自考高数线性代数课堂笔记

/自考高数线性代数课堂笔记行列式(第一集)三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆任何阶数三角形行列式的值为主对角线的三个数之积

（二）阶行列式阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。（）在阶行列式中，划去它的第行和第列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个()阶行列式叫元素的余子式，记作（）符号叫元素的代数余子式。定义：定义：阶行列式行列式按行（列）展开行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。凡是含零行或零列的行列式，其值必为零。行列式的性质与计算性质行列式和它的转置行列式相等，即性质用数乘中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于。即行列式可以按行和按列提出公因数：注意如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。性质互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式根据这个性质可以得到下面的重要推论：如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。性质如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。性质行列式可以按行（列）拆开，即

性质把的某一行（列）的所有元素都乘以同一数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为。即：定理阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即，（），（）例计算行列式：解这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为，我们可以采用简易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数，再将后三行都减去第一行：例计算行列式：

例计算范德蒙德行列式：

克拉默法则定理（克拉默法则）

在个方程的元一次方程组（）中，若它的系数行列式≠

则元一次方程组有唯一解。推论：元一次齐次方程组（）中（）若系数行列式≠，方程组只有零解，

（）若系数行列式，则方程组（）它必有无穷多个非零解。矩阵(第集)矩阵的概念通常用，，等表示矩阵。也可记为（）×或（）×或×。当时，称（）×为称为阶方阵。它不是一个数，它与阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。几种常用的特殊矩阵：

阶对角矩阵

形如或简写为的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。.数量矩阵：当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。特别，当时，称它为阶单位矩阵。阶单位矩阵记为或阶上三角矩阵与阶下三角矩阵.零矩阵

矩阵运算矩阵的相等（同）记为。矩阵的加、减法：（）×。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。注意：（）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别；（）阶数大于的方阵与数不能相加。但是（）×与数量矩阵可以相加：矩阵的加法满足下列运算律：设，，都是×矩阵，是×零矩阵，则：（）交换律；（）结合律（）（）；（）；（）消去律数乘运算：数与矩阵的乘积只是中的所有元素都要乘以，而数与行列式的乘积只是用乘中某一行（列）数乘运算律

（）结合律（）（），和为任意实数。（）分配律（），（），和为任意实数。乘法运算：两个矩阵可以相乘当且仅当列行。当时，行行，列列。矩阵乘法具有以下性质：

（）；（）（）（）；（）在一般情形下，≠；（）当时，一般不能推出或；

（）当时，一般不能推出。若矩阵与满足，则称与可交换。此时，与必为同阶方阵。被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。例设矩阵，求出所有与可交换的矩阵。

解因为与可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与可交换的矩阵，则

由，可推出，，且，可取任意值，即得。乘法运算律

（）（）（）；（）分配律（），（）。

（）（）（）（），为任意实数。（）××，××。方阵的方幂：方幂的规则：，（），，为任意正整数。

例设阶方阵和满足，证明：。

证由可推出2A。再由（2A）（2A）4A-4A，证得因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于阶方阵和，有以下重要结论：

（）（）（）（）。

（）（）（）。

（）当时必有（）.（）当＝时，在满足可乘条件下必可推出＝，＝，但未必有＝，＝。因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于阶方阵和，有以下重要结论：（），≠不能推出；（）由不能推出；（）由，≠不能推出。（）由不能推出±矩阵的转置：把×换成转置运算律:（）（）；（）（）；（）（），为实数；（）（1A…）若，则称为对称矩阵；若—，则称为反对称矩阵。

？例证明：任意一个实方阵都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

证：取则

其中∴是对称阵。

∴是反对称阵。2.2.6方阵的行列式矩阵与行列式的区别：（）矩阵是一个数表，行列式是一个数。（）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。（）对于不是方阵的矩阵不可以取行列式。方阵的行列式性质：（）；（）；（）。（行列式乘法规则）；≠任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。

方阵多项式任意给定一个多项式和任意给定一个阶方阵，都可以定义一个阶方阵，称（）为的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。例：设，求（）

