四边形综合题-2019-2020学年北京各区及京城初二年级下册期末数学试卷分类汇编（解析版）

专题05四边形综合题(20道)2019-2020学年北京各区及京城名校初二下学期期末数学试卷

分类汇编

1.(2019-2020年东城初二下期末•第19题)如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的

平行四边形”的尺规作图过程.

已知：矩形ABCD.

求作：平行四边形4G”。，使NGA£>=30°.

作法：如图，

①分别以点A,8为圆心，以大于长为半径，在A8两侧作弧，分别交于点E,F；

2

②作直线EF-,

③以点A为圆心，以A3长为半径作弧，交直线于点G,连接4G；

④以点G为圆心，以AO长为半径作弧，交直线E夕于点”，连接

则四边形即为所求作的平行四边形.

根据小明设计的尺规作图过程，填空：

(1)NB4G的大小为；

(2)判定四边形是平行四边形的依据是一；

(3)用等式表示平行四边形AG”。的面积酬和矩形ABC。的面积$2的数量关系为一.

【答案】(1)60°(2)见解析(3)S,=2S2

【分析】(1)连接8G,由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到4G=BG,推出AABG是等边

三角形，于是得到结论；

(2)根据矩形的性质得到540=90。，推出得到四边形4G”。是平行四边形;

(3)设与A3交于根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：(1)连接8G,

由作图知，EE是线段AB的垂直平分线，

AG—BG,

AB=AG,

.-.AB=AG=BG,

.〔AABG是等边三角形，

ZBAG=60°；

故答案为：60°；

(2)•.•四边形ABCD是矩形，

ZBAD=90°,

;EF±AB,

GHUAD,

•：GH=AD,

：.四边形AG”£＞是平行四边形，

故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(3)设EF与AB交于M,

StAD-AB,S2^HG-AM=AD-AB=^AD-AB,

S[=2s2，

故答案为：S]=2S2.

2.（2019—2020年西城初二下期末•第21题）如图，在平行四边形ABCD中，点£在BC边上，AE平

分/BAD,点E在A0边上，EF//AB.

（1）求证：四边形A3EF是菱形；

（2）若A5=2,BC=3,点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时PC+P尸取得最小

值，最小值是多少.

【答案】（1）见解析；（2）3

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到推出四边形ABER是平行四边形，NFAE=ZBEA,

根据角平分线的定义得到求得48=3尸，于是得到四边形是菱形；

（2）根据菱形的性质得到点8与点厂关于AE对称，于是得到结论.

【详解】（1）♦.•在平行四边形ABC£＞中，AD//BC,

即AF//BE,

■：EF//AB,

四边形ABEE是平行四边形，ZFAE=ABEA,

•••AE平分NBA。,

ZBAE=ZEAF,

ZBAE=ZAEB,

AB=BE,

二四边形是菱形；

(2)♦.•四边形ARE/是菱形，

.•.点8与点尸关于AE对称，

当点尸在点E的位置时，PC+P/取得最小值，最小值=BC=3.

3.(2019—2020年朝阳初二下期末•第19题)如图，矩形ABC。中，A8=4,40=3,将矩形ABC。

沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CZ)于点

(1)写出折叠后的图形中的等腰三角形：—：

(2)求CF的长.

25

【答案】(1)MCF.(2)CF=—

,8

【分析】(1)依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到Af=C尸，进而得出AAC尸是等腰三角形;

(2)设CR=x,则AE=x,DF=4-x,依据勾股定理即可得到x的值.

【详解】(1)由折叠可得，ZBAC=ZEAC,

由A3〃CD可得，ZBAC^ZDCA,

NEAC=ZDCA,

AF=CF,

AACr是等腰三角形，

故答案为：AACF；

(2)设CF=x,则AE=x,DF=4—x,

•••ZD=90°,

二R/A4"中，AD2+DF2=AF2,

即32+(4—无f=_?,

25

解得x=上，

8

4.(2019—2020年昌平初二下期末•第23题)如图，将矩形纸片ABC。沿对角线4c折叠，点。落在

点F处，与相交于点E.

