，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<017．（多选）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，E，F分别是AB，BC中点，则（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．点E到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<018．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是边长为1的正方形，SKIPIF1<0底面ABCD，垂足为A，SKIPIF1<0，点M在棱PD上，SKIPIF1<0平面ACM．

(1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得SKIPIF1<0平面PBD？19．已知在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在线段SKIPIF1<0上取点M，在SKIPIF1<0上取点N，使得直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则线段MN长度的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（多选）若SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上不同的两点，则以下命题正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<021．（多选）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0运动，则下列结论正确的是（

）

A．存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0B．不存在点SKIPIF1<0使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五点共球面，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<022．如图所示的几何体中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由.易错点4混淆异面直线的夹角与向量的夹角23．已知直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的度数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（多选）在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则AF的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．如图，已知空间四边形SKIPIF1<0的每条边和对角线的长都等于1，点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，计算：(1)SKIPIF1<0；(2)异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值.27．如图，在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．如图在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0(2)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值；29．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值．30．设SKIPIF1<0分别是空间两直线SKIPIF1<0的方向向量，则直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的大小为_____.易错点5混淆线面的夹角与向量的夹角31．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知Q是棱SKIPIF1<0上靠近点P的四等分点，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<032．在直三棱柱SKIPIF1<0中，底面是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，侧棱SKIPIF1<0，D，E分别是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的中点，点E在平面ABD上的射影是SKIPIF1<0的重心G，则SKIPIF1<0与平面ABD所成角的余弦（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<033．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为_____．

34．如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在棱DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，试说明理由．35．在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的中点.（用向量的方法证明）(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（用向量的方法证明）(2)若F为SKIPIF1<0上的动点，使直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0，求BF的长.36．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，点M在线段AB上（含端点）运动，连接AD．(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE交于点O，确定O点位置，求线段OA的长；(2)若折成二面角的大小为45°，是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为45°，若存在，确定出点M的位置；若不存在，请说明理由．37．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：点E是PD的中点；(2)求直线BE与平面ACE所成角的余弦值．38．已知多面体SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，E，F分别为QA，BC的中点，SKIPIF1<0.

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的正弦值.易错点6混淆两个平面的夹角与二面角39．在正六棱柱SKIPIF1<0中，底面棱长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0.

(1)求SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的余弦值；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一点，记平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.40．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面ABC是边长为8的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D在SKIPIF1<0上且满足SKIPIF1<0.

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的正弦值.41．如图1，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如图2．

(1)证明：平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，设SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．42．如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，侧面SKIPIF1<0是正三角形，且侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为侧棱SKIPIF1<0的中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKI