沪教版 九年级数学 相似三角形的性质

相似三鬲形的住后

姿课前刘忒

【题目】课前测试

如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点0,已知^COE与^BOC的面积分

别为2和8,则四边形AOED的面积为

【答案】38

【解析】

「△COE与ABOC的面积分别为2和8,

.'.0E:0B=2:8=1:4,

,.在矩形ABCD中,AB〃CD,AD=BC,AB=CD,

.'.SAABC=SAADC,△COE-AAOB,

.'.SACOE:SAAOB=1:16,XSACOE=2,

.■.SAAOB=32,则SAABC=40,

..S四边形AOED=40-2=38

总结：本题考查了相似三角形的判定与性质定理，首先需要将已知三角形的面积比转变成相

应边的比值，再利用相似三角形的相关知识进行求解即可。

【难度】3

【题目】课前测试

梯形ABCD的面积为S,AB//CD,AB=b,CD=a(a<b),对角线AC、BD相交于

2

点O,NBOC的面积为5s，求a:b的值。

【答案】1:2

【解析】

如图，设SAC”的面积为S],

^\AOB的面积为S2,S梯形ABCD=S，

AB//CD，.二S^D二^AABC，

SAAB。--8AAec-S”08/..4400==§S

25

得S1+S2=S—2§S=§S……①

£ODSMOD4,

=''国$2=SAB*SMOD=­S-…②

s,+s,=：s

129

联立①②，〈

4

S、S=—529

1281

14

解得：=-S,S2=-S,

99

2

ACOD^AAOB,.-.^CODCD

SAAOBAB

S]_/

a<b,Sx<S2

a_1

~b~2'