(1)求证：/\ABE=/SCFE-,

(2)若AB=4,AD=8,求AE的长.

【答案】（1）见解析；（2）AE=5

【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可.

（2）设=在R/HABE中，利用勾股定理构建方程即可解问题.

【详解】（1）证明：•.•矩形ABC。沿对角线AC折叠，点O落在等尸处,

..NF=ND=ZB=90°,CD=CF=AB,

•••ZAEB=4CEF,

MBEsACFE（/US））.

（2）设AE=x,

,//\ABE=^CFE,

EC-AE=x,

•.•四边形A8C£＞是矩形，

ZB=90°,3C=AO=8,3E=8-x,

在MAABE中，则有（8-x）2+42=/,

解得x=5,

AE—5.

5.（2019—2020年房山初二下期末•第26题）已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD//BC,

BC=2AD,ZBAC=90P,过点4作A£〃。。交6。于点E.

（1）求证：四边形AECO为菱形；

（2）若AB=AE=2,求四边形的面积.

【答案】（1）见解析（2）26

【分析】

（1）先证明四边形4ECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE=EC,进而由菱形的判定定理

得结论；

（2）连接。E,证明AABE是等边三角形，进而求得AC,再证明四边形A6EO是平行四边形，便可求

得DE,最后根据菱形的面积公式得结果.

【详解】解：（1）vAD//BC,AE//DC,

：.四边形AECD为平行四边形，

/.AD=EC,

・・•BC=2AD,

BC-2EC.

：.E为BC的中点

ABAC=90°,

BC=2AE

AE-EC.

v四边形AECD为平行四边形,

四边形AECO为菱形；

(2)解：连接DE,

AB=AE=2,AE=BE,

AB=AE=BE=2,

AABE是等边三角形.

/.ZB=60°.

•••AD=BE,AD//BC,

四边形A5EO为平行四边形.

DE—AB—2,

•••ZB=60°,ZBAC=90°,AB=2,

BC=4.

・•.AC=>JBC2-AB2=A/42^22=2A/3.

•，SAFCD=—'DExAC—2V3.

6.(2019—2020年门头沟初二下期末•第23题)如图，在矩形ABC。中，点E是BC上一点，DF=DC,

DFLAE于F.

(1)求证：AE=BC；

(2)如果AB=3,AF=4,求EC的长.

【答案】（1）见解析；（2）1

【分析】

（1）根据矩形的性质可得AO=BC,再通过证明三△OE4（A4S）,可得AE=AO,即可得证

AE=BC.

（2）根据可得BE=AF=4,AE^BC,再根据勾股定理求出BC的长度，最后根据

£C=6C-6E求解即可.

【详解】（1）证明：•.•四边形ABC。是矩形，

NB=90°,AB=DC,AD=BC,ADUBC,

ZAEB=ZDAF,

•••DFLAE,

ZAFD=90°=NB,

DF=DC,

AB=DF,

NAEB=ZDAF

在△ABE和中，ZB=ZAFD,

AB=DF

^ABE=ADFA（AAS）,

AE=AD,

AE-BC；

（2）解：由（1）得：^ABE^ADFA,

：.BE=AF=4,AE=BC,

•••ZB=90°,

AE=飞AB?+BE?=抬+4?=5,

BC=5,

EC=BC-BE=5-4=1.

7.（2019—2020年密云初二下期末•第23题）己知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分

线EF分别与AC、BC、AD交于点。、E、F,连接AE和

（1）求证：四边形为菱形：

⑵若AB=6，BC=3,求菱形AECR的边长.

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】

（1）根据线段垂直平分线的性质可得Ab=b,AE=CE,根据矩形和平行线的性质可得

ZFAO^ZECO,进而可根据ASA推出AAOFnACOE,可得AF=CE,进一步即得

AE=EC=CF=AF,从而可得结论；

（2）设AE=CE=x,则5£=3—x,R公ABE中根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.

