沪教版 九年级（下）学期 同步讲义 第4讲 创新题型(解析版)

创新题型

«知识结构

模块一：定义应用

⑧例题解析

【例1】定义区为不超过x的最大整数，如[3.6]=3,[-3.6]=-4.对于任意实数x,下列

式子错误的是（）

A.[幻=x（x为整数）B.0<x-[x]<l

C.[x+y]4[x]+[y]D.[n+x]=n+[x]（"为整数）

【答案】C.

【解析】由反例[3.8+2.7]=[6.5]=6,[3.8]+[2.7]=3+2=5可知C错误.

【总结】本题考查取整函数团的定义及应用.

【例2】在平面直角坐标系xOy中，对于点尸（x,y）和。（x,歹），给出如下定义：若

则称点。为点尸的“可控变点”.如果点（一1,-2）为点M的可

控变点，则点M的坐标为.

【答案】（-1,2）

【解析】由题意得，当x<0时，V=—y，且x不变，所以当x=-l,时y'=2,

即点M坐标为（T,2）.

【总结】把握好“可控变点”的定义，找出y'与y两者之间存在的关系.

【例3】定义一种新运算：x*y=日±型，如2*1=生2=2,则（4*2）*（-1）=

x2

【答案】0.

【解析】先计算（4*2）=包匚£=2,再计算2*（-1）=2+（；）X2=0.

【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序.

__14-W-n(m>ri\,

【例4】已知m=x+l,〃=T+2,若规定y，则y的最小值为()

m+n(m<n)

A.0C.-1D.2

【答案】B.

2

当xN4时，y>1；

【解析】把相=x+l,〃=—%+2代入,得到y=,V4J

2

—2.x+2|x<一

I2

当了<g时、y>i・所以y的最小值是1，故选B.

【总结】考查分段函数求最值的问题.

【例5】（2015学年.浦东新区二模.第17题）定义运算"”：规定x*y=ax+by（其中以

b为常数），若1*1=3,1*（—1）=1,1*2=.

【答案】4.

2/17

\a+b=3

【解析】把1*1=3,1*-1=1代入运算法则，得人一解得:

［a-b=］

所以1*2=2XI+1X2=4.

【总结】根据新运算，求出。、6的值是解答本题的关键.

【例6】（2015学年•宝山区、嘉定区二模•第17题）对于实数m、n,定义一种运算“*”

为：m*n=mn+n.如果关于x的方程x*（a*x）=-；有两个相等的实数根，那么满足

条件的实数a的值是.

【答案】0.

【解析】根据运算法则，（〃*x）=or+x,x*（ax+x）=x（or+x）+o¥+x,

整理得（a+l）d+（a+l）x+；=0,此方程有两个相等的实数根,

4+120

则/、2,、，解得：4=0a2=-1（舍），所以a=0.

△=(a+1)-(<7+1)=0

【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行

求解，注意二次项系数不能为零.

【例7】（2014学年•宝山区、嘉定区二模•第17题）我们把两个三角形的外心之间的距离

叫做外心距.如图，在和用AACD中，N4C8=N48=90。，点D在边BC

的延长线上，如果3c=£>C=3,那么A4BC和zUCD的夕卜心距是

【答案】3.

【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以AA8C和AACD

的外心分别为他和A£）的中点，这两个三角形的外心距

即4曲的中位线，长度是g3/5=3.

【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线.

【例8】（2014学年•虹口区二模•第17题）定义［a,b,c］为函数y=o?+云+c的“特征

数”.如：函数y=/+3x—2的“特征数”是［1,3,-2］,函数y=-x+4的“特征数”

是［0,-1,4］,如果将“特征数”是［2,0,4］的函数图像向下平移3个单位，得到一

个新函数图像，那么这个新函数的解析式是.

【答案】y=2x2+1.

【解析】由题意得“特征数”是［2,0,4］的函数解析式为y=2/+4,向下平移3个单位可

得新函数的解析式为：y=2x2+1.

【总结】特征数伍，〃，c）即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析

式，再根据抛物线的平移法则''上加下减、左加右减”进行解题.

