小学数学竞赛 几何中的重叠问题

7-7-3.几何中的重叠问题

即皿上期举国阳

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;

2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.

F11］的巨朝假国彘

,—

两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把

两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：AB=A+B-A3（其中符号“”读作“并”，相当于中文"和''或者"或'’的意思；符号“”

读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下:A表示小圆

部分，3表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆

部分，3表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB,即阴影面积.

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A3的并集A8的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合43的元素个数，然后加起来，即先求A+B（意思是把A、3的一切元素都“包含”进

来，加在一起）；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A3（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.

二、三量重叠问题

A类、8类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+3类元素个数+C类元素个数-既是A类又是3类

的元素个数-既是3类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元

素个数.用符号表示为：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示8的元素的个数,

大圆表示C的元素的个数.

先包含：A+B+C

重叠部分AB、BC.CA重叠了2次，多加了1次.

再排除：A+B+C-AB-BC-AC

重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A+B+C-

AB-BC-AC计算时都被减掉了.

再包含：A+B+C-AB-BC-AC+AB

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.

【例1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多

长？

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38+53-4=87（厘

米）.

【答案】87厘米

【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多

长？

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：23+37-3=57（厘米）.

【答案】57厘米

【例2】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方

厘米？

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

2厘米

【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如

果利用两个4x2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各

被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠

部分.于是，被覆盖面积=4x2x2-2x2=12（平方厘米）.

【答案】12厘米

【巩固】如图3,一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为

4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果

利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各

被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，组合图形的面积=长方形面积+正

方形面积一重叠部分.于是，组合图形的面积：8x6+6x6—4x4=68（平方厘米）.

【答案】68平方厘米

【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个

边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如

果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算

了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠

部分.于是，组合图形的面积=12x8+10x6-4x4=140（平方厘米）.

【答案】140平方厘米

【例3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米.三

个纸片盖住桌面的总面积是100厘米.问：图中阴影部分面积之和是多少？

【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答

【解析】将图中的三个圆标上A、B、C.根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=（A圆面积+3圆

面积+C圆面积）-（A与8重合部分面积+A与C重合部分面积+3与C重合部分面积）+三个纸片

共同重叠的面积，得：100=（50+50+50）—（A与3重合部分面积+A与C重合部分面积+3与C重合

部分面积）+10,得到A、B,C三个圆两两重合面积之和为：160-100=60平方厘米，而这个面

积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60=10x3+阴影部分

面积，则阴影部分面积为：60-30=30（平方厘米）.

【答案】30平方厘米

【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6,8,

5,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.

【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答

【解析】设甲圆组成集合A,乙圆组成集合B,丙圆组成集合C.

阈=怛|=|卜=30,B\=6,\BC|=8,|AC|=5,|ABC|=73,

而BC|=|A|+|B|-|C|-|AB\-\BC\-\AC|+|ABC\.

<73=30x3-6-8-5+1ABC\,即BC|=2,即甲、乙、丙三者的公共面积（⑧部分面积）为2.那

么只是甲与乙（④），乙与丙（⑥），甲与丙（⑤）的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3,所以有阴影

部分（①、②、③部分之和）的面积为73-4-6-3-2=58.

【答案】58

【例4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米.阴影部分的面积总

和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？

【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次.所以三张纸重叠

部分的面积=（60x3-100-40）+2=20（平方厘米）.

【答案】20平方厘米

【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在

外面的总面积为38.若A与3、台与C的公共部分的面积分别为8、7,A、B、C这三张纸片的

公共部分为3.求A与C公共部分的面积是多少？

【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设A与C公共部分的面积为x,由包含与排除原理可得：

(1)先“包含"：把图形A、B、C的面积相加：12+28+16=56,那么每两个图形的公共部分的面积

都重复计算了1次，因此要排除掉.

(2)再“排除"：56-8-7-尤，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回.

⑶再“包含“：56-8-7-X+3,这就是三张纸片覆盖的面积.

根据上面的分析得：56-8-7-x+3=38,解得：x=6.

【答案】6

一年级(上)

一.准备课

1.数一数

2.比多少

二位置

1.上、下、前、后

2.左、右

三.1—5的认识和加减法

1.1-5的认识

2.比多少

3.第几

4.分和合

5.加法

6.减法

7.0

四.认识图形(一)

