2024年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（解析卷）

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷理科数学

使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮

擦擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

5．考试结束后，只将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

iz+z=

1.设z=5+i，则（）

A.10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+iÞz=5-i,z+z=10，则iz+z=10i.

故选：A

集合A=1,2,3,4,5,9,B=xxÎA，则ðAÇB=（）

2.A

A.1,4,9B.3,4,9C.1,2,3D.2,3,5

【答案】D

【解析】

【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为A=1,2,3,4,5,9,B=xxÎA，所以B=1,4,9,16,25,81，

则AIB=1,4,9，ðAAIB=2,3,5

故选：D

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ì4x-3y-3³0

ï

3.若实数x,y满足约束条件íx-2y-2£0，则z=x-5y的最小值为（）

ï

î2x+6y-9£0

17

A.5B.C.-2D.-

22

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

ì4x-3y-3³0

ï

【详解】实数x,y满足íx-2y-2£0，作出可行域如图：

ï

î2x+6y-9£0

11

由z=x-5y可得y=x-z，

55

111

即z的几何意义为y=x-z的截距的-，

555

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

11

此时直线y=x-z过点A，

55

ì3

ì4x-3y-3=0ïx=æ3ö

联立í，解得í2，即Aç,1÷，

î2x+6y-9=0è2ø

îïy=1

37

则z=-5´1=-.

min22

故选：D.

4.等差数列an的前n项和为Sn，若S5=S10，a5=1，则a1=（）

7

A.-2B.C.1D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由S5=S10结合等差中项的性质可得a8=0，即可计算出公差，即可得a1的值.

【详解】由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，则a8=0，

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a8-a51æ1ö7

则等差数列an的公差d==-，故a1=a5-4d=1-4´ç-÷=.

33è3ø3

故选：B.

y2x2

5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F10,4,F20,-4，点P-6,4在该双曲

a2b2

线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.

【详解】由题意，F10,-4、F20,4、P-6,4，

则FF=2c=8，22，22，

12PF1=6+4+4=10PF2=6+4-4=6

2c8

则2a=PF-PF=10-6=4，则e===2.

122a4

故选：C.

ex+2sinx

6.设函数fx=，则曲线y=fx在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

1+x2

1112

A.B.C.D.

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其

面积.

ex+2cosx1+x2-ex+2sinx×2x

【详解】f¢x=2，

1+x2

e0+2cos01+0-e0+2sin0´0

则f¢0==3，

1+02

即该切线方程为y-1=3x，即y=3x+1，

1

令x=0，则y=1，令y=0，则x=-，

3

第3页/共20页

111

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=´1´-=.

236

故选：A.

7.函数fx=-x2+ex-e-xsinx在区间[-2.8,2.8]的大致图像为（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1>0，可排除D.

【详解】f-x=-x2+e-x-exsin-x=-x2+ex-e-xsinx=fx，

又函数定义域为-2.8,2.8，故该函数为偶函数，可排除A、C，

æ1öæ1öπe111

又f1=-1+çe-÷sin1>-1+çe-÷sin=-1->->0，

èeøèeø622e42e

故可排除D.

故选：B.

cosaæπö

8.已知=3，则tança+÷=（）

cosa-sinaè4ø

3

A.23+1B.23-1C.D.1-3

2

【答案】B

【解析】

cosa

【分析】先将弦化切求得tana，再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

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cosa

【详解】因为=3，

cosa-sina

13

所以=3，Þtana=1-，

1-tana3

æpötana+1

所以tança+÷==23-1，

è4ø1-tana

故选：B.

rr

9.已知向量a=x+1,x,b=x,2，则（）

rrrr

A.“x=-3”是“a^b”的必要条件B.“x=-3”是“a//b”的必要条件

rrrr

C.“x=0”是“a^b”的充分条件D.“x=-1+3”是“a//b”的充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

rrrr

【详解】对A，当a^b时，则a×b=0，

所以x×(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A错误；

rrrr

对C，当x=0时，a=1,0,b=0,2，故a×b=0，

rr

所以a^b，即充分性成立，故C正确；

rr2

对B，当a//b时，则2(x+1)=x，解得x=1±3，即必要性不成立，故B错误；

2rr

对D，当x=-1+3时，不满足2(x+1)=x，所以a//b不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.设a、b是两个平面，m、n是两条直线，且aIb=m.下列四个命题：

