高考数学总复习课时跟踪练（四十三）空间点直线平面之间的位置关系文（含解析）新人教A版

课时跟踪练(四十三)A组基础巩固1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：D2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．答案：D4.(2019·邯郸调研)如图，在三棱锥-SABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能解析：连接SG1并延长交AB与M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN(图略)．由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝eq\f(2,3)SN，所以在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，所以G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因此可得G1G2∥BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行．故选B.答案：B5．(2019·南永州模拟)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(2),4) C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2,3)解析：连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，因为M是AD的中点，所以MO∥AN，所以∠BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角，设三棱锥A-BCD的所有棱长为2，则AN＝BM＝DN＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，则MO＝eq\f(1,2)AN＝eq\f(\r(3),2)＝NO＝eq\f(1,2)DN，则BO＝eq\r(BN2＋NO2)＝eq\r(1＋\f(3,4))＝eq\f(\r(7),2)，在△BMO中，由余弦定理得cos∠BMO＝eq\f(BM2＋MO2－BO2,2·BM·MO)＝eq\f(3＋\f(3,4)－\f(7,4),2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3)，所以异面直线BM与AN所成角的余弦值为eq\f(2,3).故选D.答案：D6．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．答案：1或47.(2019·重庆模拟)如图，四边形AB-CD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______．解析：如图，将原图补成正方体ABCD-QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.答案：①③9．(2019·石家庄调研)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形．又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.故D1，H，O三点共线．10.(2019·佛山一中月考)如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P-ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P-ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则DE∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).B组素养提升11．(2019·临汾模拟)如图，在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是()A．B，C，A1 B．B1，C1，AC．A1，B1，C D．A1，B，C1解析：过点B作BD∥AC，则BD∥A1C1，连接A1B，C1D，CD，如图所示：则平面α可以为平面A1BDC1，则α∩平面ABC＝BD＝l，且l∥A1C1，所以这3个点可以是A1、C1、B.故选D.答案：D12.(2019·珠海模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．4解析：取A′D的中点N，连接PN，MN，因为M是A′C的中点，所以MN∥CD，且MN＝eq\f(1,2)CD，因为四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，所以PB∥CD，且PB＝eq\f(1,2)CD，所以MN∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，所以异面直线BM与PA′所成角的正切值为eq\f(1,2).故选A.答案：A13．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E-ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因为AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因为B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则VE-ABC＝eq\f(1,6)V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案：①②③14.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O-ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥OABCD的体积V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.又M为OA中点，所以ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可