新教材人教a版选择性必修第一册1 . 4 空间向量的应用

1.4空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

核心知识目标核心素养目标

1.理解直线的方

向向量与平面的

法向量.

2.掌握利用空间

通过学习用向量语言表示直线、平面、直线的方

向量研究空间中

向向量及平面的法向量，用向量方法判断、证明

直线与平面的位

空间中的平行、垂直关系，培养学生的数学抽象、

置关系.

数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.

3.培养学生的作

图能力和空间想

象能力，增强学生

应用数学的意识.

邃知识探究•素养启迪一

®情境导入

动手旋转一个圆盘陀螺,可以发现该陀螺随着轴一起转动时，圆

盘平面时而水平,时而倾斜,在不断改变方向，陀螺的轴虽在不断改变

方向,但始终与圆盘垂直.

探究：（1）我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向吗？

⑵能用平面上的某一条有向线段代表的向量来刻画平面的方向吗？

答案：⑴可以，因为轴始终与圆盘垂直,轴的方向即唯一确定圆盘平

面的方向.

⑵不能.平面上的某一条有向线段代表的向量与平面的方向不唯一

确定.

®知识探究

1.空间中点、直线和平面的向量表示

(1)点的位置向量

在空间,取一定点0作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量

—>—>

0P来表示,把向量0P称为点P的位置向量.

⑵空间直线的向量表示式

a是直线1的方向向量,在直线1上取旗=a，取定空间中的任意一点

0,可以得到点P在直线1上的充要条件是存在实数t,使。P=04+ta,

①

将/8=a代入①式,得OP三。4也48,②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.

空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯二确定.

⑶空间平面的向量表示式

取定空间任意一点0,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条

件是存在实数x,y,使

—»—»—>—>

OP±OA±^AB+y_AC.③

把③式称为空间平面ABC的向量表示式.

空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

(4)平面的法向量

直线1_L平面a,取直线1的方向向量a,我们称向量a为平面a的法

向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的

平面完全确定,可以表示为集合{Pla-1=0}.

［问题1］若向量m,n2为平面的法向量,则以这两个向量为方向向量

的直线是否一定平行？

答案:不一定，以这两个向量为方向向量的直线可以是同一条直线.

2.空间中直线、平面的平行

(1)两直线平行的判定方法

设u,u2分别是直线L,1?的方向向量,则

L〃12=u〃U2=m入£R,使得u=入

(2)直线和平面平行的判定方法

设u是直线1的方向向量,n是平面a的法向量,IQa,则

］〃a=u_Ln=u•n=0.

(3)平面和平面平行的判定方法

设分别是平面a,B的法向量,则

a〃B=/〃11203入£R，使得n尸入p.

［问题2］若直线1的方向向量m和平面a的法向量垂直，则1是否与

平面a平行？

答案：1与a不一定平行,有两种情况:lua或1〃a.

3.空间中直线、平面的垂直

(1)两直线垂直的判定方法

设直线11,12的方向向量分别为U,U2,则

11±],2=U11U2=U1•U2=0.

⑵直线和平面垂直的判定方法

设直线1的方向向量为u,平面0的法向量为n,则

1±aQu〃nam入£R，使得u=Xn.

⑶平面和平面垂直的判定方法

设平面a,B的法向量分别为n„n2,则

aB=niln2=ni•n2=0.

[问题3](1)若两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面垂直吗？

⑵若直线1的方向向量与平面a内两条相交直线的方向向量都垂直,

那么1与a垂直吗？

答案：(1)不垂直.(2)垂直.

®小试身手

1.已知A(0,1,1),B(-1,1,1),C(l,0,0),则平面ABC的一个法向量为

(A)

(A)(0,1,-1)(B)(-1,0,1)

(0(1,1,1)(D)(-1,0,0)

解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由

—>

AB=(-1,0.0),品=(1,T,T),可得卜•1=。，~x=0,

即令

x-y-z=0,

.71•AC=0,

y=l,解得x=0,z=-l,所以n=(0,1,-1).故选A.

2.若两个不重合平面a,B的法向量分别为u=(l,2,-l),v=(-3,-6,3),

则(A)

(A)a〃B(B)a_LB

(C)a,B相交但不垂直(D)以上均不正确

解析：因为v=-3u,所以v〃u.故a〃B.故选A.

3.已知平面a与平面B垂直,若平面a与平面B的一个法向量分别为

u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t的值为.

解析：因为平面a与平面B垂直，所以平面a的法向量u与平面B的

法向量v互相垂直,所以u•v=0,即TXt+0X5+5X1=0,解得t=5.