总结：本题考查了梯形的对角线分割成的四个三角形的面积关系。

【难度系数】4

葩如正定位

适用范围各版本，初三年级

知识点概述相似三角形是初中阶段的重点和难点，每年围绕三角形的性质及判定常常会

与其他知识点结合考察，具有一定的难度和深度。一般单独考查相似三角形的性质定理的题

型较为简单，常规的考察通常是与相似三角形的判定定理相结合，具有一定的综合难度，学

习这部分知识点的过程中，重点掌握相似模型，做到“心中有图"，牢记一般相似三角形的

图形特点。

适用对象成绩中等及偏上

;主意事项本章重点在于相似模型的掌握，难点在于相似模型的在不同题型中的运用，对

于中等基础的学生，要求掌握相似三角形的判定定理和性质定理，会在一般的证明题型中进

行求解，中等偏上的学生还应该熟练掌握各种相似模型，能够在不同题型中发现相似、证明

相似。

重点选讲：

(------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

①相似三角形中的三线问题；

②相似三角形中的周长问题；

③相似三角形中的面积问题；

④相似三角形性质定理与判定定理的综合应用。

茗如出椅锂

卷窗出梳锂L相似三鬲形的定立

「二

二爵

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边

对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

说明：

(1)相似三角形的定义虽然可以用来判断三角形相似，但是要求角与边的条

I

i

I件同时都满足的情况下才能使用；

i

i

(2)相似三角形的书写具有严格的顺序性，不同的顺序代表不同的含义；

i

i

(3)将两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系

i

i

数)；

i

i

(4)如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。

i

i

◎如出场锂2：相似三鬲形的初定史锂

\V1X

!三曾三

I

相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得

的三角形与原三角形相似。

I

I相似三角形判定定理1:如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，

那么这两个三角形相似。可简述为：两角对应相等，两个三角形相似。

相似三角形的判定定理2:如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成

比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可简述为：两边对应成比例且夹角相

等，两个三角形相似。

相似三角形判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应

成比例，那么这两个三角形相似。可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似。

直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个

直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。可简述为：

斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

卷如识场锂？：相似三南形的性后定理

i亍包三

相似三角形性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线

I

i

的比都等于相似比。

相似三角形性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比。

相似三角形性质定理3:相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

俐魅啸第

【题目】题型1:相似三角形中的三线问题

已知AABOAA瓦G,顶点A、B、C分别与Ai、Bi、Ci对应，AC=12,AICI=9,NAI的

平分线AiDi的长为6,求/A的平分线的长。

【答案】8

【解析】AABCSAA4G,A。、AQ分别是乙4、幺的平分线，

，车=黑即1=¥，=8即4的平分线的长为8

总结：本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

【难度】2

【题目】题型1变式练习1:相似三角形中的三线问题

证明下列命题：

(1)相似三角形对应中线的比等于相似比；

(2)相似三角形对应高的比等于相似比；

(3)相似三角形对应中线的比等于相似比。

【答案】见解析

【解析】

(1)已知：如图，AABCSAAAG,且相似比为左，AD.A2分别是边8C、BG的

中线，求证：777=3

证明：AABCsA413G,

ABCB

/B=NB]--=---

一A4c由

又AD,AA分别是边8C、gG的中线，

：.BD=；BC,BB=/G,

ABBD

—=k,AA3£)SA41gA,

DE丽二函，

.A3_AD

••丽二加二

(2)已知：如图,,且相似比为人,AO、42分别是BC、4G的高,

,AD7

求证：而=3

AB

证明：AABCs9B]C-:./B=/B1F=k7；

44

又AD,AR分别是BC、4G的高,

ABDA=ZB.D^=90-,/.NABD^^B.D,,

ABAD

AA

(3)已知：如图，AABCSAAMG，且相似比为％,AD、A2分别是NBAC、ZB,AG

的角平分线，求证：7万=3

证明：AABCSAA,BC

:.ZB=ZB],

AB,

ZBAC=ZB,A>Ct,^=k-

又AD,4"分别是/84<?、的角平分线,

:.ZBAD=^ZBAC,ZBlAlDl=^ZBlAlCl,:.ABAD=AB,\DX,

..AABDSAA4。，；.AB=AD=左,

44/yux

总结：本题给出了相似三角形性质定理1的证明过程,需要每位学生了解证明过程，加深对

性质定理的理解。

【难度】3

【题目】题型1变式练习2:相似三角形中的三线问题

已知：如图，在AA8C中，AB=AC,点D、E分别是边AC、AB的中点，DF1.AC,个

DF与CE相交于点F,AF的延长线与BD相交于点Go

(1)求证:AD2=DG・BD;

(2)联结CG,求证：NECB=ZDCG。

【答案】见解析

【解析】

(1).AB=AC,点D、E分别是边AC、AB的中点，

:.\ACE^NABD,:.ZABD^ZACE,

-,DF1AC，:"FAD=NFCD,ZABD=ZFAD,

ADDG

-NDBA,

,BD~~AD

.'.AD2=DG-BD

DCDG

(2)■■-AD=DC,

-BD~~DC

,:NCDG=NBDC,

:.ACDG-ABDC，:.NDBC=NDCG,

-：ZABC=ZACB,

ZABD=ZGCB，:.NACE=NGCB,

ZECB=NDCG。

总结：本题考查了相似三角形的判定及性质，是模拟题以及中考题的常考题型，需要学生对

这类题型加强练习，一般而言，这类题的第一问会为第二问做铺垫，有时候也可以从需要证

明的结论反推出已知条件或者容易得出的结果。

【难度】4

【题目】题型2:相似三角形中的周长问题

在AABC中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将AABC沿EF折叠，使

点A与点D重合，则ADEP的周长为。

31

【答案】y

【解析】由折叠得EF垂直平分AD,是BC上的高，

EF/IBC，:.AAEFSAABC，二｝,

CAABC乙

31

CAABC=9+10+12=31.

总结：本题考查相似三角形的性质和判定定理，通过翻折可得AD被EF垂直平分，部分学

生会先求出AD的长度，然后在通过相似三角形的的周长比等于边长比进行求解，这样有点

"多此一举"了。

【难度】3

【题目】题型2变式练习1:相似三角形中的周长问题

两个相似三角形面积的比为9:16,其中三角形的周长为36,则另一个三角形的周长为

【答案】48或者27

【解析】已知两个相似三角形的面积比为9:16，则对应的边长比为3:4,由于不清楚已知周

长是否是最大三角形的周长，因而需要进行分类，所以最终的结果是48或者27。

总结：注意分类讨论，部分学生由于没有看清题意就只写一个结果，显然是不对的。

【难度】2

【题目】题型2变式练习2:相似三角形中的周长问题

如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且看.，将AADE

沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上.A

(1)求证：NBDFJACFE;

(2)求BF的长.

【答案】

【解析】(1)证明：AADE翻折成A即E.

AADE=NFDE,:.ZA=ZEFD,

AABC是等边二角形,Z.A=NB=ZC=60入，

:./EFD=/B=/C=60-

ZDFC=ZDFE+ZEFC,/DFC=NB+/BDF,

:.NEFC=/BDF,

.ZDFskCFE.