①若m//n，则n//a或n//b②若m^n，则n^a,n^b

③若n//a，且n//b，则m//n④若n与a和b所成的角相等，则m^n

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

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【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当nÌa，因为m//n，mÌb，则n//b，

当nÌb，因为m//n，mÌa，则n//a，

当n既不在a也不在b内，因为m//n，mÌa,mÌb，则n//a且n//b，故①正确；

对②，若m^n，则n与a,b不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,b分别相交于直线s和直线t，

因为n//a，过直线n的平面与平面a的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n//s，

同理可得n//t，则s//t，因为sË平面b，tÌ平面b，则s//平面b，

因为sÌ平面a，aIb=m，则s//m，又因为n//s，则m//n，故③正确；

对④，若aÇb=m,n与a和b所成的角相等，如果n//a,n//b，则m//n，故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

π9

11.在ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B=，b2=ac，则sinA+sinC=（）

V34

373

A.B.2C.D.

222

【答案】C

【解析】

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=，再利用余弦定理有a2+c2=ac，再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.

p941

【详解】因为B=,b2=ac，则由正弦定理得sinAsinC=sin2B=.

3493

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9

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=ac，

4

131313

即:a2+c2=ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C=sinAsinC=，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=，

4

7

因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0，则sinA+sinC=.

2

故选：C.

12.已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点，则AB的最小

值为（）

A.2B.3C.4D.25

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0得

ìx-1=0ìx=1

ax+by+2b-a=0，即ax-1+by+2=0，令í得í，

îy+2=0îy=-2

2

故直线恒过1,-2，设P1,-2，圆化为标准方程得：C:x2+y+2=5，

设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC^AB时，AB最小，

PC=1,AC=r=5，此时AB=2AP=2AC2-PC2=25-1=4.

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

10

æ1ö

13.ç+x÷的展开式中，各项系数的最大值是______．

è3ø

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【答案】5

【解析】

ì10-r9-r

ræ1ör+1æ1ö

ïC10ç÷³C10ç÷

ïè3øè3ø

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有，进而求出r即

í10-r11-r

ïræ1ör-1æ1ö

ïC10ç÷³C10ç÷

îè3øè3ø

可求解.

110-r

【详解】由题展开式通项公式为ræör，且，

Tr+1=C10ç÷x0£r£10rÎZ

è3ø

ì10-r9-r

ræ1ör+1æ1ö

ïC10ç÷³C10ç÷

ïè3øè3ø

设展开式中第r+1项系数最大，则，

í10-r11-r

ïræ1ör-1æ1ö

ïC10ç÷³C10ç÷

îè3øè3ø

ì29

r³

ï42933

Þí，即£r£，又rÎZ，故r=8，

3344

ïr£

îï4

12

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为8æö.

C10ç÷=5

è3ø

故答案为：5.

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2r2-r1和3r2-r1，则两个圆台

V甲

的体积之比=______．

V乙

6

【答案】

4

【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解.

2

【详解】由题可得两个圆台的高分别为2，

h甲=ëé2r1-r2ûù-r1-r2=3r1-r2

2

2，

h乙=ëé3r1-r2ûù-r1-r2=22r1-r2

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1

S+S+SSh

V2121甲h3r-r6

所以甲=3=甲=12=.

V1h4

乙S+S+SSh乙22r1-r2

32121乙

6

故答案为：.

4

115

15.已知a>1，-=-，则a=______．

log8aloga42

【答案】64

【解析】

【分析】将log8a,loga4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.

11315

-=-loga=-2

【详解】由题2，整理得log2a-5log2a-6=0，

log8aloga4log2a22

Þlog2a=-1或log2a=6，又a>1，

66

所以log2a=6=log22，故a=2=64

故答案为：64.