答案：5

4.已知@=(2,-4,-3),6=(1,-2,-4)是平面。内的两个不共线向量.如

果n=(l,m,n)是a的一个法向量，那么m=,n=.

答案S0

■■课一堂操究・素一养一培育————

Q探究点一直线的方向向量

［例1］如图，已知长方体ABCD-A'B'CD'的棱长AB=2,AD=4,AA'

—>―>—>

=3.以点D为原点，分别以口4,DC,。。为x轴、y轴、z轴的正方向，

并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向

向量.

⑴AA';(2)BDZ.

解：由已知可得，长方体顶点A,B,A，的坐标分别为

A(4,0,0),B(4,2,0),A'(4,0,3),)(0,0,3).

—>

(1)因为向量A4'=(0,0,3),所以直线AAZ的一个方向向量为

T

44=(0,0,3).

(2)因为向量而r=(-4,-2,3),所以直线BD7的一个方向向量为

BD'=(-4,-2,3).

7方法总结

(1)直线的方向向量为非零向量.

⑵直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则入a(。

0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在直线上取两

|点A,B,则前即为直线的一个方向向量•|

变式训练1:如图，在三棱台ABC-ABC中,AB=2A1B„B1D=2DC1,CE=EC„

设/B=a,4C=b,/a=c,以｛a,b,c)为空间的一个基底,求直线AE,AD的

一个方向向量.

—>—>T—>—>—>

解:/D=//i+/iD=A4i+&Ci+CiD

T11T

^AA^-AC+^^AB-AC)

123、22

/1ABT+4c1+—/Mi-Ta+1±b1+c,

63163

所以直线AD的一个方向向量是;a+；b+c.

63

T->T71.

AE=AC+CE=AC+^C^

—>［TT1T

=AC+^(CA+AA1+^AC)

2Tl—a1

^AC+^AA^-^-c,

42142

所以直线AE的一个方向向量为;b+；c.

42

EQ探究点二求平面的法向量

［例2］如图，四边形ABCD是直角梯形，ZABC=90°,SA_L平面

ABCD,SA=AB=BC=1,AD=|,分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量.

S

解：因为AD,AB,AS是三条两两垂直的线段，

—>—>>—>

所以以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方

向建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),D(|,0,0),C(l,1,0),S(0,0,1),所以£b=(1,0,0)是平面

SAB的一个法向量.

设平面SCD的法向量为n=(l,X,u),

则n•Z)C=(1,A.,u)•(|,1,0)=|+人=0,

所以人=-

n,DS=(1,入，u)•(-1,0,l)=-1+u=0,

所以u=|,

所以n=(l,g,|).

综上,平面SCD的一个法向量为n=(l,-i平面SBA的一个法向量为

G吗0,0).

3方法总结

设直线1的方向向量为u=(a1,b,Ci),平面a的法向量为v=(a2,b2,c2),

贝Ij1J_a=u〃v«u=kv<^>ai=ka2,bi=kb2,Ci=kc2,其中kGR.

平面的法向量的求解方法

⑴设出平面的一个法向量为n=(x,y,z).

⑵找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐

标：a=(ai,bi,Ci),b=(a2,bz,C2).

⑶依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组｛:::::，

(4)解方程组,取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向f

|有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向

E

变式训练2:如图，已知正方体ABCD-ABCD中点A,B,D,A,的坐标分别

为A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),A,(0,0,a),分别求平面ABCD与平面

BDAi的一个法向量.

解：由于z轴垂直于平面ABCD,而z轴可用方向向量441=(0,0,a)表示,

因此441=(0,0,a)是平面ABCD的一个法向量.

设n=(x,y,z)是平面BDAi的法向量.

—>—>

由已知得BD=(-a,a,0),BA^^-a,0,a),

所以!(-a,a,0)•(%,y,z)=~ax+ay=0,

l(-a,0,a)•(%,y,z)=~ax+az=0,

取x=l,得y=z=l,

则n=(l,1,1)是平面BDAi的一个法向量.

《探究点三确定空间中点的位置(坐标)

—>

［例3］已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图，以的方向为正向,在直线

AB上建立一条数轴,P,Q为数轴上的两点,且分别满足条件：

⑴AP：PB=1：2;

(2)AQ:QB=2:1.

求点P和点Q的坐标.

—>—

解：⑴由已知，得PB=2/P,

—>—>—>TT2TlT

^iOB-OP=2(OP-OA),OP=-OA+-OB.

