浅谈高中数学中的几何概型

浅谈高中数学中的几何概型泉州现代中学数学组陈永生几何概型是高中概率局部的一个难点，高考中选择、填空题、解答题都有所涉及。要理解并灵活应用几何概型解决相关问题，需要从以下几个方面把握：一、定义：事件A理解为根本领件空间的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量〔长度、面积或体积〕成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。它也有两个根本特点：一是一次试验中，根本领件的个数是无限的；二是每一个根本领件发生的可能性是均等的。在几何概型中，事件A的概率定义为：P〔A〕==；P〔A〕=，〔其中为区域的几何度量，为子区域A的几何度量〕。用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量。对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决方法.二、与长度有关的几何概型例1．有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，那么符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题。解：记两段木棍都不小于3米为事件A，那么P(A)=。例2：某人欲从某车站乘车出差，该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率。分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率。可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。解：设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式，得P(A)==，即此人等车时间不多于10分钟的概率为。三、与面积有关的几何概型例1：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率。解：P(A)==。例2：如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠局部为花瓣。现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率。解：飞镖落在正方形区域内的时机是均等的，符合几何概型条件。记飞镖落在花瓣内为事件A，设正方形边长为2r，那么。所以，飞镖落在花瓣内的概率为。四、与角度有关的几何概型例1．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM<300的概率。2．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM<300的概率。ACACBMACBM分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。问题1的测度定性为线段长度，当∠CAM0=300时，，合条件的点M等可能的分布在线段上，所以所求概率等于。而问题2的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=450，所以所求概率等于。五、与体积有关的几何概型例1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？分析：草履虫在这500毫升水中的分布可以看作是随机的，取得的2毫升水样可视作构成事件的区域，500毫升水可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。解：取出2毫升水样，其中“含有草履虫”这一事件记为A，那么P(A)==。例2.正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,那么在正方体ABCD—A1B1C1D解：设正方体的边长为2a,那么P(A)=。六、科学设计变量，数形结合解决问题例1．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求两人能够会面的概率。解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟。用表示每次试验的结果，那么所有可能结果为：；记两人能够会面为事件A，那么事件A的可能结果为：。如下图，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD。而事件A所构成区域是正方形内两条直线，所夹中间的阴影局部。根据几何概型公式，得到：。所以，两人能够会面的概率为。例2．一条直线型街道的A、B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C、D，顺序为A、C、D、B。问A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率是多少？解：〔1〕构设变量。设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米。〔2〕集合表示。用Ω表示每次试验的结果，那么所有可能结果为：；记A与C、B与D之间的距离都不小于40米为事件A，那么事件A的可能结果为。〔3〕作出区域，如下图，试验全部结果构成区域Ω为直线与两坐标轴所围成的△ABC，而事件A所构成区域是三条直线，所夹中间的阴影局部。〔4〕计算求解.根据几何概型公式，得到：。所以，A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率为。例3：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸〔称为事件A〕的概率是多少。分析：1、这是一个几何概型的例子，可以用几何概型的公式来解决。2、设送报人到家的时间为x，父亲离开家的时间为y。3、事件A发生的条件：x≤y4、建立坐标系，试验的全部结果构成的区域Ω=(xy)6.5≤x≤7.5,7≤y≤8，这是一个正方形区域，面积=1。5、条件A构成的区域A=(x,y)│y≥x,6.5≤x≤7.5,7≤y≤8，几何概型并不是研究与几何有关的概率模型，几何概型与几何没有直接的关系，而是实际生活中的某些问题我们可以通过几何图形去合理的描述，然后用几何知识解决这个问题，所以把它称为几何概型。因此很多与实际生活有关的概率问题，只要满足几何概型的两个特点，将古典概型中的有限性推广到无限性，而保存等可能性，都可以用几何概型去刻画，新课程的实施，进一步要求我们，在高中数学教学中重视并帮助学生对知识意义的理解，培养学生的符号感和悟性；淡