解：

方阵的逆矩阵(第三集):,即。满足则称是可逆矩阵,不满足则为不可逆矩阵可逆矩阵的基本性质：设，为同阶的可逆方阵，常数≠，则

（）为可逆矩阵，且（）（）（与转置类似）（）（）（）（）若可逆且，则有消去律对角阵的逆矩阵等于其原元素的倒数；如果，()－；若是可逆的，则是唯一的。如何判定一个给定方阵是否可逆呢？定义2.3.2设，为的元素的代数余子式（,…），则矩阵

称为的伴随矩阵，记为。由节中的定理1.4.1可得（）类似可得（）阶方阵为可逆矩阵。求逆矩阵公式。当≥时，计算量很大，不宜使用，而用初等行变换来计算(参考2.5.4)。例若，求

解：

例设为阶方阵，则。证：由知道。当时，显然有。

例若。求的逆矩阵和的逆矩阵。

解：（）

（）

例设是阶方阵且，求（）（）（）（）解：（）

（）

（）（）

分块矩阵对于任意一个×矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法：行向量表示法、列向量表示法。分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运算。

分块矩阵的加法

把×矩阵和作同样的分块：

，，则

例设，都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和，求出行列式的值。解：根据分块矩阵加法的定义知道，

数乘分块矩阵：数与分块矩阵的乘积为

分块矩阵的转置：“内外一起转”

设则其转置矩阵为分块矩阵的乘法和分块方阵求逆

设矩阵，。利用分块矩阵计算乘积时，应使左边矩阵的列分块方式与右边矩阵的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，的各子块分别左乘的对应的子块。例对于矩阵

，，用分块矩阵计算。方阵的特殊分块矩阵主要有以下三类：（凡空白处都是零块）

（）形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中均为方阵。

（）两个准对角矩阵的乘积设是同阶方阵，则

（）准对角矩阵的逆矩阵若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵可逆，并且重要结论：上述两类特殊分块矩阵的行列式都是它们的主对角线上各子块的行列式的乘积，即矩阵的初等变换与初等方阵

初等变换：定义若矩阵经过若干次初等变换变为，则称与等价，记为矩阵之间的等价关系有以下三种性质。（）反身性（）对称性若则（）传递性若则初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵。

我们对阶单位矩阵施行三种初等变换得到以下三类阶初等方阵。

有下面的定理。

定理左（右）乘就是互换的第行（列）和第行（列）

（）左（右）乘就是用非零数乘的第行（列）。

（）左乘就是把中第行的倍加到第行上。

（）右乘就是把中第列的倍加到第列上。

矩阵的等价标准形

定理任意一个×矩阵，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的×矩阵。

这是一个分块矩阵，其中为阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。称其为的等价标准形。

初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以定理2.5.2可以等价地叙述为

定理对于任意一个×矩阵，一定存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得

用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵(第集)

用初等行变换把（，）化为（，），如果前列不可能化为单位矩阵，则说明不是可逆矩阵。

注意：用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换，而且在求出以后，最好验证式子＝。变换过程是先把第一列变好，再变第二列，以此类推。

用矩阵的初等变换求解矩阵方程

最常见的方程有以下两类：

（）设是阶可逆矩阵，是×矩阵，求出矩阵满足＝

原理：＝时方法：用初等行变换把分块矩阵（，）化成（，）即：公式（，）→（，）则

例.求解矩阵方程。

（）设是阶可逆矩阵，是×矩阵，求出矩阵满足＝。

解：由方程＝＝，解为（而不可以写成）。

（方法）：（，）→（，（））∴（，）→（，）先求，再求。

例.求解矩阵方程：

关于矩阵方程的另一种常用求解方法是：先求出逆矩阵，然后，求出＝的解＝，或者＝的解＝

矩阵的秩(第集)方法一：定义在×矩阵中，非零子式的最高阶称为的秩，记为（）。所谓非零子式的最高阶数指的是，在所有的不等于零的那些子式中，阶数最高的子式的阶数(有一个就行)例.显然，的秩序为

