概率论与数理统计章末总结

第四章随机变量的数字特征数学期望的概率背景就是随机变量的随机取值方差的概率背景就是随机变量取值的分散程度协方差的概率背景就是随机变量之间的关联程度相关系数的概率背景就是随机变量之间线性关系紧密程度§4.1随机变量的数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望1.设离散型随机变量的概率分布为.若收敛，则随机变量的数学期望若不收敛，则称随机变量的数学期望不存在常见离散型随机变量分布的数学期望两点分布二项分布设为个独立同分布的两点分布的随机变量，则有利用数学期望的性质有即泊松分布超几何分布几何分布设二维离散型随机变量的联合分布律为，则§4.1.2连续型随机变量的数学期望1.设连续型随机变量的概率密度为若收敛，则随机变量的数学期望若不收敛，则称随机变量的数学期望不存在常见连续型随机变量分布的数学期望均匀分布指数分布正态分布对于标准正态分布，对于正态分布，令则有利用数学期望的性质有设二维连续型随机变量的联合密度函数为，则§4.1.3随机变量函数的数学期望设为随机变量的连续函数如果是离散型随机变量，概率分布为若级数收敛，则的数学期望为如果是连续型随机变量，概率密度为若积分收敛，则的数学期望为设是随机变量的连续函数如果二维离散型随机变量联合分布律为若绝对收敛，则的数学期望为如果二维连续型随机变量联合概率密度为若绝对收敛，则§4.1.4数学期望的性质若，则存在，且.对于常数，有设是两个随机变量，与存在，则对任意实数有推广：设是个随机变量，则对任意实数有设是两个相互独立的随机变量，则注意：如果，不一定是相互独立的随机变量设是个相互独立的随机变量，则§4.2随机变量的方差设是一个随机变量，若存在，则的方差为§4.2.1离散型随机变量的方差设离散型随机变量的概率分布为.则随机变量的方差为常见离散型随机变量分布的方差两点分布二项分布泊松分布超几何分布几何分布设二维离散型随机变量的联合分布律为则§4.2.2连续型随机变量的方差1.设连续型随机变量的概率密度为则随机变量的方差2.常见连续型随机变量分布的方差（1）均匀分布（2）指数分布，（3）正态分布对于标准正态分布，，对于正态分布，令则有利用方差的性质有3.设二维连续型随机变量的联合密度函数为，则§4.2.3方差的性质对于常数，有设是一个随机变量，是常数，则设是两个随机变量，则如果是两个相互独立的随机变量，则推广：设是个相互独立的随机变量，则设是一个随机变量，是常数,则§4.2.4契比雪夫不等式设随机变量具有数学期望，方差，则对于任意常数，都有由契比雪夫不等式可知：的充要条件是若，则有，即若，则，从而有注意：并不说明，但是的概率为1§4.3协方差与相关系数§4.3.1协方差设是二维随机变量，若存在，则随机变量和的协方差为协方差的性质：§4.3.2相关系数设是二维随机变量，且，则随机变量和的相关系数为相关系数的性质：若与相互独立，则和相关系数注意：和相关系数，说明之间没有线性关系，但不一定独立的充要条件是存在常数，使得，即与之间几乎处处有线性关系.§4.4矩与分位数§4.4.1矩设是二维随机变量.如果存在，则称为的阶原点矩如果存在，则称为的阶中心矩如果存在，则称为和的阶混合矩如果存在，则称为和的阶混合中心矩设维随机变量的二阶混合中心矩都存在，则矩阵称为维随机变量的协方差矩阵.协方差矩阵的性质协方差矩阵是一个对称矩阵，即协方差矩阵是一个非负定矩阵，即§4.4.2分位数设连续型随机变量，其概率密度为，若实数满足，则称为的分位数.当时，则称为的中位数，表示概率分布的中心位置§4.5条件数学期望§4.5.1条件数学期望离散型随机变量的条件期望设离散型随机变量在条件下的条件分布列为，如果，则在的条件下的条件期望为2.连续型随机变量的条件期望设连续型随机变量在条件下的条件概率密度为，如果，则在的条件下的条件期望为3.离散型随机变量函数的条件期望若是连续函数，是二维离散型随机变量，则4.连续型随机变量