【例9】（2015学年•闸北区二模•第17题）在平面直角坐标系xOy中，8的半径为r,点

P是与圆心C不重合的点，给出如下定义:若点P'为射线CP上一点,满足CP.CP'=r2,

则称点P1为点、P关于OC的反演点.如图为点P及其关于OC的反演点P,的示意图.请

写出点—,0）关于以原点。为圆心，以1为半径的。0的反演点M,的坐标.

所以点AT的坐标为（2,0）.

【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系.

【例10】（2014学年•普陀区二模•第17题）如图1,对于平面上不大于90°的NMON,

我们给出如下定义：如果点尸在NA7ON的内部，作尸PFLON,垂足分别

为点E、F,那么称PE+PF的值为点P相对于NMON的“点角距离”，记为

d（P,AMON）.如图2,在平面直角坐标系xOy中，点P在第一象限内，且点P的

横坐标比纵坐标大1.对于AxOy,满足d（P,ZxOy）=5,点尸的坐标是.

【答案】（3,2）.V

M

【解析】过点P分别作上轴，轴，E/

•・•点尸在第一象限内且横坐标比纵坐标大1,

，设帖=〃，则PB=a+l,/|

O

-1

图1

图2

d(P,ZxOy)=5,

可得：PA+PB=5,即a+a+l=5,解得：a=2,

所以点尸的坐标为(3,2).

【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标.

模块二：阅读理解

例题解析

【例11】一组数1,1,2,x,5,y,…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两

个数之和”，那么这组数中y表示的数为.

【答案】8.

【解析】由题得，x=l+2=3,y=3+5=8.

【总结】本题难度不大，运算也比较简单.

ab

【例12】四个数〃、b、c、d排列成，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:

ca

ahx+3x-3

-ad-be.若x-3x3=12,则k——

cd+

【答案】1.

x+3x—3

【解析】由运算法则得=(X+3)2-(X-3)2,整理得：12x=12,解得：x=l.

x-3x+3

【总结】由运算法则整理，再解关于X的方程即可.

「涯专史」

【例13】对于两个不相等的实数a、h,我们规定符号max{a,可表示人6中的较大值,

如：max{2,4}=4,按照这个规定，方程max{x,—x}=包里的解为（）

X

A.1-V2B.2-72

C.1+短或1一/D.1+也或一1

【答案】D.

【解析】当x>0时，max{x,-x}=x,解方程x=2x+l,得：x=\+j2,所以x=l+V5；

X

7Y-L1

当x<0时，max{x,-x}=-x,解方程-x=-----,得：xl=x2=-},所以x=-l；

综上，x=l+也或-1,故选D.

【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x的方程.

【例14】（2014学年.奉贤区二模.第17题）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数

差称为该三角形的“内角正度值”.如果等腰三角形的腰长为2,“内角正度值”为45。，

那么该三角形的面积等于

【答案】1或2.

【解析】设最小角为x,则最大角为x+45,

当顶角为x+45,贝iJx+x+x+45=180,解得：x=45,此三角形为等腰直角三角

形，

此三角形的面积=工x2x2=2；

2

当顶角为x时，则x+x+45+X+45=180,解得:

如图，AB=AC=2,ZA=30,作CD_LAB,

在肋△ADC,VZA=30,/.CD=-AC=1,

2

**•此三角形的面积=1x2x1=1.

2

综上所述，该三角形的面积等于1或2.

【总结】本题注意分类讨论.根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行

面积的求解.

6/17

【例15】（2013学年•松江区二模•第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边

的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知R/A48C,

NC=9O。，较短的一条直角边边长为1,如果RfAABC是“有趣三角形”，那么这个三

角形“有趣中线”长等于.

【答案】—.

3

【解析】“有趣中线”有三种情况：

若“有趣中线”为斜边/W上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合

题意；若''有趣中线”为3c边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立;

若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，

如图所示，BC=\,设BD=2x,则CD=x.

在Rt^BCD中，勾股定理得1+犬=（2x）2,

解得：x=,所以BD=2K=?6-.

33

【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论.

【例16】（2015学年•崇明县二模.第17题）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它

的一边为1:2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协

调边”.当“协调边”为3时，它的周长为.

【答案】8或10.

【解析】由题意可知，存在两种情况：（1）一组邻边长分别为3和1,周长=8；

（2）一组邻边长分别为3和2,周长=10.