CABDFDF

(2)由(1)知ABDFskCFE,—=—,又AADE=/^FDE,

°ACFE乜"

,CMDF二AO=4BF+BD+DF_BF+AB_4

AD=DFfAE=EFz

-C^CFEAE3**CE+FC+EF~CF+AC~3

BF+7_4

7-BF+7-3/.BF=5

总结：本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，典型的一线三等角模型，应用相

似三角形周长比等于相似比是解决本题的关键。

【难度】4

【题目】题型3:相似三角形中的面积问题

如图,在AA8C中，DE//FG//BC,若AD=2DF=3FB,那么SSDE：S四边形DEGF：

S四边形BCGF=.

【答案】36:45:40

【解析】

设FB=2x,则DF=3x,AD=6x,

/.AD:AF:AB=6:9:11

-.DE//FG//BC,

.,.△ADE1-AAFG"AABC

.'.SMDE:SAAFG:SMBC=36:81:121

.,.SAADE：S四边形DEGF：S四边形BCGF=36:45:40

总结：本题主要考察相似三角形面积比等于周长比的平方相关知识点，通过比例转化即可

求解，注意线段比例的设置。

【难度】3

【题目】题型3变式练习1:相似三角形中的面积问题

如图，AABC中，如果AB=AC,AD,BC于点D,M为AC中点，AD与BM交于点G,

那么S&GDM：的值为

【答案】:

【解析】

/AB=AC,ADIBC,

：.ZBAD=ZCAD,BD=DC,

•/M为AC中点，：.=AM,ABAD=ZMDA,

:.AGDM八GAB,

•.点G为AABC的重心,

qGD

q~GA

□△GAB14

总结：本题考查了相似三角形的判定及性质定理，同时考查了重心的性质，属于比较常规的

题型。

【难度】3

【题目】题型3变式练习2:相似三角形中的面积问题

如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,AC与BD交于点0,S，AOD=4,S-BOC=9,则

AD

,S-AOB=,S梯形ABCD=

~BC

【答案】2:3;6;25

【解析】

•.在梯形ABCD中，AD//BC,

.1△AODSACOB,

又SAAOD=4,SABOC=9,

则AO:OC=OD:OB=AD:BC=2:3,

-■•SAAOB=6,SACOD=6,S梯形ABCD=25

总结：本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用。

【难度】3

【题目】题型4:相似三角形性质的综合运用

如图，已知在AA3C中，P是边BC上的一个动点，PQ//AC,PQ与边AB相交于点Q,

AB=AC=10,BC=16,BP=x,AAP。的面积为y.

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)试探索：AAPQ与AABP能否相似？如果能相似，请求出X的值，如果不能相似，

请说明理由.

Q

3

【答案】(1)y=3x--x2(0<x<16);

10

39

(2)能相似，%=—

【解析】

(1)作AHL8C于点H,

,.'AB=AC=10,BC=16z:.AH=6,

：.S^BC=-BC-AH=48,S^P=~BP-AH=3x,

•.PQ//AC,:^BPQ^\BCA,

.S.Q/%_Y=£

一%C4IBC厂256'一16’

33

=S“5P—S^pQ=3x-二f,即y=3X—4Y(0<X<I6)；

10lo

39

(2)能相似，此时户彳，详解如下：

^BPQNBCA，.)=",.-.BQ=-x,

BABC8

ZAQP>ZB,.-.ZAQP=ZAPB,NAPQAABP,

5

AP_PQ

,即丝=过，解得:

'AB~BP

10x

5

10--x—x

..AQPQ39

=，即一2；—,解得：x=一

-AP~BPX4

4

39

综上,AAPQ与AA5P能相似，止匕时％=j

总结：本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题，是模拟题以及中考真题中

常见的压轴题型，一般综合性较强，需要学生具有较好的基础，希望学生在日常的学生过程

中注意这类题型的思考过程。

【难度】5

【题目】题型4变式练习1:相似三角形性质的综合运用

已知：如图，在AABC中，BD±AC于点D,CE±AB于点E,EC和BD相交于点0,联接

DE。

(1)求证：△EOD-ABOC;