定理：对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩。

推论设为×矩阵，和分别为阶和阶可逆矩阵，则（）＝（），（）＝（）。

要确定非零子式的最高阶数，可以采用阶梯形矩阵

方法二：定义满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵（）＝（）＝“”中非零行的行数。

定理对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等行变换把它化成阶梯形矩阵。

注在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也可以用初等列变换。而且不必化成简化行阶梯形矩阵

矩阵的秩，有以下结论。

（）设＝（）×,则（）≤{}。

（）（）（）,实际上，与中的最高阶非零子式的阶数必相同。

（）阶方阵为可逆矩阵所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵。矩阵与线性方程组

在求解齐次线性方程组时，可利用矩阵的初等行变换，将其系数矩阵化为简化行阶梯矩阵，得出易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解。

对于非齐次线性方程组，我们可以利用矩阵的初等行变换把它的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程的解。

下面利用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

定理元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵（）×的秩（）<。

说明：的秩（）时表示方程组中有效的保留方程个数也是。（）<表示保留下来的有效方程个数<未知数个数，所以有自由未知数，因而解有无穷多，当然有非零解。

推论含有个方程的元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。

推论若方程组中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。

事实上，方程组的系数矩阵的秩不超过其行数，即方程的个数，所以（）≤<。

向量空间维向量概念与其线性运算

向量的运算满足下列条运算律：设α，β，γ都是维向量，，是数，则（）α＋ββ＋α；（加法交换律）（）（αβ）＋γα＋（β＋γ）；（加法结合律）

（）α＋＝α；（）α＋（－α）＝

（）×α＝α；（）（α＋β）＝α＋β；（数乘分配律）

（）（＋）α＝α＋α；（数乘分配律）（）（）α＝（α）。（数乘向量结合律）向量的线性组合

.向量的线性组合定义向量组ε＝（，，，…），ε＝（，，…），…ε＝（，，,…），其中每一个向量只有一个分量为，其余分量为，叫标准单位向量组。显然，任何一个向量都可以表示为标准单位向量组的线性组合。.向量的线性表出关系

例：（）因为（，，）＝（，，，），所以β＝（，，）可用α＝（，，）线性表出：β＝α。

.线性组合的矩阵表示法

向量β＝（，，…）可用向量组α＝（，，…），…,α＝（1m，2m，…）线性表出的充分必要条件是：存在个数，，…使得α＋α＋…αβ（）于是满足（）式的表出系数，…就是线性方程组β的解。

若方程组（）有惟一解，则表明β可用α，α，…α线性表出，且表示法是惟一的.若方程组（）有无穷多解，则表明β可用α，α，…α线性表出，且表示法不惟一.

若方程组（）无解，则表明β不能用α，α，…α线性表出。

如果α，α，…α和β都是维行向量，此时必须构造×矩阵，即把所给的行向量全部转置成列向量再依次存放构造出矩阵，则有解。

.表出系数求法举例

例问β（）能否表示成α＝（），α（），α（）的线性组合？

解设线性方程组为αααβ

β能否表示成α，α，α的线性组合，取决于该方程是否有解，对它的增广矩阵施行行初等变换，得

，αααβ的同解方程组就是

它的惟一的解就是,所以β可以惟一地表示成α,α,α的线性组合，且β＝α＋α－α

例问β（）能否表示成α（），α（），α（）的线性组合？

解：考察线性方程组用矩阵的初等行变换化简方程组的增广矩阵：

，方程组的同解方程组为

取，则有β（）α（）αα，可任意取值。线性相关与线性无关定义设α，α，…，α是个维向量，如果存在个不全为零数，，…，使得αα…α。

则称向量组α，α，…α线性相关，称，，…为相关系数，否则，线性无关。［,…］经初等行变换为阶梯阵，若阶梯阵非零行的行数＜向量→向量组线性相关；或阶梯阵非零行的行数＝向量→向量组线性无关。结论：（）含有零向量的向量组一定线性相关。（）单个向量线性相关α；单个向量线性无关α≠（）两个向量的向量组α，β线性相关α与β的分量成比例。例说明标准单位向量组ε（,…），ε（,…），…ε（,…）一定线性无关。

