2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题04 特殊平行四边形中全等相似与最值问题（教师版）

PAGE1PAGE专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路：一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型：（1）一线三等角模型（2）手拉手模型（3）半角模型（4）倍长中线模型模型（5）平行线中等模型（6）雨伞等模型2.三角形与相似之四大相似模型：（1）A字模型（2）8字模型（3）手拉手模型（4）一线三等角模型二、四边形线段最值问题（1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）（2）费马点模型：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。1．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，①若，过作交于点，求证：；②若时，则______．

（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．

（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）或或【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明；②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解；（2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在．【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，则，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴；②由①可得，∴∴，又∵∴,故答案为：．（2）∵在菱形中，，∴，，则，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴,又，∴，∴，∴；（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，

∵平行四边形中，，，∴，,∵，∴∴，∴∴在中，，则，，∴∴，∵，∴∴∴∴设，则，，，∴解得：或，即或，②当点在边上时，如图所示，

连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，设，则，，∵∴∴，∴∴，∵∴过点作于点，在中，，∴，，∴，则，∴，∴，，∴∴，即，∴即解得：（舍去）即；③当点在边上时，如图所示，

过点作于点，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴点不可能在边上，综上所述，的长为或或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=DF，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO=，即可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s=S△ABD-S△DEF，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时，s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB▪sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，设BE=，则EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD▪MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF▪EM==，记四边形ABEF的面积为s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即；①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC，∴点E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，此时=，∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；②作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴当，即BE=时，s达到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．题型一特殊平行四边形中全等相似计算1．（2024·广东汕头·一模）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，①若，过作交于点，求证：；②若时，则______．（2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．【答案】（1）①见解析；②20；（2）【分析】根据矩形的性质得出，进而证明，结合已知条件，即可证明；由①可得，根据，即可求解；根据菱形的性质得出，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；【详解】证明：①四边形是矩形，则∴∴又，∴又，∴；②由①可得∴又∴；（2）∵在菱形中，，∴，∴∵∴∴∴∴∵，∴又∴∴∴；【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．2．（2024·广东惠州·一模）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形，E为对角线上一点．【感知】（1）如图1，连接，．求证：；【探究】（2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G．①求证：；②若G为的中点，且，求的长．【应用】（3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，．求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解；②；（3）证明见解析【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）①先判断出，进而判断出即可得出结论；②过点F作于H，先求出，进而求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案；（3）在中，由勾股定理得，由（1）知，，由（2）知，，可证明，则．【详解】解：（1）∵是正方形的对角线，∴，∵∴，∴（2）①∵四边形是正方形，∴∴由（1）知，∴∴，∵∴，∴∵∴②如图，过点F作于H，∵四边形为正方形，点G为的中点，∴由（2）①知，∴∴在与中，∵∴，∴，∴在中，由勾股定理得；（3）∵，∴，在中，，，由（1）知，，由（2）知，，，．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键．3．（2024·广东深圳·二模）（1）如图1，在正方形中，E是对角线上的一点，连接，过点E作交于F．求证：．（2）如图2，在矩形中，，E是对角线上的一点，连接，过点E作交于点F．若，求的值．（3）在菱形中，如图3，，点E是的三等分点，过点E作交直线于点F．请直接写出线段的长_________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或．【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识：（1）作于点M，于点N，证明，即可；（2）过点B作于点G，根据，可得，从而得到，，即可求解；（3）分两种情况：当点E靠近点A时，过点B作于点M，于点N；当点E靠近点C时，即可求解．【详解】（1）证明：作于点M，于点N，∵四边形是正方形，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：过点B作于点G，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①当点E靠近点A时，过点B作于点M，于点N，∵四边形为菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∵点E是的三等分点，∴，∴，∴，∴，由（2）得，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，∴；②当点E靠近点C时，同理可得，∴，设，则，∴，∴，∴．综上所述，线段的长为或．故答案为：或．4．（2024·广东汕头·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：(1)操作判断如图1，在正方形中，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为；如图2，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为；(2)迁移探究如图3，在中，，，点D，E分别在边，上，且，试证明:；(3)拓展应用如图4，在矩形中，，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G．当F为的三等分点时，请直接写出的长．【答案】(1)5，4(2)见解析(3)或【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可得到第一空格答案；设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即得第二空格答案；（2）过点C作交的延长线于点F，先证，得到，再证，得到，即可证得答案；（3）先证，然后分和两种情况求解，情况一，点G在上，过点E作交于点I，先证，求得，再证明和，求出，从而得到的长；情况二，点G在上，用类似的方法即可求得答案．【详解】（1）解：如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，四边形是正方形，，，四边形和四边形都是矩形，，，，，，，，，又，，，，故答案为：5；如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，，四边形是矩形，，，四边形和四边形都是矩形，，，，，，，又，，，，，，故答案为：4；（2）证明：如图3，过点C作交的延长线于点F，则，，，，，又，，，，，，，，；（3）解：四边形是矩形，，，，平分，，，，分两种情况：①如图4，当时，点G在上，，，，，，又，，，，过点E作交于点I，则，，，，，，，，，，，，；②如图5，当时，点G在上，，同①得，，，过点E作交于点I，同①得，，，，，，，，综上所述，的长为或．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．题型二特殊平行四边形中线段最值问题1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．

(1)求证：；(2)当的长度最大时，①求的长度；②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到,且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：

此时，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到,且使，连接，

由旋转可得：，∴，∴，∴,过P作于S，则，，∴，则，∴，∴，∵，即，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，由题意，，，，，过点L作垂直的延长线于点Q，，∴，，则，在中，根据勾股定理得，∴的最小值为.【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.2．（