2025届河北省石家庄市精英中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2025届河北省石家庄市精英中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则的垂直平分线所在直线方程为（）A． B．C． D．2．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30 B．25 C．20 D．153．数列中，对于任意，恒有，若，则等于()A． B． C． D．4．已知满足，则（）A．1 B．3 C．5 D．75．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生，这里运用的抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样 D．分层抽样6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-37．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人B．4月份人均用电量不低于20度的有500人C．4月份人均用电量为25度D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为18．某小组共有5名学生，其中男生3名，女生2名，现选举2名代表，则恰有1名女生当选的概率为（）A． B． C． D．9．已知中，，，，那么角等于（）A． B． C．或 D．10．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（）681012632A．变量，之间呈现负相关关系B．的值等于5C．变量，之间的相关系数D．由表格数据知，该回归直线必过点二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.12．在等差数列中，，当最大时，的值是________.13．将二进制数110转化为十进制数的结果是_____________.14．数列中，若，，则______；15．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为______.16．在中，已知，，，则角__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（且）是R上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）若关于x的方程在区间内只有一个解，求m的取值集合；（3）设，记，是否存在正整数n，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由.18．求函数的单调递增区间.19．已知数列的前项和为，且满足，（）．（Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）．20．在中，已知，，且，求.21．己知向量，，设函数，且的图象过点和点.（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果.【详解】因为，所以其中点坐标是，又，所以的垂直平分线所在直线方程为，即，故选A.【点睛】该题考查的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.2、C【解析】

抽取比例为,，抽取数量为20,故选C.3、D【解析】因为,所以

,

.选D.4、B【解析】

已知两个边和一个角，由余弦定理，可得。【详解】由题得，，，代入，化简得，解得（舍）或.故选：B【点睛】本题考查用余弦定理求三角形的边，是基础题。5、C【解析】抽名学生分了组（每排为一组），每组抽一个，符合系统抽样的定义故选6、D【解析】

因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是,因此平均数之间的差是.故答案为D7、C【解析】

根据频率分布直方图逐一计算分析.【详解】A：用电量最多的一组有：0.04×10×1000=400人，故正确；B：不低于20度的有：(0.01+0.05)×10×1000=500人，故正确；C：人均用电量：(5×0.01+15×0.04+25×0.03+35×0.01+45×0.01)×10=22，故错误；D：用电量在[30,40)的有：0.01×10×1000=100人，所以P=100故选C.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值×频率8、B【解析】

记三名男生为，两名女生为，分别列举出基本事件，得出基本事件总数和恰有1名女生当选包含的基本事件个数，即可得解.【详解】记三名男生为，两名女生为，任选2名所有可能情况为，共10种，恰有一名女生的情况为，共6种，所以恰有1名女生当选的概率为.故选：B【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确计算出基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数.9、B【解析】

先由正弦定理求出，进而得出角，再根据大角对大边，大边对大角确定角．【详解】由正弦定理得：，，∴或，∵，∴，∴，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．10、C【解析】分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.详解：由题意，根据上表可知，即数据的样本中心为，把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，则，即数据的样本中心为，由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C.点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、70【解析】设高一、高二抽取的人数分别为，则，解得.【考点】分层抽样.12、6或7【解析】

利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值.【详解】设等差数列的公差为，，，所以，因为，，所以当或时，有最大值，因此当的值是6或7.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.13、6【解析】

将二进制数从右开始,第一位数字乘以2的0次幂,第二位数字乘以2的1次幂,以此类推,进行计算即可.【详解】,故答案为:6.【点睛】本题考查进位制,解题关键是了解不同进制数之间的换算法则,属于基础题.14、【解析】

先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，，……，，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.15、2【解析】

利用点到直线的距离公式即可得到答案。【详解】由点到直线的距离公式可知点到直线的距离故答案为2【点睛】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。16、【解析】

先由正弦定理得到角A的大小，再由三角形内角和为得到结果.【详解】根据三角形正弦定理得到：，故得到或，因为故得到故答案为.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）m的取值集合或}（3）存在，【解析】

（1）利用奇函数的性质得到关于实数k的方程，解方程即可，注意验证所得的结果；（2）结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f的符号即可；（3）可得，即可得：即可.【详解】（1）由奇函数的性质可得：，解方程可得：.此时，满足，即为奇函数.的解析式为：；（2）函数的解析式为：，结合指数函数的性质可得：在区间内只有一个解.即：在区间内只有一个解.（i）当时，，符合题意.（ii）当时,只需且时，，此时，符合题意综上，m的取值集合或}（3）函数为奇函数关于对称又当且仅当时等号成立所以存在正整数n，使不得式对一切均成立.【点睛】本题考查了复合型指数函数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于难题.18、（）【解析】

先化简函数得到,再利用复合函数单调性原则结合整体法求单调区间即可.【详解】,令,则,因为是的一次函数,且在定义域上单调递增,所以要求的单调递增区间,即求的单调递减区间,即(),∴(),即(),∴函数的单调递增区间为().【点睛】本题考查求复合型三角函数的单调区间,答题时注意,复合函数的单调性遵循“同增异减”法则.19、（Ⅰ），，（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）根据和项与通项关系得，利用等比数列定义求得结果（Ⅱ）利用放缩法以及等比数列求和公式证得结果【详解】（Ⅰ），由得，两式相减得故，又所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，因此，即.（Ⅱ）当时，，所以.当时，故又当时，，.因此对一切成立.【点睛】本题主要考查了利用和的关系以及构造法求数列的通项公式，同时考查利用放缩法证明数列不等式，解题难点是如何放缩，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力。20、或【解析】

首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出．【详解】由得，，所以或，由余弦定理有，，故或，即或．【点睛】本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形．21、（1）最大值为2，此时；最小值为－1，此时.（2）【解析】

（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当时，解出的范围，根据三角