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m

为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过1的

2

概率是______．

7

【答案】

15

【解析】

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则

a+b-3£2c£a+b+3，就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

3

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A6=120种，

a+b+ca+b1

设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则-£，

322

故2c-(a+b)£3，故-3£2c-(a+b)£3，

故a+b-3£2c£a+b+3，

若c=1，则a+b£5，则a,b为：2,3,3,2，故有2种，

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若c=2，则1£a+b£7，则a,b为：1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，

3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，

当c=3，则3£a+b£9，则a,b为：

1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，

2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，

故有16种，

当c=4，则5£a+b£11，同理有16种，

当c=5，则7£a+b£13，同理有10种，

当c=6，则9£a+b£15，同理有2种，

1

共m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为22+10+16=56，

2

567

故所求概率为=.

12015

7

故答案为：

15

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必

考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进

行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

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乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果

p(1-p)

p>p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认

n

为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（150»12.247）

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PK2³k0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案见详解

（2）答案见详解

【解析】

【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算K2，并与临界值对比分析；

p(1-p)

（2）用频率估计概率可得p=0.64，根据题意计算p+1.65，结合题意分析判断.

n

【小问1详解】

根据题意可得列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

2

15026´30-24´7075

可得K2===4.6875，

50´100´96´5416

因为3.841<4.6875<6.635，

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所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异.

【小问2详解】

96

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为=0.64，

150

用频率估计概率可得p=0.64，

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5，

p1-p0.51-0.50.5

则p+1.65=0.5+1.65»0.5+1.65´»0.568，

n15012.247

p(1-p)

可知p>p+1.65，

n

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

18.记Sn为数列an的前n项和，且4Sn=3an+4．

（1）求an的通项公式；

n-1

（2）设bn=(-1)nan，求数列bn的前n项和为Tn．

n-1

【答案】（1）an=4×(-3)

n

（2）Tn=(2n-1)×3+1

【解析】

【分析】（1）利用退位法可求an的通项公式．

（2）利用错位相减法可求Tn.

【小问1详解】

当n=1时，4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4．

当n³2时，4Sn-1=3an-1+4，所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1即an=-3an-1，

an

而a1=4¹0，故an¹0，故=-3，

an-1

∴数列an是以4为首项，-3为公比的等比数列，

n-1

所以an=4×-3.

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【小问2详解】

n-1n-1n-1

bn=(-1)×n×4×(-3)=4n×3,

所以T=b+b+b++b012n-1

n123Ln=4×3+8×3+12×3+L+4n×3

故123n

3Tn=4×3+8×3+12×3+L+4n×3

所以12n-1n

-2Tn=4+4×3+4×3+L+4×3-4n×3

n-1

31-3n-1n

=4+4×-4n×3n=4+2×3×3-1-4n×3

1-3

=(2-4n)×3n-2，

n

\Tn=(2n-1)×3+1.

19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，

BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M为AD的中点．

（1）证明：BM//平面CDE；

（2）求二面角F-BM-E的正弦值．

【答案】（1）证明见详解；

43

（2）

13

【解析】

【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM为平行四边形，可证BM//CD，进而得证；

（2）作BO^AD交AD于O，连接OF，易证OB,OD,OF三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公

式即可求解.

【小问1详解】

因为BC//AD,EF=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC//MD,BC=MD，

第13页/共20页

四边形BCDM为平行四边形，所以BM//CD，又因为BMË平面CDE，

CDÌ平面CDE，所以BM//平面CDE；

【小问2详解】

如图所示，作BO^AD交AD于O，连接OF，

因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2，所以CD=2，

结合（1）BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2，又AM=2，

所以VABM为等边三角形，O为AM中点，所以OB=3，

又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF//MD，

四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF，

所以△AFM为等腰三角形，VABM与△AFM底边上中点O重合，OF^AM，

OF=AF2-AO2=3，

因为OB2+OF2=BF2，所以OB^OF，所以OB,OD,OF互相垂直，

以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，建立O-xyz空间直角坐标系，

uuuuruuur

F0,0,3，B3,0,0,M0,1,0,E0,2,3，BM=-3,1,0,BF=-3,0,3，

uuurr

BE=-3,2,3，设平面BFM的法向量为m=x1,y1,z1，

r

平面EMB的法向量为n=x2,y2,z2，

uuuur

ìmr×BM=0ì-3x+y=0

ïï11r

则í，即í，令x=3，得y1=3,z1=1，即m=3,3,1，

ruuur1

îïm×BF=0îï-3x1+3z1=0

ruuuurì

ïìn×BM=0ï-3x2+y2=0

则í，即í，令x=3，得y2=3,z2=-1，

ruuur2

îïn×BE=0îï-3x2+2y2+3z2=0

mr×nr1111

rcosmr,nr===43

即n=3,3,-1，rr，则sinmr,nr=，

m×n13×131313

43

故二面角F-BM-E的正弦值为.