认识图形

五.6—10的认识和加减法

1.6和7

2.8和9

3.10

4.连加、连减、加减混合

六.11—20各数的认识

1.11—20各数的认识

2.10加几、十几加几和相应的减法

七.认识钟表

认识钟表

A.20以内的进位加法

1.9力口几

2.8、7、9加几

3.5、4、3、2加几

4.解决问题

一年级（下）

一.认识图形（二）

认识图形

二.20以内的退位减法

1.十几减9

2.十几减8、7、6

3.十几减5、4、3、2

4.解决问题

三.分类与整理

分类与整理

四.100以内数的认识

1.数数、数的组成

2.数的顺序、比较大小

3.解决问题

4.整十数加一位数及相应的减法

五.认识人民币

1.认识人民币

2.简单的计算

六.100以内的加法和减法（一）

1.整十数加、减整十数

2.两位数加一位数、整十数

3.两位数减一位数、整十数

4.解决问题

七.找规律

1.找规律（一）

2.找规律（二）

二年级（上）

一.长度单位

1.厘米和米

2.线段

-.100以内的加法和减法（二）

1.加法

2.减法

3.连加、连减和加减混合

三.角的初步认识

1.认识角

2.认识直角

3.认识钝角和锐角

四.表内乘法（一）

1.乘法的初步认识

2.5的乘法口诀

3.2、3、4的乘法口诀

4.6的乘法口诀

五.观察物体（一）

观察物体（一）

六.表内乘法（二）

7、8、9的乘法口诀

七.认识时间

认识时间

八.数学广角一搭配（一）

数学广角一搭配（一）

二年级（下）

一.数据收集整理

数据收集整理

二.表内除法（一）

1.除法的初步认识

2.用2-6的乘法口诀求商

3.解决问题

三.图形的运动（一）

1.轴对称图形

2.平移和旋转

四.表内除法（二）

1.用7、8、9的乘法口诀求商

2.解决问题

五.混合运算

混合运算

六.有余数的除法

1.有余数的除法的意义和计算

2.解决问题

七.万以内数的认识

1.1000以内数的识

2.10000以内数的认识

3.整百、整千数加减法

八.克和千克

克和千克

九.数学广角一推理

生活中的推理

三年级（上）

一.时、分、秒

1.秒的认识

2.时间的计算

二.万以内的加法和减法（一）

1.口算两位数加减两位数

2.几百几十加减几百几十

3.三位数加减三位数的估算

三.测量

1.毫米、分米的认识

2.千米的认识

3.吨的认识

四.万以内的加法和减法（二）

1.加法

2.减法

五•倍的认识

倍的认识

六.多位数乘一位数

1.口算乘法

2.笔算乘法

3.含0的乘法

4.估算与解决问题

七.长方形和正方形

1.四边形

2.周长、长方形和正方形周长

八.分数的初步认识

1.分数的初步认识（一）

2.分数的初步认识（二）

3.分数的简单计算

4.分数的简单应用

九.数学广角一一集合

集合思想

三年级（下）

一位置与方向（一）

1认识东、南、西、北四个方向

2认识东北、东南、西北、西南四个方向

二除数是一位数的除法

1口算除法

2一位数出两、三位数的笔算除法

3商的中间或末尾有。的笔算除法

4用估算解决问题

三复式统计表

复式统计表

四两位数乘两位数

1口算乘法

2笔算乘法

五面积

1面积和面积单位

2长方形、正方形面积的计算

3面积单位间的进率

六.年、月、日

1年、月、日

224时计时法

七小数的初步认识

1认识小数

2简单的小数加、减法

八数学广角一一搭配（二）

数学广角一一搭配（二）

四年级（上）

一大数的认识

1亿以内数的认识（一）

2亿以内数的认识（二）

3数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识

4计算工具的认识、算盘和计算器

51亿有多大

二公顷和平方千米

1认识公顷

2认识平方千米

三角的度量

1线段、直线、射线和角

2角的度量

3角的分类

4画角

四三位数乘两位数

1笔算乘法（一）

2笔算乘法（二）

五平行四边形和梯形

1平行与垂直

2平行四边形和梯形

六除数是两位数的除法

1口算除法

2笔算除法（一）

3笔算除法（二）

4笔算除法（三）

5笔算除法（四）

6商的变化规律

七条形统计图

条形统计图

八数学广角一一优化

数学广角一一优化

四年级（下）

一四则运算

1加减法的意义和各部分间的关系

2乘除法的意义和各部分间的关系

3括号

二观察物体（二）

观察物体（二）

三运算定律

1加法运算定律

2乘法运算定律

四小数的意义和性质

1小数的意义和读写法

2小数的性质和大小比较

3小数点移动引起小数大小的变化

4小数与单位换算

5小数的近似数

五三角形

1三角形的特性

2三角形的分类

3三角形的内角和

六小数的加法和减法

工小数加减法

2小数加减混合运算

3整数加法运算定律推广到小数

七图形的运动（二）

1轴对称

2平移

八平均数与条形统计图

1平均数

2复式条形统计图

九数学广角一一鸡兔同笼

数学广角一一鸡兔同笼

五年级（上）

一小数乘法

1小数乘整数

2小数乘小数

3积的近似数

4整数乘法

二位置

位置

三小数除法

1除数是整数的小数除法

2一个数除以小数

3商的近似数

4循环小数

5用计算器探索规律

6解决问题

四可能性

事件发生的可能性

五简易方程

1用字母表示数

2方程的意义及等式的性质

3解方程

4实际问题与方法

六多边形的面积

1平行四边形的面积

2三角形的面积

3梯形的面积

4组合图形的面积

七数学广角一一植树问题

数学广角一一植树问题

五年级（下）

一观察物体（三）

观察物体（三）

二因数与倍数

1因数和倍数

22、5、3的倍数的特征

3质数和合数

三长方体和正方体

1长方体和正方体的认识

2长方体和正方体的表面积

3长方体和正方体的体积

4体积单位间的进率

5容积和容积单位

四分数的意义和性质

1分数的意义

2真分数和假分数

3分数的基本性质

4约分

5通分

6分数和小数的互化

五图形的运动（三）

图形的运动（三）

六分数的加法和减法

1同分母分数加减法

2异分母分数加减法

3分数加减混合运算

七折线统计图

折线统计图

八数学广角一一找次品

数学广角一一找次品

六年级（上）

一分数乘法

1分数乘法

2小数乘分数与分数混合运算

3解决问题

二位置与方向（二）

位置与方向

三分数除法

1倒数的认识

2分数除法

3分数四则混合运算

4分数应用题

四比

1比的意义

2比的基本性质

3比的应用

五圆

1圆的认识

2圆的周长

3圆的面积

4扇形

六百分数（一）

1百分数的意义和写法

2百分数与小数、分数的互化

3用百分数解决问题

七扇形统计图

扇形统计图

八数学广角一一数与形

六年级（下）

一负数

负数

二百分数（二）

1折扣

2成数

3税率

4利率

三圆柱与圆锥

1圆柱

2圆锥

四比例

1比例的意义和基本性质

2正比例和反比例的意义