AE

(2)若SAEOD=16,SABOC=36,求=7;的值。

AC

【答案】(1)见解析；(2)2:3

【解析】

(1)证明：在ABOE与ADOC中，

.NBEO=NCDO=90°,NBOE=NCOD,

.".△BOE'-'ACOD,

OEOBOEOD

---=----,即------=----,

ODOCOBOC

X/zEOD=zBOC/.AEOD-ABOC

⑵•.•△EODSABOC=

OD2

'.'SAEOD=16,SABOC=36-----=—,

OC3

在AODC与&EAC中，

.NAEC=NODC,NOCD=NACE,

ODOC

.-.△ODC-AAEC——=——,

AEAC

ODAEAE2

即---=-------=一

OCACAC3

总结：本题考查了相似三角形判定以及性质定理，具有一定的综合性，作为常见的证明题，

希望学生在平时的学生过程中掌握相似模型，了解一般的相似证明思路。

【难度】4

【题目】题型4变式练习2:相似三角形性质的综合运用

如图，在AA2C中，点D在边BC上，DE//AB,DE交AC于点E,点F在边AB上,且

AFCE

FB~AE°

(1)求证：DF〃AC；

(2)如果BD:DC=1:2,AABC的面积为18cm2,求四边形AEDF的面积。

A

//I

【答案】(1)见解析；(2)8

【解析】

CE

(1)证明：DE//AB,——=

AFCEAFCD

FB~AE',FB~BD'BDC

DF//AC;

(2)解：DF//AC,DE//AB1

ABDF^ABCA,NCDEsACBA.

.S^BDF_.S“DE_第二

BD1CD_2

BD:DC=1:2，.二---二-9

BC3BC-3Z

.SABDF_j_S^CDE_W

,SAABC9，—9，

一S四边形~48c/

=2

^AABC18cm,二•S四边形AE"=8cm2

总结：本题考查三角形内接平行四边形的相关知识，还考查了相似三角形的性质等.

【难度】4

【题目】兴趣篇1

如图，在正方形ABCD中，F是AD边中点，BF与AC交于点G,则S^BGC：S四边形GFDC

的比值为一。

【答案】4:5

【解析】

设AAFG的面积为a,

..点F是AD中点,

11

.-.AF=FD=-AD=-BC,

22

•.AD//BC,.­.AAFG-△CBG,

1

.•.SAAFG/SABCG=(AF/BC)2=-

4

「SBCG=4a,

•/FG/GB=AF/BC=1/2,「.SSFG/SSBG=1/2,

「SABG=2a,

贝！］SAABC=SABCG+SAABG=SAACD=6a,

--S四边形CGFD=S3CDSAFG=5a,

故SABGC:S四边形cGFD=4a:5a=4:5

总结：本题将相似三角形与正方形相关知识点结合进行考察，具有一定的灵活性。

【难度】4

【题目】兴趣篇2

如图，已知在等边MBC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE,AD与BE交于点F。

(1)求证:ABDF-ABEC;

A

(2)如果AB=12,BD=4,求S«BDF:S^BEC。

【答案】(1)见解析；(2)1:7

【解析】

(1)证明：

■「三角形ABC是等边三角形，

.-.AB=BC,zC=zABD=60°,

在AADB和ABEC中：

AB=BC,zABD=zC,BD=CE,

.-.△ADB^ABEC

「.NBAF=NFBD,NDFB=NBAF+NABF=NABF+NFBD=NABC=60°,

.,.zDFB=zC,

•••zFBD=zFBD，二^BDiBEC

(2)解：

,.,△ADB^ABEC,.-.AD=BE,

过E作EQ,BC于Q,贝化EQC=NEQB=90°,

•.zC=60°,EC=BD=4，=CQ=2,EQ=2V3,

.BC=AB=12,.-.BQ=10,

在RTABQE中，由勾股定理得，BE=4V7,

由(1)证明可得ABDAABEC,

；SBDF:S-BEC=(BD:BE)2=1:7

总结：特别注意等边三角形的边、角关系，这也是该题的突破口。

【难度】4

【题目】备选试题1

如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=DC=AD=6,NA3C=60-,点E,F6

别在线段AD,。。上(点E与点A,D不重合)，且NBEF=120-，设AE=x,

DR=y，求y与X的函数表达式；

AD

【答案】般=一［/普x；

D

【解析】“

在梯形ABCD中，ADllBC,AB=DC=AD=6,zABC=60°,

.-.zA=zD=120o,.-.zAEB+zABE=60°,

•.zBEF=120°,

.-.zAEB+zDEF=60°,/.zABE=zDEF,

.“ABESADEF,，AE:DF=AB:DE,

•.AE=x,DF=y,：.x:y=6:(6-x);

，y与x的函数表达式为：

,bi

总