分式2师无部化

第十四讲：分式2

一、基础知识

1.两个整式相除得商就是分式，其中，分母是除式，分子是被除式，除式中含有字母；若除式是数字，

分子是整式，则不称为分式。整式和分式统称有理式。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为。的整式，分式的值不变。这一性

质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础。

3.分式的运算法则：

八、工〜a、ba+ba,cad±bc

（1）加减：一±-=-----,-±—=———；

cccbaba

zc、工认acacacadad

（2）乘除：-----=一，一十一=-----=——；

bdbdbdbche

（/=/（n是正整数）。

乘方:

4.比例的重要性质

（1）若巴=£,贝！Jad=bc

hd

“、c-.a+bc+d/人-2工、

（2）若丁=1，则［一=——（合比性质）

babd

（3）若！=三,则F=（分比性质）

baba

,，、ca-vbc+d/人八一3H、

（4）若7=则-r=——7（合分比性质）

baa-bc-d

（5）若一——=...——9且b+d+..・+〃w0，则------------=一（等比性质）

bdnb+d+...+Hb

5.我们在讨论分式变形、分式相等、分式方程等与分式有关的问题时，都不要忘记必须在分式有意义的

前提下，才能考虑这些问题。（例1〜例4）

6.分式化简的常用方法：

利用倒数关系（例5）、运用公式（例6,7）、分组通分（例8）、拆项（例9）、换元（例10）、运用比

例性质（例1b12）；

二、例题讲解

第一部分分式的概念

例1（★）已知式子（"8）（x+l）

的值为零，求X的值;

W-1

【分析与解答】：x=8;

例2（★）求使分式1+—，一无意义的x的值;

1+-T

1+-

X

【分析与解答】：x=0,-1,-i；

2

x+1X

例3(★)化简分式口"，并说明x为何值时，该分式有意义

XX+1

【分析与解答】：xw—1,0,1；

I-/

例4(★★★)已知分式

(1+盯)2-(*+y)2

(1)在什么条件下此分式有意义？

(2)在什么条件下分式的值为正、为负？(此问要解一元二次不等式，超纲)

(3)分式的值能否为0?

【分析与解答】：(1)X)y的绝对值都不是1

(2)原式=(l+x)(l-x)/(x+l)(x-1)(y+1)(y-l)=l/(l-y-2)

所以当y的绝对值小于1且x的绝对值不等于1时，分式为正

当y的绝对值大于1且x的绝对值不等于1时，分式为负

(4)不可能

第二部分分式的化简

111、1

(z----1-------；---7)--2----

例5(★)化简：a+ba-ha--ba-b-

【分析与解答】利用倒数关系写成乘法，然后用分配率；原式=a-b+a+b-l=2a-l

例6化简：((£)十七一2).焉土击)

【分析与解答】(3b-2a)*36a*2b<，2*(8a'3+27b^3)/6ab*(9b*2-4a*2)*216a*3b^3

=(4a'2-6ab+9b'2)/36a-2b"2

例7(★★★第7届希望杯初二试题)化简(x—y+4)(x+y-四)

x-yx+y

【分析与解答】充分利用公式；原式=x-2-y.2

例8(★★★1995年天津初二数学竞赛)计算：

1111

-------a--------1--------b--------1----------------a--+-?->-b-

a3+a2b+ab2+b3o'-a2b+ab2-b3a2-b2a2+b2a4-b4

【分析与解答】分组通分；原式

=a/(a*2+b*2)(a+b)+b/(a*2+b*2)(a_b)+l/(a*2-b*2)-l/(a*2+b*2)-(a*2+3b*2)/(a*2+b*2)(a*2-b*2)

=l/(a*2-b*2)+l/(a'2-b*2)-l/(a'2+b*2)-(a'2+3b*2)/(a*2+b*2)(a'2-b*2)

=[(3a*2+b*2)+(a*2+3b*2)]/(a*2+b*2)(a*2-b*2)

=4/(a~2-b'2)

h-cc-aa-b22

例9(★★★)化简------------------------1-------------------------1-------------------------1----------------------