3比例的应用

五数学广角一一鸽巢问题

数学广角一一鸽巢问题

小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结

第一单元小数乘法

1、小数乘整数：

@意义一一求几个相同加数的和的简便运算。

如：1.5X3表示求3个1.5的和的简便运算（或1.5的3倍是多少）。

@计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数

中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

2、小数乘小数：

@意义一一就是求这个数的几分之几是多少。

如:1.5X0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的1.8倍是多少）。

@计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数

中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

注意：按整数算出积后，小数末尾的0要去掉，也就是把小数化简；位

数不够时，要用0占位。

3、规律：

’一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；

<

〔一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

4、求近似数的方法一般有三种：

⑴四舍五入法;⑵进一法;⑶去尾法

5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分；保留一位小数，表示计算

到角。

6、小数四则运算顺序和运算定律跟整数是一样的。

7、运算定律和性质：

©加法：

，加法交换律：a+b=b+a

Y

、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

©减法：

-a-b-c=a-(b+c)

Y

ia-(b+c)=a-b-c

@乘法：

(乘法交换律：aXb=bXa

<乘法结合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

'乘法分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc【(a~b)Xc=aXc-bXc】

@除法：

ra+b+c=a+(bXc)

a-i-(bXc)=a4-b+c

第二单元位置

1、数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的

数由左至右分别为列数和行数，即“先列后行”。

2、作用：一组数对确定唯——个点的位置。经度和纬度就是这个原理。

例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3,5）表示（第三列，第

五行）。

注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示

行。如：数对（3,2）表示第三列，第二行。

（2）数对（X,5）的行号不变，表示一条横线，（5,Y）的列号不变，

表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）

2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。

第三单元小数除法

1、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因

数的运算。

如：0.6+0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3,求另

一个因数的运算。

2、小数除以整数的计算方法：小数除以整数，按整数除法的方法去除。

商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0,点上小数点。

如果有余数，要添0再除。

3、除数是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，

使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。

注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。

4、在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法

保留一定的小数位数，求出商的近似数。

5、除法中的变化规律：

①商不变：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。

②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。

③被除数不变，除数缩小，商扩大。

6、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字

依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小

数。

@循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如

6.3232……的循环节是32.

7、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无

限的小数，叫做无限小数。

第四单元可能性

1、有些事件的发生是确定的，有些是不确定的。

「可能f（不能确定）

可能性，不可能］

}-►（确定）

I一定，

2、事件发生的机会（或概率）有大小。

「大----->数量多

可能性Y

小-----数量少

第五单元简易方程

1、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作"・"，也可以省略

不写。

注：加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。

2、aXa可以写作a•a或a?读作a的平方。

注：2a表示a+a；a?表示aXa

3、方程：含有未知数的等式称为方程。

4、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

5、求方程的解的过程叫做解方程。

6、解方程原理：天平平衡。

等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。

7、10个数量关系式：

@加法；

L和=加数+加数；

一一个加数=和-两一个加数

◎减法：

差=被减数-减数；

被减数=差+减数；

I减数=被减数-差

@乘法：

'积=因数X因数；

<

〔一个因数=积+另一个因数

©除法：

'商=被除数+除数；

被除数=商乂除数；

、除数:被除数土商