【详解】（1）证明：•••AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AO交于点0、E、F,

AF=CF,AE=CE,OA=OC,

•.•四边形ABC。是矩形，

AD//BC,

ZFAO=ZECO,

在A4O尸和ACOE中，

NFAO=ZECO,OA=OC,ZAOF=ZCOE,

MOF=/^COE（ASA）,

AF=CE,

AE=EC=CF=AF,

二四边形AECF为菱形;

BEC

(2)解：设A£=CE=x,则B£=3-x,

•.•四边形ABCD是矩形，

/.ZB=90°,

在R〃\A6E中，由勾股定理得：AB2+BE2^AE2,

即㈣?+(3-x)2=,，

解得：x=2,即AE=2,

菱形的边长是2.

8.(2019—2020年通州初二下期末•第21题)如图，在平行四边形ABC。中，AEL3c于点E点，延

长BC至F点使CF=BE,连接A/7,DE,DF.

(1)求证：四边形AEED是矩形;

(2)若AB=6,DE=8,BF=W,求AE的长.

【答案】(1)见解析；(2)—

5

【分析】（1）先证明四边形AEFO是平行四边形，再证明NAEF=90P即可.

（2）证明4LB/是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长.

【详解】（1）证明：•••CF=BE,

CF+EC=BE+EC.

即

•.•在平行四边形ABC。中，4。〃8。且4。=3。，

AD〃EFS.AD=EF.

：.四边形AEFO是平行四边形.

AE1BC,

ZAEF=90°.

二四边形AEFOAEFD是矩形；

（2）•.•四边形AEED是矩形，DE=3,

：.AF=DE=S.

AB=6,BF=10,

：.AB2+AF2=6?+8?=100=BF2.

ZBAF^90°.

AE±BF,

AABF的面积=

22

ABAF6x824

AE=----------=------=―

BF105

9.（2019—2020年延庆初二下期末•第24题）在矩形ABC。中，点E,点尸分别为边BC,D4延长

线上的点，且C£=AR,连接AE,DE,BF.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若4f=1,AB=2,AD=45,求证：AE平分NDEB.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】

（1）借助矩形的性质证明一个四边形是平行四边形，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）使用矩形的性质，可以知道是直角三角形，使用勾股定理可以计算出FB的长度，又因为四边

形厂是平行四边形，可以得到AO=Z）E,从而有N1=N2,可以证明出E4平分NDE3.

【详解】（1）证明：

•.•矩形A8CD

ADUBC,AD=BC

•：CE=AF/.DF=BE,DF〃BE

四边形BEOE为平行四边形

(2)证明：•.•矩形ABC。

ZFAB^ZDAB=90°

■：AF=l,AB=2,由勾股定理,

BF=亚

•••四边形尸为平行四边形

AD=DE=45

ZDAE=ZDEA

•••四边形3£。尸为平行四边形

/.DF//BE

ZDAE=ZAEB

ZDEA=ZAEB

EA平分4DEB

10.（2019—2020年首师大附中初二下期末•第23题）如图，在平行四边形A3CD中，445。=90°,

延长至点E,使连接CE.

（1）求证：四边形8ECD是矩形；

（2）连接。E交8C于点/，连接AE,若CE=2,ZDAB=30P,求AF的长.

【答案】（1）见解析；⑵AF=2后

【分析】（1）直接根据矩形的判定定理，结合题中所给条件，先证明平行四边形，然后再证明一个直角;

（2）直接根据勾股定理结合已知角度和线段关系求解即可

【详解】（1）证明：•.•四边形A8CD是平行四边形，

:.CD=AB,CDIIAB,

■：BE=AB,

BE-CD,

四边形8£CD是平行四边形，

ZABD^90°,

ZDBE=90P.

.•.平行四边形BEC。是矩形；

(2)解：如图，取3E中点G,连接FG.

