5.3.1函数的单调性课件高二下学期数学人教A版选择性

5.3.1

函数的单调性5.3导数在研究函数中的应用复习引入1、函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系：

在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增；

在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减.

2、在区间(a，b)上f′(x)>0是函数f(x)在区间(a，b)上为增函数的充要条件吗？充分不必要条件.新知探究

二次函数是一类重要的函数，之前我们已经学习过二次函数的单调性，而三次函数的导函数是二次函数，所以三次函数也是一类特殊而重要的函数，那么三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的单调性如何呢？这里我们不妨以一具体的三次函数为例进行研究.例题解析1、求函数

的单调区间.对f(x)求导数，得f′(x)=x2–x–2=(x+1)(x–2)令f′(x)=0，解得x=–1，或x=2.x=-1和x=2把函数定义域划分成三个区间，f′(x)在各个区间的正负，以及f(x)的单调性如表所示：x(–∞，–1)–1(–1，2)2(2，+∞)f′(x)f(x)xyO

00++–单调递增单调递增单调递减∴f(x)在(–∞，–1)和(2，+∞)上单调递增，在(–1，2)内单调递减，如图所示.方法总结判断函数y=f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.注意：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式．巩固练习1、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=3x–x3；(2)f(x)=(1+x–x2)ex；(1)单调递增区间(–1，1)，单调递减区间(–∞，–1)，(1，+∞)：(2)单调递增区间(–2，1)，单调递减区间(–∞，–2)，(1，+∞)：(3)单调递减区间(–1，3)，单调递增区间(3，+∞)：新知探究探究：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况.(1)对数函数y=lnx：因为对数函数y=lnx的导数>0(x∈(0，+∞))，所以y=lnx在区间(0，+∞)上单调递增；当x越来越大时，

越来越小，所以函数y=lnx递增的越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.xyOy=lnx

(2)幂函数y=x3：因为幂函数y=x3的导数为y′=3x2>0(0∈(0，+∞))，所以y=x3在区间(0，+∞)上单调递增；当x越来越大时，y′=3x2越来越大，函数y=x3递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”.y

=x3xyO归纳提升xyOy=lnx

y

=x3xyO

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.导数的绝对值变化函数图象变化趋势变大“陡峭”变小“平缓”归纳提升函数单调性与导数的关系在某个区间(a，b)内，f′(x)>0⇒f(x)在(a，b)单调递增f′(x)<0⇒f(x)在(a，b)单调递减f(x)在(a，b)单调递增⇒f′(x)≥0f(x)在(a，b)单调递减⇒f′(x)≤0例题解析2、设x>0，f(x)=lnx，

，两个函数的图象如图所示，判断f(x)，g(x)的图象与C1，C2之间的对应关系.解：∵f(x)=lnx，

，∴

，当x=1时，f′(x)=g′(x)=1；当0<x<1时，g′(x)>f′(x)>1；当x>1时，0<g′(x)<f′(x)<1；所以，f(x)，g(x)在(0，+∞)上都是增函数；在区间(0，1)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”；在区间(1，+∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”；所以，f(x)，g(x)的图象依次是图中的C2，C1.xyOC2C11巩固练习2、已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()B分析：在区间(-1，1)内导函数f′(x)>0，因此函数f(x)在(-1，1)内单调递增；x∈(-1，0)时，导函数f′(x)越来越大，因此函数f(x)增长的越来越快；x∈(0，1)时，导函数f′(x)越来越小，因此函数f(x)增长的越来越慢.例题解析3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性.解：f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，①当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；②当a>0时，若

，则f′(x)>0，若

，则f′(x)<0，所以函数f(x)在

，(0，＋∞)上单调递增，在

内单调递减；③当a<0时，若x∈(－∞，0)∪

，则f′(x)>0，若

，则f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)，

上单调递增，在

内单调递减．例题解析3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性.综上，当a＝0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在

，(0，＋∞)上单调递增，在

内单调递减；当a<0时，函数f(x)在(－∞，0)，

上单调递增，在

内单调递减．感悟提升(1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间上的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结．(2)求含参函数y＝f(x)的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0.讨论含参函数的单调性的关键点:巩固练习3、已知函数

，讨论f(x)的单调性.解：函数的定义域是(0，＋∞)，①当a≥0时，

，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，令

，得x＝

.经分析可知，f′(x)在

内小于0，f(x)在

内单调递减；f′(x)在

上大于0，f(x)在

上单调递增．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在

内单调递减，在

上单调递增.巩固练习4、设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.解：f′(x)=3ax2+1若a>0，f′(x)>0对一切实数恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.若a=0，f′(x)=1>0，此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a<0，则

，易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0，其单调区间是：单调递增区间：单调递减区间：巩固练习5、已知函数f(x)＝x3–ax–1(a∈R)．若函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围为________.解析：易知f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立，故a≤(3x2)min＝0.经检验，当a＝0时，符合题意，故实数a的取值范围是(－∞，0]．巩固练习6、已知函数

，x∈(0，1]，若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，求a的取值范围.∵函数在(0，1]上单调递增∴f′(x)≥0，在x∈(0，1]上恒成立在(0，1]上单调递增，∴g(x)max=g(1)=-1，∴a≥-1，∴a的取值范围是[-1，+∞).本题用到一个重要的转化：m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)maxm≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min巩固练习7、若函数

的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.解析：因为f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)的单调递减区间为[－1，4]，所以－1，4是方程f′(x)＝0的两根．所以a＝－1×4＝－4.巩固练习8、若函数f(x)＝ax3–x2+x–5在(–∞，+∞)上单调递增，求a的取