【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质.

【例17】（2015学年•虹口区二模•第17题）设正〃边形的半径为R,边心距为r,如果我

们将K的值称为正”边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是（结果保

r

留根号）.

产暨史一」

【答案］殛.

3

【解析】设正六边形的边长为a,则半径为R=a,边心距为广且a,所以6=2叵.

2r3

【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质.

【例18】(2013学年•静安区二模•第16题)将关于x的一元二次方程/+*+4=0变形

为x-px_q,就可将/表示为关于x的一次多项式，从而达到''降次"的目的，我

们称这样的方法为“降次法”.已知f—x—1=0,可用“降次法”求得J—3x-l的

值是.

【答案】1.

【解析】由/一%—1=0,得犬2=》+1,代入x1*-3x-l=(x+l1-3x-l=x?-x=1.

【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题.

【例19】(2014学年•金山区二模•第17题)在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外

切、连心线与直线y=x平行的两个圆，称之为“挛生圆”；已知圆月的圆心为(-2,3)

半径为那么圆A的所有“挛生圆”的圆心坐标为.

【答案】(0,5)或(-4,1).

【解析】由题意得，连心线所在直线为y=x+5,因为两圆外切，设另一圆心为圆8,所以

圆心距AB=2应，设B(x,x+5),所以AB="(X+2)2+(X+2)2=2板,

解得：xt=0,x?=T,所以圆心8的坐标为(0,5)或(-4,1).

【总结】本题考查了“挛生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系.

8/17

【例20】（2013学年•黄浦区二模•第17题）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆

心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如果。。、G）。?半径分

别3和1,且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距”的取值范围是.

【答案】2Vd<3.

【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得2<“<4,当小圆的圆心恰好在大圆上时,

d=3,所以内相交的圆心距d取值范围是2<"<3.

【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义.

模块三：规律探究

例题解析

【例21】观察下列各数：1,2,更，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为

3715

()

A.竺B.史C.△D.空

3135763

【答案】C.

【解析】根据题意，可知规律为上，故第6个数为：—,化简为9,故选C.

2"-1637

【总结】本题考查针对给定的•一列数字找规律.

【例22］按一定规律排列的一列数：21,22,2\25,28,2%….若x、y、z表示这列

数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的解析式是.

【答案】xy=z.

【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘

积，所以孙=z.

【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律.

【例23】在平面直角坐标系中，有三个点A(1,—1)、8(—1,—1)、C(0,1),点P

(0,2)关于点A的对称点为勺，［关于点B的对称点为鸟关于点C的对称点为

吕，按此规律，继续以点A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到点乙，乙,

■，…，则点修行的坐标为()

A.(0,0)B.(0,2)C.(2,-4)D.(-4,2)

【答案】C.

【解析】由题意得片(2,—4)、P2(-4,2)、A(4,0)、鸟(-2,—2)、

P5(0,0),P6(0,2),每6个数形成一个周期，2017+6=336……1,所以段口的坐

标和片的坐标相同，故选C.

10/17

【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理.

【例24］如图，正方形A8C。的边长为2,其面积标记为以为斜边作等腰直角三角

形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为邑，…，按

照此规律继续下去，则S237的值为

【答案】（；严匕

【解析】由题意得5=2X2=4=22,S2=V2XX/2=2',S3=lxl=l=2°,

由以上规律，可知$20"=2-20"=

【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用.

随堂检测

【习题1］定义：如果二次函数y=平2+4x+q%、b、、J是常数）与

2

y=a2x+b2x+c2（a,0,a,>b,、c?是常数）满足4+%=。，4=仇，c,+c2=0,

那么称这两个函数互为“旋转函数”.若函数y=-丁+\根*-2与丫=9-2»%+〃互为

“旋转函数”，则（切+〃）刈7=.

【答案】-L

【解析】由“旋转函数”的定义得标机=一2",解得：>=-3,

-2+〃=01"=2

所以（〃［+〃）如7=（-1）2017=-1,

【总结】本题考查“旋转函数”的定义.

【习题2］（2013学年•虹口区二模•第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边

的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.在用A48C中，ZC=90°,若用A48C是

“好玩三角形”，则tanA=.

【答案】皂或巫.