33

设点P的坐标为(x,y,z),

则(x,y,z)=|(2,4,0)4(1,3,3),

4158,3111

n即nx—+—,y—+---,z-0+1—1.

333333

因此，点P的坐标是(|,pl).

(2)因为AQ：QB=2:1,所以病=-2还，

即。QQ=-2(OB-OQ),OQ=-OA+2OB.

设点Q的坐标为(x'，y「z，),

则(X,，y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),

即x'=0,y'=2,z'=6.

因此，点Q的坐标是(0,2,6).

/方法总结

求空间中点的坐标,一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的亚椒

根据向量式列出方程(方程组)，把向量运算转化为代数运算,解方福

(方程组)可得点的坐标.

变式训练3:已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在

直线AB上,存在一点E,使得OE_Lb(0为原点)，则点E的坐标

为.

解

->-■,—>—>—>

析:OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t)

—>—>

(t£R),因为。E_Lb,则OE・b=0,所以-2(-3+t)+(-bt)+(4-2t)=0,

解得t=：因此点E的坐标为(号,谭|).

答案―

《探究点四空间中直线、平面的平行

角度1直线和直线平行

[例4](2021•福建高二月考)如图,在正方体ABCD-ABCD中,棱长为

2,M,N分别为AJB,AC的中点.

求证：MN〃BC

证明：法一如图(1),以点D为原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系.则

A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),Ai(2,0,2),B,(2,2,2),M(2,1,1),N(1,

1,0),

所以向V=(-1,0,-1),B；C=(-2,0,-2).

所以BiC=2MN,所以B£〃MN,又MN与B£没有公共点，所以MN〃BC

法二如图(2),取空间一组基底｛AB,4D,44J,设

AB=a,XD=b,AA^c,贝(J

TTT111

B]C=b-c,MN=M4]+/]A+/N=5(c_a)+(-c)+&(a+b)=5(b-c),

所以所以MN〃B]C,又MN与B£没有公共点,所以MN〃BC

令方法总结

向量法证明线线平行的思路

要证明线线平行，只需取两直线的方向向量a,b,证得a〃b即可.具体

方法有如下两种：

(1)坐标法.根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线

方向向量的坐标,证明它们共线.

(2)基向量法.取空间一组基底,用基底表示两直线的方向向量，证而

它们共线.

变式训练4:在长方体ABCD—ABCD中，AB=4,AD=3,AA尸2,P,Q,R,S分

别是AAbDC,AB,CCi的中点.求证:PQ〃RS.

证明：法一以D为原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则P(3,0,l),Q(0,2,2),

R(3,2,0),S(0,4,1).

—>T

PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1),

所以质=晟,

—>—>

所以PQ〃RS,又PQ与RS没有公共点，

所以PQ〃RS.

法二RS=RC+CS=^DC-DA+^DDX,

PQ=PA^A^^DD^DC-DA,

所以危=前,

—>~)

所以RS〃PQ,又RS与PQ没有公共点，

即RS〃PQ.

角度2直线和平面的平行

［例5］如图,在正方体ABCD-A,B,C,D,中,M,N分别为CC„BC的中点.

求证:MN〃平面ABD.

证明：法一如图所示，以D为原点,DA,DC,D%所在直线分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则M(0,1,1),AK1,O,1,0),所

以疝V=§0,，，£＞工1=(1,0,1),而=(1,1,0).

设平面AiBD的法向量为n=(x,y,z),

TT(Y4-7=0

贝ijn,ZMi=0,且n•DB=0,所以'

(%+y=U.

取x=l,则y=-l,Z=-1,所以n=(l,-1,-1).

又赢•n=(|,0,|)•(1,-1,-1)=0,

所以疝V_Ln.

又MNQ平面AiBD,所以MN〃平面ABD.

TTT1TlT1T_1T

法二因为MN=GN-CiMgCiBi)CiC苫(Di/「DiD)=；ZMi，所以

MN/ZDA^又MNC平面A】BD,DAc平面A.BD,

所以MN〃平面ABD.

法三

111111

MN=^N-GM=-GBi-QC=-D^--DrD=iDA1=-DA^O・DB,

222222

所以嬴可用。%与防线性表示,所以嬴与D%和法是共面向量.

又MNC平面ABD,DA|U平面A.BD,DBu平面A,BD,

所以MN〃平面AiBD.

*方法总结

利用空间向量证明线面平行的三种方法

⑴证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可

用平面内的一组基底表示.

⑵证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利

用线面平行的判定定理得证.