由(1)可知，FB=FC=FE,

FG=-CF=\,FGLBE,

2

•••在平行四边形ABC。中，AD//BC,

ZCBE=ZDAB=30°.

BG=6

：.AB=BE=26.

AG=3yf3,

.•.在R/AAG/中，由勾股定理可求AP=2J7

11.(2019—2020年北大附中初二下期末•第20题)已知：如图，在平行四边形A8CD中，点£是BC

的中点，连接4E并延长交。C的延长线于点尸，连接

(1)求证：MBE^AFCE；

（2）若AE=AO,求证：四边形是矩形.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据平行四边形性质得出A3〃Z）C,推出N1=N2,根据AAS证两三角形全等即可；

（2）根据全等得出A6=C/，根据A6〃b得出平行四边形A6尸。，推出6C=A/，根据矩形的判定

推出即可.

【详解】（1）如图.

•••四边形ABCD是平行四边形，

/.AB//DC即AB//DF,

Nl=N2,

•.•点E是BC的中点，

BE=CE.

在MBE和△尸CE中，

Z=N2

<N3=N4

BE=CE

9

\ABE=AFC£(A4S).

(2)v"CE,

AB=FC,

ABHFC,

：.四边形A3EC是平行四边形,

AD=BC,

AF=AD,

AF=BC,

：.四边形AB/。是矩形.

12.(2019-2020年北京二中初二下期末•第21题)如图，平行四边形ABC。中，E,b分别是边BC,

4。的中点，90°.

(1)求证：四边形AECR是菱形；

(2)若8c=4,NB=60。，求四边形AEb的面积.

【答案】(1)见解析；(2)2^/3

【分析】

(1)根据菱形的性质得到BC=AD,8C〃AO,由£,F分别是边BC,AD的中点，得到EC=」,

2

AF=-AD,于是得到结论；

2

(2)如图，连接EF交4c于点。解直角三角形得到AB=2,AC=26根据菱形的性质得到ACLEF,

OA=OC,OE=OE,根据菱形的性质得到OE=，AB=1,于是得到结论.

2

【详解】(1)•.•在平行四边形ABCD中，

BC=AD,BC//AD,

又•••E,/分别是边BE,AO的中点，

EC=^BC,AF=^AD,

EC=AF,

：.四边形AEC户为平行四边形.

在R/AABC中，/BAC=90°,E是BC边中点，

/.AE=EC,

四边形AECF是菱形；

(2)如图，连接£尸交4c于点。，

BEC

在RM3C中，ZBAC=90°,ZB=60°,BC=4,

AS=2,AC=26

•.•四边形AECF是菱形，

/.AC±EF,OA=OC,OE=OF,

：.OE是AABC的中位线,

OE^-AB^l,

2

EF=2,

SSJKAFCF='AC•EF=—x2-\/3x2=2-\/3.

变形ACC/"22、

13.（2010-2020年交大附中初二下期末•第21题）如图，四边形A8CD中，

A3=DC,AZ）=8C,AD_LC。，点E在对角线C4的延长线上，连接6。，BE.

（1）求证：AC=BD-,

（2）若BC=2,BE=6,ZABE=30°,求EC的长.

【答案】（1）详见解析；（2）2屈

【分析】

（1）根据矩形的定义先判定四边形ABC。是矩形，再根据矩形的性质即得结论；

（2）过E作E£_L8C,交C8的延长线于尸，如图，易得AB//EF,则NABE=30。，然后

根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和进而可得FC,再在R/AEEC中根据勾股

定理求解即可.

【详解】（1）证明：•.•A8=CD,AD=8C,

四边形ABCD是平行四边形，

•/AD±CD,

ZADC=9Q°,

二四边形ABC。是矩形,

AC=BD；

(2)解：过E作交CB的延长线于尸，如图，则NF=90°,

•.•四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

/.NF=ZABC,

ABHEF,

ZABE=NFEB=30°,

vBE=6,

BF=-BE=3,

2

由勾股定理得：EF=M-y=3屈,

•••BC=2,

"=2+3=5,

在RMFC中,由勾股定理得：EC=ylEF2+FC2=7(3A/3)2+52=2同.

