2025届新高考数学精准冲刺复习 基本不等式

必备知识·逐点夯实2025届新高考数学精准冲刺复习基本不等式核心考点·分类突破

考向考法利用基本不等式求最值是高考的重点,通常与函数、数列、解析几何、导数等内容相结合,题型以选择题、填空题为主,中低档难度.预测2025年备考仍以选择题、解答题为主,重点关注利用基本不等式进行大小判断、求最值和求取值范围的问题.必备知识·逐点夯实

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×基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号1423

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核心考点·分类突破考点一利用基本不等式求最值考情提示利用基本不等式求最值时应注意基本不等式成立的条件.高考时,一般不会直接应用基本不等式求最值,常常需要对题目进行“添加项”“换元”或“常数代换”后再利用基本不等式求最值.

解题技法利用基本不等式求最值的条件必须满足的三个条件为“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各项必须为正数.(2)“二定”:要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.

解题技法常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.

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解题技法利用消元法、换元法求最值的方法(1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.(2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解.

角度5由条件等式求a+b或ab的取值范围或最值教考衔接教材情境·研习·典题类[9,+∞)

解题导思看问题双变量求范围问题提信息a,b>0,ab=a+b+3定思路

[溯源点评]从命题情境角度上,高考真题与教材题目“形似”,都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”,通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查.

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(-∞,-1)∪(25,+∞)解题技法利用基本不等式求解综合问题的求解策略(1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.

解题技法有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.对点训练某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5m,各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为

m2.

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解题技法柯西不等式求解最值的策略关键是构建条件与结论之间的联系,通过合理的恒等变形与配凑转化,使之符合柯西不等式的结构,利用柯西不等式来转化所求的代数关系式,联系条件来确定对应的最值问题.

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解题技法柯西不等式证明不等式成立的策略(1)结合所要证明的不等式,引入一次线性关系式进行配凑,利用柯西不等式加以转化,并利用不等式的性质与恒等变形来证明对应的不等式成立;(2