23

【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足;

故只能是直角边上的中线等于此直角边的长，

如图所示，设比）=2x,CD=x,

则BC=y/3x）在Rt4ABe中，AC—2x,BC=\/3x-

当Z4为较小锐角时，tanA=走；

2

当为较大锐角时，tanA=^l.

3

【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论.

【习题3］（2013学年•杨浦区二模•第17题）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为

“奇异中位线”.现有两个全等三角形，边长分别为3cm、4cm、5cm.将这两个三角形

相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0,那么“奇异中

位线”的长是cm.

【答案】--

10

【解析】如图，将两个全等的直角AMC与AOEF的斜边AC与Z）产重合，拼成凸四边形

ABCE,AC与BE交于点O,M为AC的中点.

易证AO_L3E.

9

在Rt^AOB中，AO=AB-cosZBAO=

15597

因为AW=—AC=/,所以QW=AM-Q4=2--=—.

222510

7

即奇异中位线的长是A.

【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形.

（习题4］（2014学年.崇明县二模•第17题）如果一个二次函数的二次项系数为1,那么这

12/17

个函数可以表示为y=x2+px+q,我们将⑦，/称为这个函数的特征数.例如二次函

数y=f-4x+2的特征数是［T,2］.请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二

次函数的特征数是［2,3］,将这个函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，

那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为.

【答案】［6,8］.

【解析】特征数是［2,3］的二次函数为y=Y+2x+3,即y=（x+iy+2,将其向左平移2

个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为y=（x+3）2-l,即y=d+6x+8,

所以特征数为［6,8J.

【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移.

【习题5】（2014学年•黄浦区二模•第18题）如图1,点P是以/•为半径的圆。外一点，点

P在线段OP上，若满足OROP=/,则称点尸是点p关于圆。的反演点.如图2,

在用A48O中，N8=90。，AB=2,80=4,圆。的半径为2,如果点4、9分别是

点A、B关于圆。的反演点，那么4夕的长是.

则。即一=——，又/0=/0,图@证4。4'3'64084,图2

OBOA

.OB'A'B'1A'B',y[5

..---=----，即m-1==----，解得:AB-——・

OAAB2近25

【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质.

【习题6】正方形432cA83c3。2,…，按如图所示的方式放置.点A，4,

人,…和点G，c2,G，…，分别在直线丁二丘+人（攵＞0）和人轴上，已知点

B,（b1），B2（3,2）,则点线的坐标是，点B,,的坐标是

【答案】(63,32),(2"-1,2"-1).

【解析】由A(0,1)、A2(b2),

可求得直线解析式为y=x+l.

可求得4(3，4)、(7,4),A,(7,8)、

B4(15,8),4(15,16)、(31,16),

4(31,32)、Bb(63,32),...,

按照此规律可得纥（2-1,2"-'）.

【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律.

阍）课后作业

【作业1】（2014学年•浦东新区二模•第17题）对于函数y=（ax+与）我们称①，句为这

个函数的特征数.如果一个函数>=（办+与2的特征数为Q,-5］,那么这个函数图像

与x轴的交点坐标为.

【答案】（*，0）.

2

【解析】特征数为［2,-5］的函数为y=（2x-5）2,令y=0,解得x=|,所以函数图像与x

轴的交点坐标为（°,0）.

2

【总结】本题考查了“特征数”的定义，以及二次函数的图像.

【作业2】（2013学年•金山区二模•第17题）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两

倍，我们把这样的三角形成为“倍边三角形”，如果一个直角三角形是倍边三角形，那

14/17

么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为.

【答案】出或

32

【解析】当斜边长等于直角边长的两倍时，最小角为30°,正切值为祖；当直角边长等于

3

另一直角边长的两倍时，最小角的正切值为

2

【总结】本题考查了“倍边三角形”的定义，以及锐角三角比的求值.

【作业3】已知抛物线p：y=or2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、3两点(点A在点

8左侧)，点C关于x轴的对称点为C,我们称以点A为顶点且过点对称轴与y

轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC为抛物线p的“梦之星”

直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=/+2x+l和

y=2x+2,则这条抛物线的解析式为.

【答案】y=^-2x-3.

【解析】由y=x2+2x+\=(x+I)?可求得