新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题21椭圆解答题压轴题学生版

专题21椭圆（解答题压轴题）①椭圆的弦长（焦点弦）问题1．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知椭圆：的左､右顶点分别为，下顶点为.(1)设点为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点.直线于轴交于点，求四边形的面积；(2)设直线l与椭圆交于不同于右顶点的两点，且，求的最大值.2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．(1)若过椭圆的一个焦点引两条相互垂直的弦、．求证：是定值；(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．3．（2022·安徽·安庆市其次中学高二期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且.证明；.4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．(1)求椭圆的方程；(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．5．（2022·青海·模拟预料（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．6．（2022·浙江·杭师大附中模拟预料）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．7．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，，若的最小值为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当的面积S最大时，求．8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.（1）求椭圆的方程∶（2）若，求直线AF1的斜率；（3）求证∶是定值.②椭圆的中点弦问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点恰好为圆A：的圆心，且圆A上的点到直线：的距离的最大值为．(1)求C的方程；(2)过点（3，0）的直线与C相交于P，Q两点，点M在C上，且，弦PQ的长度不超过，求实数λ的取值范围．2．（2022·上海·高三阶段练习）我们把椭圆和称为“相像椭圆”“相像椭圆”具有许多奇妙的性质．过椭圆上随意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A、B，切线、与椭圆另一个交点分别为Q、R．(1)设，证明:直线是过A的椭圆的切线；(2)求证：点A是线段的中点；(3)是否存在常数，使得对于椭圆上的随意一点P，线段的中点M都在椭圆上，若存在，恳求出的值；若不存在，请说明理由．3．（2022·全国·高三专题练习）已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；(2)直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过左焦点且与轴垂直的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）已知，为椭圆上两点，为坐标原点，斜率为的直线经过点，若，关于对称，且，求的方程．5．（2022·全国·高二课时练习）设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．6．（2022·湖南·长郡中学高二期末）已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.③椭圆中的最值问题1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.(1)求的方程；(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.2．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．3．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．(1)求椭圆的方程；(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预料）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作两条相互垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.5．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设有椭圆方程，直线，下端点为，左､右焦点分别为在上.(1)若中点在轴上，求点的坐标；(2)直线与轴交于，直线经过右焦点，且，求；(3)在椭圆上存在一点到距离为，使，当改变时，求的最小值.6．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．8．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.9．（2022·上海虹口·高二期末）已知椭圆的两个顶点，，且其离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)设过椭圆的右焦点的直线与其相交于，两点，若（为坐标原点），求直线的方程；(3)设为椭圆上的一个异于，的动点，直线，分别与直线相交于点，，试求的最小值10．（2022·河南安阳·模拟预料（理））已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且．①证明：直线CD恒过定点；②求面积的最大值．④椭圆中定点、定值、定直线问题1．（2022·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；(2)设直线与直线交于点，点满意轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.2．（2022·江西·高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)点M为直线上随意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．3．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知椭圆：，，点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．4．（2022·河南·南阳市其次完全学校高级中学高二阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．(1)求椭圆C的方程；(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l改变时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.(1)当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；(2)在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，摸索究直线是否经过定点，若是，恳求出该定点，若不是，请说明理由.6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆的方程；(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴，y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点．(1)若直线l的方程为，求外接圆的方程；(2)推断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.(1)求圆O和椭圆C的方程；(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．12．（2022·全国·哈师大附中模拟预料（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为，过点的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定直线与直线交于点G，使，G，Q共线．13．（2022·山东师范高校附中模拟预料）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．(1)求椭圆的标准方程，(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上．⑤椭圆中向量问题1．（2022·江苏·海安县试验中学高二阶段练习）已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与轨迹方程恒有两个交点，且满意若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.2．（2022·吉林·长春市其次试验中学高三阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为，直线与的另一个交点为，连接，若的周长为，且的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，当为何值时，恒成立？3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．(1)若的坐标为，求四边形的面积；(2)若与椭圆相切于且，求的值；(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．(1)求抛物线的方程及a；(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满意，且最小值为，求椭圆的离心率．5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．(1)若，求直线的方程；(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．6．（2022·天津·南开中学模拟预料）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.7．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．(1)求椭圆的方程；(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．⑥椭圆综合问题1．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．(1)求椭圆C的方程(2)求过点P的椭圆C的切线方程(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．3．（2022·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.(1)