解：

例问向量组α（）,α（）,α（）是否线性相关？

解设ααα，即（）（）（）（）

令等式两边的三个分量分别相等，就可以列出组合系数满足的线性方程组

因为它的系数行列式所以此线性方程组只有零解（克拉默法则），这说明α,α,α线性无关。

例若α,α,α线性无关，证明以下向量组线性无关：βαα,βαα,βαα

证设βββ，将已知条件代入得（αα）（αα）（αα）

把它整理后可得（）α（）α（）α

因为α,α,α线性无关，必有＋,＋,＋,

把它们相加得到（），据此得，这就证明了β,β,β线性无关。

两个重要结论：（）个维列向量α,α,…α，线性无关矩阵（α,α,…α）的行列式（）当>时，个维列向量α,α,…α一定线性相关。这是由于当>时，齐次线性方程组中的变量个数大于方程个数,它必有可以任意取值的自由变量，因此，它必有非零解。若方阵的行列式等于零，则它的行向量组和列向量组都线性相关；若不为零，则它的行（列）向量组都线性无关。

线性相关性的若干基本定理定理3.2.1个维向量（≥）线性相关至少存在某个是其余向量的线性组合，即，（≥）线性无关任意一个都不能表示为其余向量的线性组合。等价于：是否存在一组不全为的数λ，λ，…λ使λ1aλ2a…λ定理如果向量组线性无关，而添加一个同维向量后所得到的向量组，线性相关，则可以用线性表出，且表示法是惟一的。定理设为线性相关组，则任意扩充后的同维向量组，必为线性相关组。我们常把定是简述为“相关组的扩充向量组必为相关组”，或者“部分相关，整体必相关”。它的等价说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整体无关，部分必无关”。定理3.2.4“相关组的截短向量组必为相关组”，它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关组”。注意（）扩充是指向量维数（即向量中分量个数）不变，仅是向量个数增减，接长或截短是指向量个数不变，仅是向量维数增减。

（）接长或截短必须在相应分量上进行。但未必限于首、尾分量，可以在任意相应分量上进行接长或截短，而且增减分量个数也可多于一个。

例如，（，，），（，，），（，，）为线性无关的维向量组。

则接长向量组（，，，，），（，，，，），（，，，，）也是线性无关向量组。

向量组的秩

向量组的极大线性无关组若阶梯阵的非零行的行数<向量个数→向量组线性相关；若阶梯阵的非零行的行数向量个数→向量组线性无关；阶梯阵中每行第一个非零行元素所对应的向量构成极大无关组。极大无关组不一定是惟一的，但极大无关组中向量个数是一定的。向量组的秩

定义：向量组的最大无关组的向量个数叫向量组的秩，记作（）。向量组的秩＝矩阵的秩。

矩阵的行秩，列秩定义：矩阵的分块行向量组的秩叫矩阵的行秩；矩阵的分块列向量组的秩叫矩阵的列秩。定理：矩阵经过初等变换不改变它的行秩和列秩的大小。

定理：矩阵的行秩，列秩与矩阵的秩相等，而矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩。由于矩阵的三种秩大小相同，今后我们不加区别地一律叫矩阵的秩，记作（）推论若则有（）（）时，向量组线性无关。（）（）<时，向量组线性相关。求向量组的秩的方法(见)在求向量组的一个最大无关组并将其余向量表示为这个最大无关组的线性组合时，可以合并为一步完成。

（）当是列向量组时：第一步引入矩阵（）第二步将变形化为简化的阶梯形时，则对应于的三个向量是一个最大无关组，且

（）若是行向量组时：第一步引入

第二步将化为简化阶梯形时，则对应于的向量组是最大无关组，且而是一个最大无关组，且矩阵的秩有下面定理：定理：（）≤（（）（））这说明两矩阵之积的秩小于等于每个矩阵的秩。向量空间

定义3.4.1维实行向量全体（或实列向量的全体）构成的集合称为实维向量空间，记作。的很多子集也有这个性质，我们把的具有这种性质的子集定义为的子空间，其严格定义如下：定义3.4.2设是维向量构成的非空集合，且满足

（）若，则；称为对向量的加法运算封闭

（）若。则称集合是的子空间。称为对数乘运算封闭。上述两个条件可以合并成以下条件：对任意向量和任意常数，∈，都有。的子集是最简单的子空间。因为零向量加零向量仍是零向量，零向量乘任意数后仍是零向量。称为零子空间。