(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)b-ac-a

【分析与解答】拆项法；原式=2/(b-c)

例10(★★★)化简--------------1-----------------F...H-------------------------

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)

〃〃

【分析与解答】拆项法;(+3)

4(〃+1)(〃+2)

n2m2nm

—v+—+2—+—

例11(★★★)计算于"三，--------十产/

nnrnmnm

——一T-乂------)—+—■

mnmnmn

【分析与解答】换元法；(rTZ+nT2/g^-nTZ)

例12(★★★★)化简

(yx)(z—x)।(zy)(x—y)।(x—z)(y—z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z—2x)(x-2y+z)

【分析与解答】利用换元，令x-y=a,y-z=b,z-x=c

得原式=1

第三部分分式其他

例13(★★★★1999年天津市数学竞赛)」+J-二=£一.v+三二士士,且孙zwO,求分式

zyx

(x+y)(y+z)(z+x)的值,

xyz

【分析与解答】等比性质；x=y=z或x+y+z=0；原式=8或T

例14(★★★)已知巧=%，atl+i=1-—(/?=1,2,3,...)

(1)求〃2，%，。5；(2)求〃2000

【分析与解答】迭代分式；(l)a2=(x-l)/x,a3=l/(l-x),a4=x,a5=(x-l)/x

(2)a2000=a2=(x-1)/x

例15(★★★★)设正数x,y,z满足不等式

222222220

x4-y~—zy+z—xz+—y~4、十日2人一、人五八葛—.».

-----------+-+>1,求证x,y,z是某个二角形的二边长

2xy------2yz------2xz

(分析与证明】原不等式可变形为z(x*2+y'2-z*2)+x(y~2+z*2-x'2)+y(x'2+z"2-y*2)-2xyz>0

因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0

所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x,y,z全正，所以不可能1正2负(证明略)

所以三个括号内均为正数，所以x,y,z是某个三角形的三边长

练习题

1.(★★1999年，重庆市竞赛)关于分式，下列四种说法中正确的是()

A.含有分母的代数式叫做分式；

B.分式的分子、分母同乘以(或除以)2a+3,分式的值不变；

C.当x=2时，分式与x-上2的值为1上；

X”-44

D.分式上L的最小值是0。

X+1

X1

2.(★★★)分式一中，x,y,z的值都缩小到原来的一，且x,y,z>。，则分式值是原来的()倍;

y+z3

jD.9

A.1rC.3

B.3

3.(★★★第4届“五羊杯”初二数学竞赛)若正数6,c都增至3倍，则+"+c)的值

he+ca+ab

增至原来的倍；

23

4.(★★★第六届希望杯初二)已知a是非零实数，那么£+/+告1的值是_______；

Hrlrl

5.(★★★)要使分式」=有意义，则x的取值范围是____________；

1Txi

W

(★★★)计算」一+1-+248

6.■■—r+z—r+z—r

1—X1+X1+x1+x1+x

—]6m2+4ITT——2m+4

7.(★★★★第九届希望杯初二试题)化简q°"案十一-(一+2)

m+4m+167n-8m"-4m+4

«2(---)+^2(---)+c2(---)

8.(★★★★1989年吉林初中数学竞赛)化简：一竹------——产产

Q(工——)+仇----)+以-)

bccaab

9.（★★★1994年江苏初中数学竞赛）已知:

a+a+a_q+4_4+%+。4_%+4+%_+

--2-----:3-----4-=-------:------=--------------=--------------=K7fK;

本章测试

2x-57x-10

1.化简分式：x2+x-6x2-x-12x2-6x+8

2.计算:

111

++

(x+1)(x4-2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)

1

+•••+

(x+100)(x+101)'

3.已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,

(yz+l)(zx+l)(xy+1)

求的值.

(X?+1)(/+1)3+1)

4ab

4.已知a卢b,a卢0,b^O,a+br0,x=------,求

a+b

2+2a+x+2b

x-2ax-2b

5.如果尹求分式岑鹏的值.

234x+y+z

6.