(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量，证明直线的方向向量

与平面的法向量酝

变式训练5:已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2,E,F分别是BBbDD,

的中点,求证：

⑴FG〃平面ADE;

⑵平面ADE〃平面BCF.

证明：(1)如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,

则D(0,0,0),A(2,0,0),C.(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),BI(2,2,2),

—>—>—,

所以FG=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).

设n1=(x1,y„z)是平面ADE的法向量，则mlZM,nt±AE,

T

日n几i•DA—2xi—0,夕曰(Xi=0,

1・*=2%+「。%】=一2%,

令Zi=2,则yi=-l,

所以ni=(O,-l,2).

因为•ni=-2+2=0,

所以FZjm.

又因为FCQ平面ADE,

所以FC〃平面ADE.

(2)因为。工尸⑵0,0),

设n2=(x2,y2,Z2)是平面B£F的法向量.

—»—>

由n2_LFCi，ri2-L

T

和九2•FC1=2y2+Z2=0,汨fx2=0,

倚-n=-2y2.

e

、?1，2C］B1一2x2—0,

令Z2=2,得y2=-l,

所以ri2=(0,T,2),

因为n尸山,所以nt//n2,

所以平面ADE〃平面B£F.

角度3平面与平面平行

［例6］已知正方体ABCD-A'B'CD',求证:平面AB'D'〃平面

BDC'.

证明：法一设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz,

则A(l,0,0),B'(1,1,1),DZ(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),Cz

(0,1,1),

所以而'=(0,1,i),zrk=(i,1,0).

设平面AB'D'的法向量为m=(xi,yi,zi),

则叫1AB',即n±-AB'=yi+Z1=0,

四1D'B',1%•D'B'=Xi+yi=0,

令y1=l,可得平面AB'D’的一个法向量为ni=(-1,1,-1).

1

设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z，，所以的吁

JI2-LDC,

又而=(1,1,0),左'=(0,1,1),

r—>

所以电・DB=X2+y2=0,

W2-DC=y2+z2=0.

令丫2=1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-l,1,-1).

则『由,所以m〃nz,故平面AB'D'〃平面BDC'.

法二由法一知

—>—>—>—>

40=(-1,0,1),BC'=(-1,0,1),40=(0,1,l),DC'=(0,1,1),所以

AD'=BC',AB'=DC',HPAD*〃BC',AB'〃DC'.

因为A»。平面BDC',AB'。平面BDC',

BCZu平面BDC',DC'u平面BDC',

所以AD'〃平面BDC',AB'〃平面BDC'.

又A"GAB，=A，所以平面AB，D'〃平面BDC'.

法三同法一得平面AB'D'的一个法向量为n尸(T,1,T).

因为

—>—>

m•DB=(-1,1,-1)•(1,1,0)=0,n,•DC'=(-1,1,-1)•(0,1,1)=0,所

以m也是平面BDC'的一个法向量，所以平面AB'Dz〃平面BDC'.

/方法总结

向量法证明面面平行的三种思路

⑴证明两个平面的法向量共线.

⑵根据面面平行的判定定理，证明一个平面内有两个相交向量与另

一个平面内的向量共线.

⑶证明一个平面的法向量也是另一个平面的法酝

变式训练6:在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G,H,M,N分别是正方体六

个表面的中心,证明:平面EFG〃平面HMN.

证明：如图所示,建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,则

E(l,l,0),F(l,0,1),G(2,l,l),H(l,l,2),M(l,2,l),N(0,l,l).

所以EF=(0,-1,l),EG=(l,0,1),AM=(0,1,-1),WN=(-1,0,-1).

设m=(xbybZi),n=(x2,y2,z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量,

m•EF=0,得QL+Z]=0,

TH♦晶=0,%Xi+Zi=0,

令X1=1,得m=(l,-1,-1).

九・H%=。,得，

由y2-z2=°

-x-z=0,

.n,HN=0,22

令x2=l,得n=(l,-1,-1).

则m=n,所以m〃n,故平面EFG〃平面HMN.

《探究点五空间中直线、平面的垂直

角度1直线和直线垂直

[例7]（2020・福建三明高二检测）如图,在直三棱柱ABC-ABG中，点

D在棱AB上,E,F分别是CC„BC的中点,AEJ_A3，AA尸AB=AC=2.求

证：DF_LAE.

证明：在直三棱柱ABC-ABG中，有AA」AE.

又因为AE_LAB,AEGAA尸A,

所以AB，平面AACC.

因为AGu平面AA£C,所以A,B,±A,Ci.