由子空间的非空性和对加法的封闭性与对数乘的封闭性易见，在任意一个子空间中一定包含零向量。事实上，由不是空集知道，可以任取∈，则（）∈，于是由封闭性知（）∈。

为了叙述方便，我们有时也把的子空间简称为向量空间。

例验证在中，由形如（，，）的向量组成的集合是的子空间。

证：对任一，则有其线性组合

的第一个分量仍为，

∴仍是的向量，所以是的子空间。

例验证在中，由形为（，，）的向量组成的集合不是的子空间。

证，在中任取

则的第一个分量不是，所以不在内，所以不是的子空间。

3.4.2生成子空间定义：若向量组则由的线性组合的全体向量所组成的集合叫由生成的子空间，记作（）例如：在中，由（，，），（，，）的线性组合的全体组成的集合

称为由（，，，），（，，）生成的子空间，记作。

3.4.3基与维数以与坐标向量空间的一个基，实际上就是向量集合中的一个极大线性无关组，的维数就是极大无关组中所含向量的个数，也即的秩，记为。

例已知中的维标准单位向量组

ε（，，，…，），ε（，，，…，），…，ε（，，…，）

是线性无关的，且每个维向量都可由该向量组线性表出，由定义3.4.3知ε，ε，…,ε是的一个基，于是。

易见，。

如果是向量空间的一个基，那么，根据向量组的极大无关组的定义知道，每一个∈一定可以惟一地表示成的线性组合，于是必有

这就是说，任意一个向量空间都是由它的任意一个基（即极大无关组）生成的。

注意（）中每个向量的维数是指向量中的分量个数，向量空间的维数是指的基中的基向量的个数。这是两个不同的概念。维向量空间的任意两个基都是等价的线性无关组，它们都含有个向量，且必有≤.

（）若，则中个向量的集合，是的基为中最大线性无关组。这是由于受到的限制，这个线性无关组必是中的极大无关组。因此，维向量空间中任意个线性无关向量都是的基。例如，三维向量空间中任意三个线性无关向量都是基，它们都可以作为坐标系中三个基向量。

由定理3.2.2有定理3.4.1设：是向量空间的一个基，则中的任意一个向量都可用惟一地线性表出。

定义：当成立时，由个表出系数组成的维向量（）称为向量在此基下的坐标。当然，同一个向量在不同的基下有不同的坐标。求坐标的方法就是求出表出系数，也就是解线性方程组。

例任取。

因此必有（，，）（，，）（，，），所以，在基下的坐标就是。这说明在下的坐标就是它本身。

例求在基下的坐标，并将用这个基线性表出。

解令即

容易解得，，.

所以在基下的坐标为（，，），且有

（）（）（）（）（）（）。

例证明：构成的基.并求出在此基下的坐标。

解因为由这三个维向量拼成的三阶行列式

≠，所以，线性无关，它们一定构成的基，令

即（）（）（）（），与它等价的线性方程组为

可以用消元法解线性方程.把前两式相减得，即.由第二式得.将它们代入第三式即可解出，从而。于是所求的。线性方程组齐次线性方程组

齐次线性方程组的解性质若是齐次线性方程组的解，则也是的解。性质若是齐次线性方程组的解，是任意实数，则也是的解。定义4.1.1设为齐次线性方程组的一个解向量集，如果它满足以下两个条件：

（）是线性无关的向量组；

（）的任意一个解都可表示为的线性组合，即是常数，

则称是的一个基础解系。由定义可知，的基础解系，实际上，就是的解空间中的一个基，反之的解空间中的任意一个基，一定是的一个基础解系。定理在齐次线性方程组（表示方程个数，表示未知数个数）中有：

（）当（）时，（它表示有效的保留方程有个）方程组只有一个零解。

（）当（）<时，（它表示有效的保留方程有个且小于未知数个数）方程组有非零解，且基础解系的解向量有（）个

注意：基础解系必须满足三个条件

①基础解系中每一个向量都是的解；②基础解系的向量个数必须为（）；③基础解系的向量组线性无关

所以当（）<时，方程组的任何（－）个线性无关的解向量组α，α…α都是基础解系。

④若向量组是的基础解系，则的通解为4.1.2齐次线性方程组的通解的求法、把化为阶梯阵；、确定()个自由变量(把不在阶梯阵第一个非零元素上的变量取为自由变量)；、一个自由变量为，其他为解得一组解，以此类推，得到()组解，它们即构成基础解系。、基础解系中的解分别上任意常数相加，即得通解。

