2025届上海市延安初级中学高一下数学期末复习检测试题含解析

2025届上海市延安初级中学高一下数学期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（）A． B． C． D．2．已知，则，，的大小顺序为（）A． B． C． D．3．已知向量，且，则（）A． B． C． D．4．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②与成角③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④5．在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．在中，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．与角终边相同的角是A． B． C． D．8．正项等比数列的前项和为，若，，则公比（）A．4 B．3 C．2 D．19．以下有四个说法：①若、为互斥事件，则；②在中，，则；③和的最大公约数是；④周长为的扇形，其面积的最大值为；其中说法正确的个数是（）A． B．C． D．10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作之一，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（）A．12平方米 B．16平方米 C．20平方米 D．24平方米二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知关于两个随机变量的一组数据如下表所示，且成线性相关，其回归直线方程为，则当变量时，变量的预测值应该是_________．23456467101312．在中，，是边上一点，且满足，若，则_________.13．若复数（为虚数单位），则的共轭复数________14．在《九章算术·商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biēnào），在如下图所示的鳖臑中，，，，则的直角顶点为______.15．已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________．16．（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．18．已知，，．(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；(2)若当时，的最小值为，求的值．19．已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）求函数的最小值.20．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）请确定3998是否是数列中的项？21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

过的中心M作直线,则上任意点到的距离相等，过线段中点作平面，则面上的点到的距离相等，平面与的交点即为球心O，半径，故选D.考点：求解三棱锥外接球问题.点评：此题的关键是找到球心的位置（球心到4个顶点距离相等）.2、B【解析】

由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.【详解】故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.3、A【解析】

直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由可得到.故选A【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.4、D【解析】由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：

由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；

②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；

④易证，故，正确；故选D．5、C【解析】

由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.【详解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.6、A【解析】

可借助直线方程和平面直角坐标系，代换出之间的关系，再结合向量的数量积公式进行求解即可【详解】如图所示：设直线方程为：，，，由得，可设，则，，，，当时，，故故选A【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量法在几何中的应用，属于中档题7、C【解析】∵与终边相同的角的集合为∴令，得∴与角终边相同的角是故选C8、C【解析】

由及等比数列的通项公式列出关于q的方程即可得求解.【详解】，即有，解得或，又为正项等比数列，故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和，属于基础题.9、C【解析】

设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，扇形的面积为，由基本不等式得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.10、C【解析】

在中，由题意OA＝4，∠DAO＝，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【详解】如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝6，在中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得：矢＝6﹣3＝3，由AD＝AO＝6×＝3，可得：弦＝2AD＝2×3＝6，所以：弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．故选：C【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查数学阅读能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、21.2【解析】

计算出，，可知回归方程经过样本中心点，从而求得，代入可得答案.【详解】由表中数据知，，，线性回归直线必过点，所以将，代入回归直线方程中，得，所以当时，.【点睛】本题主要考查回归方程的相关计算，难度很小.12、【解析】

记,则,则可求出,设,,得,,故结合余弦定理可得,解得的值,即可求,进而求的值.【详解】根据题意,不妨设,,则,因,所以,设,由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题.13、【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．14、【解析】

根据，可得平面，进而可得，再由，证明平面，即可得出，是的直角顶点.【详解】在三棱锥中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角顶点为.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，属于基础题.15、【解析】

本题可以先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围．【详解】，因为该数列是递减数列，所以即因为所以实数的取值范围是．【点睛】本题考察的是递减数列的性质，递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值．16、【解析】试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列举出从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件，再列举其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件，最后计算即可．（2）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为5a．依题意计算该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率．【详解】解：（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个．其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为，则所求的概率为．（2）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为5a．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：．故此方案符合国家“保基本”政策．【点睛】本题考查了古典概型在实际生活中的应用，要紧扣题意从题目中抽象出数学计算的模型．18、（1）,；（2）.【解析】

（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式得：，并求出最小正周期为；（2）由，得到，从而，再根据的最小值为，求得.【详解】（1），所以.（2）当时，则，所以，所以，解得：.【点睛】本题考查向量与三角函数的交会，求函数的最值时，要注意整体思想的运用，即先求出，再得到.19、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用根与系数的关系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化简函数的解析式，利用基本不等式可以求出函数的最小值.【详解】解：（1）由题意知：，解得．（2）由（1）知，∴，而时，当且仅当，即时取等号而，∴的最小值为1．【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.20、（1）（2）第1000项【解析】

（1）由题意有，解方程组即得数列的通项公式；（2）假设3998是数列中的项，有，得，即可判断得解.【详解】解：（1）设数列的公差为，由题意有，解得，则数列的通项公式为.（2）假设3998是数列中的项，有，得，故3998是数列中的第1000项.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，考查某一项是否是等差数列中的项的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21、（1）；（2）【解析】

（1）由题目条件a=1，可以将（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1换成a，达到齐次化的