山东省德州市平原中英文实验高级中学2025届高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析

山东省德州市平原中英文实验高级中学2025届高一数学第二学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A．12π B．18π C．36π D．6π2．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（）A． B． C． D．3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（）立方单位．A． B．C． D．4．三棱锥中，平面且是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A． B． C． D．5．已知，且为第二象限角，则（）A． B． C． D．6．等差数列的前项和为，若，且，则（）A．10 B．7 C．12 D．37．在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为（）A． B． C． D．8．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．99．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．一元二次不等式的解集为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数是定义域为的偶函数．当时，，关于的方程，有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____．12．给出以下四个结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若，是两个平面；，是异面直线；且，，，，则；④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心；其中错误结论的序号为__________．（要求填上所有错误结论的序号）13．已知点和点，点在轴上，若的值最小，则点的坐标为______.14．已知变量，满足，则的最小值为________.15．当函数取得最大值时，=__________．16．的值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边，.18．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.19．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．(1)证明：；(2)若，，，试画出二面角的平面角，并求它的余弦值．20．已知函数（1）求的值；（2）求的最大值和最小值.21．已知点，求的边上的中线所在的直线方程．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.【详解】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是：，所以该球的表面积是，故选A.【点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.2、A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．3、D【解析】由三视图可知几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以所求的体积为，故选D.4、C【解析】根据已知中底面是边长为的正三角形，，平面，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球

∵是边长为的正三角形，∴的外接圆半径球心到的外接圆圆心的距离故球的半径故三棱锥外接球的表面积故选C．5、D【解析】

首先根据题意得到，，再计算即可.【详解】因为，且为第二象限角，，..故选：D【点睛】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.6、C【解析】

由等差数列的前项和公式解得，由，得，由此能求出的值。【详解】解：差数列的前n项和为，，，解得，解得，故选：C。【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、C【解析】

由关于x的方程有实数根，求得，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案.【详解】由题意，关于x的方程有实数根，则满足，解得，所以在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8、D【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件的可行域，如图，画出可行域，，，，平移直线，由图可知，直线经过时目标函数有最大值，的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9、B【解析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥（高为圆柱的一半），下面是半个圆柱，其中圆锥底面半径是，高是，圆柱的底面半径是，母线长是，所以该几何体的体积，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10、C【解析】

根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．【详解】由题意，不等式，即或，解得，即不等式的解集为，故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

令，则原方程为，根据原方程有且仅有5个不同实数根，则有5个不同的解，结合图像特征，求出的值或范围，即为方程解的值或范围，转化为范围，即可求解.【详解】令，则原方程为，当时，，且为偶函数，做出图像，如下图所示：当时，有一个解；当或，有两个解；当时，有四个解；当或时，无解.，有且仅有5个不同实数根，关于的方程有一个解为，，另一个解为，在区间上，所以，实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题.12、②【解析】

③①可由课本推论知正确；②可举反例；④可进行证明.【详解】命题①平行于同一直线的两条直线互相平行,由课本推论知是正确的；②垂直于同一平面的两个平面互相平行，是错误的，例如正方体的上底面，前面和右侧面,是互相垂直的关系；③根据课本推论知结论正确；④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心这一结论是正确的；作出B在底面的射影O,连结AO,DO,则，同理，，进而得到O为三角形的垂心.

故答案为②【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，一般这类题目可以通过课本的性质或者结论进行判断；也可以通过举反例来解决这个问题.13、【解析】

作出图形，作点关于轴的对称点，由对称性可知，结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值，并求出直线的方程，与轴方程联立，即可求出点的坐标.【详解】如下图所示，作点关于轴的对称点，由对称性可知，则，当且仅当、、三点共线时，的值最小，直线的斜率为，直线的方程为，即，联立，解得，因此，点的坐标为.故答案为：.【点睛】本题考查利用折线段长的最小值求点的坐标，涉及两点关于直线对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14、0【解析】

画出可行域，分析目标函数得，当在y轴上截距最小时，即可求出的最小值.【详解】作出可行域如图：联立得化目标函数为，由图可知，当直线过点时，在y轴上的截距最小,有最小值为，故填.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.15、【解析】

利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.【详解】因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，∴故答案为【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.16、【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，由于，所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值．【详解】（1）由及正弦定理得，整理得，，，因为，且，所以，，又，所以，.（2）因为的面积，所以，①由余弦定理得，，所以，②联立①②解得，.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．18、（I）6人，9人，10人；（II）（i）见解析；（ii）.【解析】

（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为,,,,共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，所以，事件M发生的概率.【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.19、(1)见证明；(2)二面角图见解析；【解析】

（1）由菱形的性质得出，由平面，得出，再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得出；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，可证出平面，于是找出二面角的平面角为，并计算出的三边边长，利用锐角三角函数计算出，即为所求答案．【详解】（1）连接，因为侧面为菱形，所以，且与相交于点．因为平面，平面，所以．又，所以平面因为平面，所以．（2）作，垂足为，连结，因为，，，所以平面，又平面，所以.所以是二面角的平面角.因为，所以为等边三角形，又，所以，所以.因为，所以.所以.在中，.【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，二面角的求解，在这些问题的处理中，主要找出一些垂