六年级奥数第27讲-同余法解题（学）

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：六年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：

授课主题第27讲一一同余法解题

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，

教学目标

和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

授课日期及时段

T(Textbook-Based)El少1果早

知识梳理

一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数(b#0)，若有a+b=q……r,也就是a=bXq+r,

0<r<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当尸=0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当rwO时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a三b(modm),

左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a三b(modm),那么一定有a—b=mk,k是整数，即m1(a-b)

三、中国剩余定理

1.中国古代趣题

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1

人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则

兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小

公倍数为这些数的积)，然后再加3,得9948(人)。

2.核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中

的问题为例，分析此方法：

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3,5,7后，得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构

造一个数字，使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。

先由5x7=35,即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2,不符合要求，那么就继续看5和7的

，，下一个"倍数35*2=70是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

2x70+3x21+2x45土和3,5,7]=233-和3,5,7],其中k是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的

数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算2x70+3x21+2x45-2x[3,5,7]=23得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”，

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128。

典例分析a

一、带余除法的定义和性质

例1、两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是.

例2、用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个

自然数各是多少？

例3、一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.

二、三大余数定理的应用

例1、一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与

余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

例2、被13除所得的余数是多少？

例3、777…77除以41的余数是多少？

1996个7

例4、求所有的质数P,使得4犷+1与6P2+］也是质数.

例5、甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数

所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？

三、余数综合应用

例1、设2〃+1是质数，证明：f，2?,…，〃2被2〃+1除所得的余数各不相同.

例2、从1,2,3,n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为多少？

例3、已知n是正整数，规定〃!=lx2xxn,令相=l!xl+2!x2+3!x3++2007!x2007,则整数m除以2008

的余数为多少？

例4、有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个

数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和。

例5、设2009?项的各位数字之和为A,A的各位数字之和为8,8的各位数字之和为C,C的各位数字之和

为。，那么。=?

四、中国剩余定理

例1、一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数.

例2、一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？

例3、一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数为多少？

例4、在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被

13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？

例5、一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数.

P(Practice-0riented)一——实战演练

实战演练

课堂狙击

1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.

2、求3皿7的最后两位数.

3、试求不大于100,且使3"+7"+4能被11整除的所有自然数n的和.

4、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位1234567891011121320072008,

试求这个多位数除以9的余数.

5、Ix3x5xX1991的末三位数是多少？

6、有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

＞课后反击

1、一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

2、求143给除以7的余数.

3、若。为自然数，证明则侬加一。^).

4、将自然数1,2,3,4……依次写下去，若最终写到2000,成为12319992000,那么这个自然数除以99

余几？

5、一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？

6、对任意的自然数n,证明A=2903"—803"-464"+261"能被1897整除.

直击赛场…

1、（南京市少年数学智力冬令营试题）22期与20032的和除以7的余数是

2、（全国小学数学奥林匹克试题）六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3

张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡

片上的数是.（第五届小数报数学竞赛初赛）

3、（奥数网杯）已知a=200820082008,问：a除以13所得的余数是多少？

2008个2008

4、（“华杯赛"试题）3个三位数乘积的算式abcxbcaxcab=234235286（其中a>Z?>c）,在校对时，发现

右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的嬴是多少？

5、（华杯赛试题）如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针

方向，每隔儿孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔.他又

试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有

多少个孔吗？

S(Summary-Embedded)归纳总结

重点回顾

一、带余除法的定义及性质

二、三大余数定理:

1.余数的加法定理

2.余数的乘法定理

3.同余定理

四、中国剩余定理

1.中国古代趣题

2.核心思想和方法

名师点拨3

弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一

个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是

这样进行的：

例如：检验算式1234+1898+18922+678967+178902=889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。