13

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x2y2æ3ö

20.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F，点Mç1,÷在C上，且MF^x轴．

a2b2è2ø

（1）求C的方程；

（2）过点P4,0的直线与C交于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证

明：AQ^y轴．

x2y2

【答案】（1）+=1

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设Fc,0，根据M的坐标及MF^x轴可求基本量，故可求椭圆方程.

（2）设AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线方程和椭圆方程，用A,B的坐标表示

y1-yQ，结合韦达定理化简前者可得y1-yQ=0，故可证AQ^y轴.

【小问1详解】

b23a2-13

设Fc,0，由题设有c=1且=，故=，故a=2，故b=3，

a2a2

x2y2

故椭圆方程为+=1.

43

【小问2详解】

直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，

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ì3x2+4y2=12

由í可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，

îy=k(x-4)

11

故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-<k<，

22

32k264k2-12

又x+x=,xx=，

123+4k2123+4k2

3

yæ5ö-y

æ5öBN:y=2x-2-3y

而N,0，故直线5ç÷，故y=2=2，

ç÷è2øQ5

è2øx2-2x2-5

2x2-

2

3y2y1´2x2-5+3y2

所以y1-yQ=y1+=

2x2-52x2-5

kx-4´2x-5+3kx-4

=122

2x2-5

64k2-1232k2

2´-5´+8

2xx-5x+x+822

=k1212=k3+4k3+4k

2x2-52x2-5

128k2-24-160k2+24+32k2

2，

=k3+4k=0

2x2-5

故y1=yQ，即AQ^y轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意D的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2（或y1+y2、y1y2）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21.已知函数fx=1-axln1+x-x．

（1）当a=-2时，求fx的极值；

（2）当x³0时，fx³0恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）极小值为0，无极大值.

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1

（2）a£-

2

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

11

（2）求出函数的二阶导数，就a£-、-<a<0、a³0分类讨论后可得参数的取值范围.

22

【小问1详解】

当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，

1+2x1

故f¢(x)=2ln(1+x)+-1=2ln(1+x)-+1，

1+x1+x

1

因为y=2ln(1+x),y=-+1在-1,+¥上为增函数，

1+x

故f¢(x)在-1,+¥上为增函数，而f¢(0)=0，

故当-1<x<0时，f¢(x)<0，当x>0时，f¢(x)>0，

故fx在x=0处取极小值且极小值为f0=0，无极大值.

【小问2详解】

1-axa+1x

f¢x=-aln1+x+-1=-aln1+x-,x>0，

1+x1+x

a+1x

设sx=-aln1+x-,x>0，

1+x

-aa+1ax+1+a+1ax+2a+1

则s¢x=-=-=-，

x+11+x21+x21+x2

1

当a£-时，s¢x>0，故sx在0,+¥上为增函数，

2

故sx>s0=0，即f¢x>0，

所以fx在0,+¥上为增函数，故fx³f0=0.

12a+1

当-<a<0时，当0<x<-时，s¢x<0，

2a

æ2a+1öæ2a+1ö

故sx在ç0,-÷上为减函数，故在ç0,-÷上sx<s0，

èaøèaø

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æ2a+1ö

即在ç0,-÷上f¢x<0即fx为减函数，

èaø

æ2a+1ö

故在ç0,-÷上fx<f0=0，不合题意，舍.

èaø

当a³0，此时s¢x<0在0,+¥上恒成立，

同理可得在0,+¥上fx<f0=0恒成立，不合题意，舍；

1

综上，a£-.

2

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂

黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立