所以AB±AC,AB±AAbAC±AAb

所以以A为原点，分别以AC,AAi,AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系Axyz,如图，则

C(2,0,0),B(0,0,2),A(0,0,0),Ai(0,2,0),F(l,0,1),E(2,1,0).

—>—>

设D(0,2,t)(0WtW2),则FD=(-1,2,t-1),XE=(2,1,0),

■―,—

所以ED-AE=(-1,2,t-1)•(2,1,0)=0,

所以所以DF±AE.

/方法总结

向量法证明线线垂直的方法

用向量法证明空间中两条直线L,12相互垂直,其主要是证明两条直

线的方向向量a,b相互垂直，只需证明a-b=0即可,具体方法有以下

两种：

(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系，准确地写

出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量

积为0.

⑵基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直纸

的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量枳

ST

变式训练7:如图，已知正三棱柱ABC-ABG的各棱长都为是底面

上BC边的中点,N是侧棱CG上的点,且CN’CC.求证:AB」MN.

4

H

MC

—>

证明：法一设/B=a,4C=b,/&=c,则由已知条件和正三棱柱的性

质，

得|a|=|b|=|c|=l,

a,c=b•c=0,AB^a+c,24M=(a+b),

AN=b+-c,MN=AN-AM=--a+-]j+-c,

4224

所以AB]•MN=(a+c),(--a+-b+-c)=--a2+-a,b+-c'

224,224,

111

=--+-cos60°+--0.

224

——y

所以所以AB」MN.

法二设AB中点为0,作00/AAi

AG，0.0),Bg0,0),C(0,£0),N(0,空,：),B,(1,0,1).

乙乙乙乙T,Lt

因为M为BC中点，所以M("g0).

44

所以嬴二"今,；)，AB^(1,0,1),

444

所以疝V・^1=--+0+-=0.

44

—>—>

所以MN_L/Bi，所以ABj±MN.

角度2直线与平面垂直

［例8］在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是BB1,D.B,的中点，求证:EF

_L平面B.AC.

—>

证明：法一如图⑴，设/B=a,

DiCi

0。

(1)

—>—>

AD=c,44/b,连接BD,

贝!jEF=%+BiF

1TT

甘(8当+8也)

1TT

三C441+BD)

1T7T

^(AA^AD-AB)

=1(b+c-a).

因为力Bi=/B+/&=a+b,

TT1

所以EF•i4B-.=-(b+c-a),(a+b)

12

=-(b2-a2+c•a+c•b)

=|(|b|2-|a|2+0+0)=0,

所以否即EFJ_ABi.

同理,EFJ_BC

又ABinB,C=Bb所以EFJ_平面B,AC.

法二设正方体的棱长为2a,建立如图⑵所示的空间直角坐标系.

则A(2a,0,0),C(0,2a,0),

B,(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),

F(a,a,2a).

—>—>—

所以EF=(-a,-a,a),ABr=(0,2a,2a),AC=(-2a,2a,0).

因为EF•4Bi=(-a,-a,a),(0,2a,2a)=(-a)X0+(-a)X2a+aX2a=0,

EF,AC=(-a,-a,a),(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,

所以EF，ABi,EF_LAC.

又AB,nAC=A,所以EF_L平面BAC.

--,—>

法三由法二知//=(0,2a,2a),AC=(-2a,2a,0).

设平面BAC的法向量为m=(x,y,z),

则m•4Bi=2a(y+z)=0,m•2a(x-y)=0.

取x=l,则y=l,z=-l,故m=(1,1,T).

—>

所以EF=(-a,-a,a)=-a(l,1,-l)=-am.

所以后1〃m,所以EFJ平面B,AC.

/方法总结

向量法证明线面垂直的两种方法

⑴证明直线的方向向量与平面的法向量共线.

(2)根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两不

相交向量垂直.

变式训练8:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD_L底

面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EFJ_平面PAB.

证明：以D为原点,DA的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标

系.

设E(a,0,0),其中a>0,则

C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,

EF=(0,I，1),PB=(2a,1,-1),4B=(2a,0,0).

TT—>—>

所以E尸・PB=0,EF・AB=0.

所以EF_LPB,EF±AB.

又PBu平面PAB,ABu平面PAB,PBnAB=B,

所以EF_L平面PAB.

角度3平面和平面垂直

［例9］如图,在四棱锥E-ABCD中,ABJ_平面BCE,CD_L平面

BCE,AB=BC=CE=2CD=2,ZBCE=120°.求证：平面ADE,平面ABE.