例求的通解。

解：

(最好从最后一个方程开始)这里是取和为两个自由未知量（确实有）

取，，代入同解方程组求出，；取，，代入同解方程组求出，

于是可以得到一个基础解系，因此，所需求的通解为ξξξ,和为任意实数。当（）<时，存在基础解系，且基础解系由个向量组成，就是说，方程组的解向量组的秩为，

非齐次线性方程组

定理有解（）（）非齐次线性方程组的解的结构性质如果η，η是非齐次线性方程组的解，则ξηη是它的导出组的解。性质如果η是非齐次线性方程组的解，ξ是它的导出组的解，则ξη必是的解。在非齐次线性方程组中中

（一）若（）（），则方程组有解且惟一；

（二）若（）（）<，则方程组有解且无限多，且有个自由变量。并且η*ξ…ξ其中η*是的一个特解。ξ，ξ，…ξ是导出组的基础解系。

（三）若（）≠（），则方程组无解。

特别情形，若为阶方阵，则有定理：在方程组中若，则方程组有惟一解且非齐次线性方程组的求解方法、［，］→阶梯阵；、确定自由变量；、令所有的自由变量为(注意区别)，求得的一个特解；、求出的基础解系：,…，()；、的通解为…特征值与特征向量(第集)特征值与特征向量

特征值与特征向量的定义定义5.1.1设（）为阶实方阵。如果存在某个数λ和某个维非零列向量满足λ，则称λ是的一个特征值，称是的属于这个特征值λ的个特征向量。求特征值和特征向量的方法：把λ（λ）改写成（λ）或（λ）。再把λ看成待定参数，那么就是齐次线性方程组（λ）的任意一个非零解。显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：λ或（λ）定义5.1.2带参数的λ的阶方阵λ－称为的特征方阵，它的行列式λ－称为的特征多项式，称λ－＝为的特征方程。例（）当－时，根据特征值的定义知道，就是的特征值。

命题三角矩阵的特征值就是它的全体对角元。命题一个向量不可能是属于同一个方阵的不同特征值的特征向量。命题的同一特征值λ的不同特征向量，的线性组合仍是属于λ的特征向量。定理5.1.1注意:和未必有相同的特征向量,即当λ时未必有λ,定理5.1.2

（）若λ是的特征值，则λ点的特征值，而且与有同一特征向量。（）若λ是的特征值且λ≠，则λ是的特征值，而且与有相同的特征向量。定理:5.1.3设为阶方阵，（）…为次多项式，

（）…1A例.设，求-2A的所有特征值。

解：（）因为是三角形，所以特征值为对角线上的元素，λ，λ

（）（）-2A的特征值为（λ）λλ

∵（λ）（）

（λ）（）

∴-2A的特征值为和。

例.求出以下特殊的阶方阵的所有可能的特征值（是个正整数）：

（）（）解：设λ，则λ≠

（）由λ×和≠知道λ

（）由λ和≠知道λ，即λ±.

关于求特征值和特征向量的一般方法

例求出的特征值和线性无关的特征向量。

解：（）先求出的特征多项式

求得的特征值为λλ,λ.

（）再求特征向量，用来求特征向量的齐次线性方程组为

①属于λλ的特征向量满足：由系数矩阵∴保留方程为

令令∴属于λλ的特征向量为，相应于的全部特征向量为()()，不同时为

②属于λ的特征向量(略)定理5.1.4设是阶方阵的全体特征值，则必有这里，（）为中的个对角元之和，称为的迹（），为的行列式。（不证）

方阵的相似变换(第集)定义：设和是两个阶方阵，如果存在某个阶可逆矩阵使得。则称和是相似的，记为～。同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（）反身性、（）对称性、（）传递性定理5.2.1相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。此定理的逆定理并不成，具有相同特征多项式的两个方阵未必相似，事实上，与单位矩阵相似的方阵必为单位矩阵；定理5.2.4设λ，λ，…，λ是阶方阵的两两不同的特征值是属于λ，≤≤的特征向量，则，,…是线性无关组。即属于方阵的两两不同特征的特征向量组必为线性无关组。结论：（）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；