14.(2019-2020年北师大三附中初二下期末•第20题)如图，平行四边形488中，以A为圆心，DA

的长为半径画弧，交BA于点F,作“A3的角平分线，交CD于点、E,连接EE.

(1)求证：四边形AFE。是菱形;

(2)若A£>=4,NZM8=60°,求四边形AEEO的面积.

【答案】（1）证明见详解；（2）

【分析】

（1）由题意可得，AE为N0AB的角平分线，可得NZME=NEAE,根据平行四边形ABC。，AB//CD,

得到等量代换得到〃4E=NOEA,所以得到AO=OE,因为AO=AE,得到

DE=AF,又因为DE〃AF,所以可证四边形AFEO为平行四边形，因为AO=DE,所以可证明四边

形是菱形；

（2）连接。E交AE于点。，因为NZM8=60°,所以ADAb为等边三角形，因为AO=4,可得。尸=4,

DO=2,AO=2M,AE=4日根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入数据即

可求出结果.

【详解】解：（1）证明：：AE为NZM3的角平分线

ZDAE=ZEAF

vABIICD

ZDEA=ZEAF

ZDAE=ZDEA

AD=DE

•••AD=AF

DE=AF

：DE//AF

四边形A庄Z>为平行四边形

•••AD=DE

二.四边形AEEO是菱形.

(2)连接。/交AE于点。，如图所示:

•.•4X43=60°,DA=AF

AZM77位等边三角形

••・A£>=4

DF=4,DO=2

AO=2A/3,AE=473

'''S四边形AFEO=—X4X4V3=85/3.

15.(2019—2020年十一学校初二下期末•第27题)如图，在矩形ABC。中，点E在BC边上,且

DE=AD,过点A作4尸〃。£交CB的延长线于点

(1)求证：四边形AEEO是菱形；

(2)若AB=1,CF=2.

①求AD的长；

②AE、FD交于点0,连接OC,求OC的长.

【答案】（1）见解析；（2）①AO=°②CO=，DF=@

422

【分析】（1）由矩形的性质可得AEV/6C,ZC=90°,由菱形的判定可证四边形AFED是菱形;

（2）①由菱形的性质可得AO=DE=EE,利用勾股定理可求AO的长；

②由勾股定理可求的长，由菱形的性质可得。0=/0,由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：（1）•.•四边形ABC。是矩形，

AD//BC,NC=90。，AB=CD,

又•••AF//DE,

：.四边形APED是平行四边形，

又•••AD=DE,

.•・四边形APE。是菱形；

（2）①•.•四边形AEEZ）是菱形；

/.AD=DE=EF,

DE2=CD2+CE2,

DE2=1+（2-OE厂，

②如图,

ZDCF=90°,AB=CD=1,CF=2,

______________2

DF=VCD2+CF'=Vl+4=V5,

•.•四边形AEEO是菱形，

DO=FO,

又ZZ)CF=90°,

1J5

CO=-DF

22

16.（2019-2020年北京市海淀教师进修学校附属实验学校初二下期末•第23题）如图，在平行四边形

488中，NAC6=90°,过点。作。£_LBC交6c的延长线于点E.

（1）求证：四边形4CEO是矩形：

（2）连接AE交于点尸，连接5尸.若NA8C=60°,CE=2,求8歹的长.

【答案】（1）见解析；（2）273

【分析】（1）根据四边形A8CD是平行四边形，可得AD〃BC.所以NC4O=NACB=90°.又

NACE=90°,即可证明四边形ACEO是矩形；

(2)根据四边形ACEO是矩形，和四边形A8CD是平行四边形，可以证明AABE是等边三角形.再根据

特殊角三角函数即可求出的长.

【详解】(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

AD//BC.

ZCAD=ZACB^90°.

又ZACE=90°,DELBC,

，四边形ACED是矩形.

