2023届安徽省皖北协作区高三数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（）A． B． C． D．2．函数的图象可能是（）A． B． C． D．3．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（）A．或 B． C． D．4．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（）A． B． C． D．5．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．636．已知的垂心为，且是的中点，则（）A．14 B．12 C．10 D．87．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（）A． B． C． D．8．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①直线与直线的斜率乘积为；②轴；③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③9．若直线与曲线相切，则（）A．3 B． C．2 D．10．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（）A． B． C． D．11．已知函数满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．12．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A． B． C．10 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足，则的最大值为________.14．函数的定义域为____.15．在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.16．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．18．（12分）数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？20．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.（1）求椭圆的标准方程.（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.21．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.22．（10分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体（1）求证：（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解【详解】根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.故选：D【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养2、A【解析】

先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项；当时，，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3、C【解析】

设公差为，则由题意可得，解得，可得.令

，可得

当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.【详解】解：等差数列中，已知，且，设公差为，

则，解得

，.

令

，可得，故当时，，当时，，

故数列前项和中最小的是.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.4、A【解析】

根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线（），所以，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5、D【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6、A【解析】

由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.【详解】因为为的垂心，所以，所以，而，所以，因为是的中点，所以．故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7、A【解析】

由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论.【详解】对于任意，函数满足，因为函数关于点对称，当时，是单调增函数，所以在定义域上是单调增函数.因为，所以，.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..8、B【解析】

由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所．则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，，根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以直线轴．所以②正确．如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以③不正确．故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．9、A【解析】

设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10、C【解析】

作，；，由题意，由二倍角公式即得解.【详解】由题意，，准线：，作，；，设，故，，.故选：C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11、B【解析】

构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.12、D【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型：，故.故选：.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.【详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点，目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.14、【解析】由题意得，解得定义域为．15、【解析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．【详解】解：双曲线：双曲线中，，，则双曲线的一条准线方程为，双曲线的渐近线方程为：，可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，，，，则三角形的面积为．故答案为：【点睛】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．16、1【解析】

建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．【详解】解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，设，则，，，，，，，显然当取得最大值4时，取得最小值1．故答案为：1．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】

（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.【详解】（1），，，．（2）设，其中，则由题意：，故，即，考虑，可知：，或，若，则考虑，，，则，，但此时，，不满足题意；若，此时，满足题意，，其中为相异正整数．（3）记，则，首先，，设，其中，分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，而，，，对于，考虑，，其和大于，故其差，特别的，，，由，且，，以此类推：，，此时，故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.18、（1）见解析，（2）【解析】

（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.即有，所以.（2）由（1）知，数列的通项为：，故.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.19、（1）6种；（2）；（3）.【解析】

（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：①当走时，全程不等红绿灯的概率；②当走时，全程不等红绿灯的概率；③当走时，全程不等红绿灯的概率；④当走时，全程不等红绿灯的概率.所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率.（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则①第一条：，则；②第二条：，则；③另外四条路线：；；，则综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.20、（1）；（2）证明见解析，.【解析】

（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.（2）先排除斜率为0时的情况，设，，联立方程组利用韦达定理得到，，根据化简得到，代入直线方程得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是.（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.设，，直线的方程为联立，整理得则，.因为直线与直线的斜率之和为1，所以，所以，将，代入上式，整理得.所以，即，则直线的方程为.故直线恒过定点.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.21、（1）（2）【解析】

（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列，再根据期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为，可根据上述方法求出，解，即可得出最小值.【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：00.010.020.