高中数学热点题型增分练专题13抛物线性质归类学生版新人教A版选择性必修第一册

专题13抛物线性质归类综述1.抛物线有关学问：(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下2.弦长公式弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；3.重要结论：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而变更)；②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α为直线AB的倾斜角)；③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半径公式得：，，(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(随焦点动而变)； 图4(3)其他结论：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．4.抛物线焦点弦的几个常用结论设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：（1），；（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，弦长，（为直线的倾斜角）；（3）；（4）以为直径的圆与准线相切；（5）以或为直径的圆与轴相切.5.抛物线切点弦公式：（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．5.焦点弦定比分点过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为。|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【题型一】抛物线定义1：轨迹【典例分析】已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为________．【提分秘籍】基本规律求轨迹方程的常见方法有:①干脆法，设出动点的坐标，依据题意列出关于的等式即可；②定义法，依据题意动点符合已知曲线的定义，干脆求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.【变式训练】1.已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__．2.一个动圆与直线相切，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是________.3.动点P在曲线上移动，则点P和定点连线的中点的轨迹方程是________．【题型二】抛物线定义2：方程与曲线【典例分析】已知动点的坐标满意，则动点的轨迹方程为_____________．【变式训练】1.已知实数x，y满意，其中常数，则动点的轨迹是（

）A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆2.若点满意方程，则点P的轨迹是______．3.若动点满意，则点的轨迹应为（

）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆【题型三】抛物线定义3：到焦点到准线距离互化【典例分析】已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上一点，则的最小值为（

）A．8 B． C．6 D．【提分秘籍】基本规律(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【变式训练】1.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．2.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．3.设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．【题型四】抛物线定义4：焦半径坐标公式【典例分析】已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而变更)；【变式训练】1.已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．2.假如P1,P2,⋯,PA．n+10B．n+20C．23.．抛物线上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是__________．【题型五】焦半径与焦点弦1：【典例分析】如图所示，已知抛物线过点，圆.过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.焦半径：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)【变式训练】1.已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________.2.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．【题型六】焦半径与焦点弦2：“梯形”模型【典例分析】已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（

）．A． B． C． D．【变式训练】1.．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，，若，则线段的中点到抛物线准线的距离为_________.3.抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满意.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为__________．【题型七】焦半径与焦点弦3：焦半径“夹角”公式【典例分析】若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，焦半径公式：，，【变式训练】如图，过抛物线的焦点F作两条相互垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________．【题型八】焦半径与焦点弦3：定比分点【典例分析】过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.【提分秘籍】基本规律过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【变式训练】1.若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．2.已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．【题型九】最值与范围【典例分析】已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（

）A． B．3 C． D．【变式训练】1.已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）A． B． C． D．2.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A． B． C． D．3.．已知抛物线：，点为抛物线上随意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【题型十】小题大做【典例分析】抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．【变式训练】1.抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为A． B． C． D．2.已知拋物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于、两点，且，为坐标原点，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是A． B．C． D．3.如图，为抛物线的焦点，直线（）与抛物线相交于两点，若四边形的面积为7，则A． B． C． D．分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．2．抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（

）A． B． C． D．4．已知抛物线的焦点为，直线不过点且与交于，两点（点在轴上方），与轴负半轴交于点，若，，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．5．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（

）A．6 B．8 C．9 D．126．经过抛物线的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（

）A． B．C． D．7．抛物线上一点到直线距离的最小值为（

）8．抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（

）A．2 B． C．6 D．培优其次阶——实力提升练1．已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（

）A．8 B．12 C． D．2．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（

）A． B． C． D．3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（

）A． B． C． D．4．已知抛物线的焦点为F，点A，B在C上（A在第四象限，B在第一象限），满意，且，则直线AB的斜率为（

）A． B． C． D．15．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________．7．已知抛物线：的焦点为，第一象限的，两点在上，若，，，若直线的倾斜角为，则________．8．已知点在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为．若点的坐标为，且是的垂心，则直线的方程_________；培优第三阶——培优拔尖练1．已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（

）A． B．1 C．16 D．2．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特殊三角形”，则“特殊三角形”有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．多数个3．的最小值为（

）A．5 B． C．6 D．4．在直线l：上取一点D做抛物线C：的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：交于M，N两点，当│MN│最小时，D的横坐标是______．5．设抛物线的