(2)解：•.•四边形ACEO是矩形，

:.AD=CE=2,AF=EF,AE=CD.

•：四边形ABCD是平行四边形，

BC=AD=2,AB=CD.

AB=AE.

又；ZABC=60°,

：.AA3E是等边三角形.

/.NBFE=90°,NFBE=-ZABE=30°.

在RfAB/E中，BF=BExcosZFBE=4x—=273.

2

17.（20019-2020年北京市海淀外国语实验学校初二下期末•第22题）如图，平行四边形A8CD中，

AB=3cm,8c=5c7n,N8=60°,G是CD的中点，E是边AO上的动点，EG的延长线与BC的延长

线交于点尸，连结CE,DF.

（1）求证：四边形CE。歹是平行四边形；

（2）①当AE=时，四边形CEO尸是矩形；

②当AE=时，四边形CEO歹是菱形.

（直接写出答案，不需要说明理由）

【答案】（1）见解析；（2）3.52

【分析】（1）证ACPG宣AEDG,推出歹G=EG,根据平行四边形的判定推出即可；

（2）①求出AMBA&AEOC,推出NCE£>=NAMB=90。，根据矩形的判定推出即可;

②求出ACDE是等边三角形，推出C£=DE,根据菱形的判定推出即可.

【详解】（1）证明：•.•四边形A8CD是平行四边形，

/.CF//ED,

NFCG=/EDG,

•••G是CD的中点,

CG=DG,

NFCG=NEDG

在△尸CG和AEOG中，\CG=DG,

ZCGF=NDGE

\FCG=A£DG(ASA)

FG=EG,

CG=DG,

四边形CEO尸是平行四边形；

(2)①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDE是矩形,

理由是：过A作A"_L8C于M,

•.•"=60°,AB=3,

6"=1.5,

•••四边形A3CD是平行四边形，

/.ZCDA=ZB=60°,DC=AB=3,BC=AD=5,

,/AE=3.5,

DE=l.5=BM,

BM=DE

在AMBA和AEDC中，JZB=ZCDA,

AB=CD

\MBA=\EDC(SAS\

ZCED=ZAMB=90°,

•••四边形CEDF是平行四边形,

二四边形CEDF是矩形,

故答案为：3.5；

②当AE=2时，四边形CEOF是菱形,

理由是：vAD=5,AE=3,

DE=3>

8=3,NC0£=60。，

/.ACDE是等边三角形，

CE=DE,

•••四边形CEO尸是平行四边形，

二四边形CEDE是菱形，

故答案为：2.

18.（2019—2020年理工附中初二下期末•第24题）如图，在矩形ABCD中，点。为对角线AC的中点,

过点。作EF_LAC交于点E,交AD于点尸，连接4E,CF.

AD

(1)求证：四边形AEC尸是菱形；

(2)连接OB,若AB=8,AF=10,求OB的长.

【答案】(1)见解析(2)475

【分析】

(1)由矩形的性质可得NACB=NZMC,然后利用“AS4”证明AAOE和ACOE全等，根据全等三角

形对应边相等可得OE=OF，即可证四边形是菱形；

(2)连接3。，BO^-BD,根据平行四边形的性质可得AF=b=10,用勾股定理求得尸0=6,在

2

A5OC中，NDCB=90。,用勾股定理求出8。的值，即可解答.

【详解】(D・.•四边形ABCD是矩形，

AD//BC,

ZACB=ZDAC,

•••。是AC的中点，

AO=CO,

ZACB=ADAC

在A4O尸和NCOE中，＜AO=CO

NAOF=NCOE,

M.OF三ACOE(ASA),

OE=OF,且AO=CO,

四边形AEC户是平行四边形,

又EFLAC,

:•四边形AECF是菱形；

(2)连接8。，BO^-BD

2

四边形AEC£是平行四边形

•••AF=CF=IO

•••ZCDF=90°

:.CF2=DC2+DF2

CF=10,CO=A£>=8

•••FD=6