（）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；

（）若中任一的特征根对应有个线性无关特征向量，则一定与对角阵∧相似。求相似更换矩阵，使∧的步骤。第一步，解特征方程，求特征值λ，λ，λ

第二步，对应于每个特征值λ（）

解齐次线性方程组的基础解就是特征向量（）

注意垂特征应用有个基础解向量。

第三步，令相似变换矩阵（）

有向量内积和正交矩阵

向量内积定义5.3.1两个维行向量的内积为注意：、从内积定义可以看出：无论两个行向量还是两个列向量只要是同维就有内积，他们的内积是个数，内积的大小等于各对应分量乘积的和定义5.3.2维行向量α（,…）的长指的是实数，当时，称α为单位向量。

∴若α（,…），则例，若α（,…），求的长度

""\""[答疑编号：针对该题提问]

解

由例可知，任何一个非向量α，除以它的长度后得到的向量一定是单位向量。

定义5.3.3设正交当且仅当，即。由此定义可知，零向量与任意同维的向量都正交，反之，如果某个维向量α与中的任意一个向量都正交，那么α当然与α正交，于是（α，α）知道必有α。定义5.3.4如果一个同维向量组中不含零向量，且其中任意两个向量都是正交的（简称为两两正交），则称这个向量组为正交向量组。

定义若是中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。（正交单位向量组）定量5.3.1正交向量组一定是线性无关组。我们介绍施密特（）正交化方法：

例，将标准正交化。

解：

再把它们单位化可以求得

正交矩阵定义5.3.6如果阶方阵满足，则称为正交矩阵。例，证明：与都是正交矩阵。

证：

正交矩阵的基本性质，设是阶正交矩阵，则有下列结论：（）；但反之则不然,行列式为±的方阵未必是正交矩阵；（）；（）正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵。定义5.3.7设是阶方阵是两个维列向量，则称线性变称为正交变换。

定理两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵。这个结论可推广到有限个正交矩阵相乘的情形，即有限个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵。定理阶实方阵是正交矩阵的个行向量是标准正交向量组的个列向量是标准正交向量组。定理设是阶正交矩阵，λ是的任意一个特征值，则λ≠而且也是的特征值。实对称矩阵的相似标准形定理实对称矩阵的特征值一定是实数，其特征向量一定是实向量。定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量。定理（对称矩阵基本定理）对于任意一个阶实对称矩阵，一定存在阶正交矩阵，使得

对角矩阵中的个对角元就是的个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。（证明略）

下面举例说明如何求正交相似变换矩阵，使正交相似对角形的方法

在求矩阵的正交相似标准形时，在正交矩阵中的特征向量的排列次序和对角矩阵中的特征值的排列次序，其排列方法不是惟一的，但是必须与互相对应，即的各列的排列次序与特征值的排列次序必须一致。

例求出的相似标准形。

解（）先化简特征方程：

它的三个根为

（二）求特征向量

（）属于、的特征向量应满足方程组，得基础解

（三）取有

例求出的正交相似标准形。

解我们介绍以下两种方法求出所需要的正交矩阵。

（一）[施密特正交化方法]把在例中已求出的三个线性无关的特征向量

，下面先将同一特征值的特征向量正交标准化

取有

其中正交。

这里所介绍的用直观方法求单个方程的两两正交解，毕竟有它的局限性，基本方法仍是施密特正交化方法。实二次型实二次型与其标准形

（一）定义6.1.2只有平方项的二次型称为二次型的标准形，其对应的矩阵为对角矩阵定理对于任意一个元二次型，一定存在正交变换，使得

其中，就是矩阵的个特征值。

我们把这种标准形称为二次型的相似标准形，它的个系数就是对称矩阵的个特征值。用配方法求二次型的标准形

以上所介绍的求二次型的标准形的方法是，先求出对称矩阵的所有特征值，再求出个两两正交的单