证明：取BE的中点0,连接0C,则0C1EB,

又ABJ_平面BCE,

所以以0为原点建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.

则C(l,0,0),B(0,V3,0),E(0,-V3,0),D(l,0,1),

A(0,V3,2).

设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),

则n・EA=(a,b,c)•(0,2V3,2)=2®+2c=0,

—>_

n,DA=(a,b,c),(-1,V3,l)=-a+V3b+c=0.

令b=l,则a=0,c=-V3,

所以n=(0,1,-遮).

因为AB,平面BCE,

所以ABLOC.

又OCJ_EB,且EBAAB=B,

所以0C,平面ABE,

所以平面ABE的一个法向量为。C=(l,0,0).

因为n•OC=(0,1,-V3)•(1,0,0)=0,

所以

所以平面ADE_L平面ABE.

♦方法总结

向量法证明面面垂直的两种思路

(1)证明两个平面的法向量垂直.

(2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另二不

平面.

变式训练9:(2020•山西大同高二阶段检测)在四棱锥S-ABCD中,底

面ABCD是正方形,AS，底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平

面BDE,平面ABCD.

证明：设AB=BC=CD=DA=AS=1,

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,

则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),S(0,0,1),

C(l,l,0),E(iI，1).

法一连接AC,设AC与BD相交于点0,连接0E,

则点0的坐标为与1,0).

因为公=(0,0,1),茄=(0,0,?,

所以强涵，所以°E//AS.

又AS_L平面ABCD,所以OE_L平面ABCD.

又OEu平面BDE,所以平面BDE，平面ABCD.

法二设平面BDE的法向量为n尸(x,y,z).

因为BD=(—1,1,0),BE=(g,I，|),

所以「i

叫1BE,

(T

n-L•BD=-x+y=0,

所以《iii

\nr1•BE=-2-x+2-Zy+2-z=0.

令x=l,可得平面BDE的一个法向量为n尸(1,1,0).

因为AS_L平面ABCD,

所以平面ABCD的一个法向量为n2=/fs=(0,0,1).

因为m-n2=0,所以平面BDE_L平面ABCD.

®课堂达标

1.已知空间三点坐标分别为A(l,1,1),B(0,3,0),C(-2,-l,4),点

P(-3,x,3)在平面ABC内，则实数x的值为(A)

(A)1(B)-2

(C)0(D)-l

—>—>—>

解析:比1=(1,-2,1),BC=(-2,-4,4),BP=(-3,x-3,3),可设

BP=yBA+zBC(y,z£R),

，y-2z=-3,(z=l,

则-2y-4z=x-3,=y=-1,故选A.

、y+4z=3(%=1.

族=(2,4,x),平面a的一个法向量为n=(l,y,3),若AB_La,则

(A)

(A)x=6,y=2(B)x=2,y=6

(C)3x+4y+2=0(D)4x+3y+2=0

解析：因为AB±a,所以/B〃n,由;=3=g得

iy3

x=6,y=2,3x+4y+2=28,4x+3y+2=32.故选A.

3.若直线1的方向向量为m,平面a的法向量为n,则可能使1〃a的

是(D)

(A)m=(l,O,0),n=(-2,0,0)

(B)m=(l,3,5),n=(l,0,1)

(C)m=(0,2,l),n=(-l,0,-l)

(D)m=(l,-l,3),n=(0,3,1)

解析：因为1〃a,所以m±n,即m-n=0,满足条件的只有选项D.故选

D.

4.已知直线1的一个方向向量为dE2,3,5),平面a的一个法向量为

u=(-4,m,n),若1J_a，则m+n=.

解析：因为1_La,所以d〃u.又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),所以子

解得m=-6,n=-10,所以m+n=-16.

答案：T6

点拓展探索素养培优

与平行、垂直有关的探索性问题

［典例探究］(2020•黑龙江佳木斯第一中学高二期中)如图,在多面

体ABCDEF中，平面ADEF_L平面ABCD,四边形ADEF为正方形，四边形

ABCD为梯形,且AD〃BC,AABD是边长为1的等边三角形,BC=3,问：在

线段BD上是否存在点N(不包括端点)，使得直线CE〃平面AFN?若存

在,求出空的值;若不存在,请说明理由.

解：因为平面ADEFJ_平面ABCD,平面ADEFA平面ABCD=AD,

四边形ADEF为正方形,AF±AD,

所以AF_L平面ABCD.

过点D作DGJ_BC于点G.

如图，以点D为原点,建立空