《机械制图》课件第2章

第二章投影的基本知识第一节三投影面体系第二节点、线、平面的投影基本规律表达空间形体形状结构的工程图，是采用一种称为投影法的方法绘制的。了解投影法的基本规律，是绘制和识读工程图，想象形体空间形状结构的基础。本章主要介绍投影法的概念，多面投影的形成，点、直线、平面和基本形体的投影规律。

第一节三投影面体系

1.1投影法及其分类1.投影法的基本概念将投射线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影图(简称投影)。可以想象，要得到投影必须要有三个元素：光线、形体和承影面。光线可以是平行的(如日光)或者从一个中心点发出的(如白炽灯泡发出的光线)，形体可以是平面的或者是一个空间立体。投影法中得到投影的承影面通常采用平面，称为投影面，如图2-1所示。2．投影法的种类1)中心投影法投影线交汇于一点的投影法称为中心投影法，如图2-1所示。投影线的交汇点称为投影中心，如图2-1中的S点。用中心投影法绘制出的图形，符合人的视觉规律，因此经常用此方法绘制一些需要强调视觉效果的图形，比如建筑效果图等。由于用中心投影法绘制图形，方法复杂，效率低，又不容易进行尺寸标注，所以在机械制图中很少使用。2)平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中，又以投射线与投影面的相对位置不同分为正投影法和斜投影法。投射线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法，如图2-2(a)所示，由此法得到的投影图称为正投影图(正投影)。投射线相互平行又不垂直于投影面的平行投影法称为斜投影法，如图2-2(b)所示。由此法得到的图形称为斜投影图(斜投影)。由于用正投影法得到的正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，故在机械工程图中广泛应用。因此，本课程主要研究正投影法。本书后面各章除特别说明外，所述投影均指正投影。1.2正投影的特性制作正投影时，当形体与投影面之间处于某种特殊位置时，这些形体的投影会表现出不同的特性。研究这些特性，对绘制和理解形体的投影图，有非常重要的作用。1.真实性当物体上的平面(或直线)与投影面平行时，其投影反映实形(或实长)，这种投影特性称为真实性，如图2-3(a)所示。2．积聚性当物体上的平面(或直线)与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一条线(或一个点)，这种投影特性称为积聚性，如图2-3(b)所示。3．类似性当物体上的平面(或直线)与投影面倾斜时，其投影的面积变小(或长度变短)，但投影的形状仍与原来形状类似，这种投影特性称为类似性，如图2-3(c)所示。1.3三面投影如图2-4所示，三个不同物体向同一投影面正投影后，所得投影相同，由此说明，一个投影是不能确定物体的唯一形状和结构的。为了确定物体的唯一结构形状，需要采用多个投影面进行正投影。从多个方向对形体进行观察和描述，绘制出的视图可以确定形体的唯一形状和大小。1．三投影面体系通常选用三个互相垂直相交的投影面，建立一个三投影面体系，如图2-5所示。三个投影面分别称为：正立投影面，简称正面，以V表示；水平投影面，简称水平面，以H表示；侧立投影面，简称侧面，以W表示。三个投影面之间的交线OX、OY、OZ称为投影轴，三根互相垂直的投影轴的交点O称为原点。2．三视图的形成如图2-6所示，将物体放在三投影面体系中，用正投影法向三个投影面投影，就得到了物体的三面投影。该三面投影图也叫三面视图，简称三视图。这是因为假想人(观察者)的视线为正投影时的投射线，并由此观察得到的结果而得名。其中：由前向后投射在V面所得的视图称为主视图；由上向下投射在H面所得的视图称为俯视图；由左向右投射在W面所得的视图称为左视图。3．三面投影体系的展开为了方便画图和看图，三个投影面必须假想展开、摊平在同一平面(纸面)上。展开方法按照规定为：正面V不动；水平面H绕OX轴向下旋转90°；侧面W绕OZ轴向右旋转90°，如图2-7所示。三视图展开完成后的配置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方，如图2-8(a)所示。画图时，投影面的边框线和投影轴均不必画出，按上述方法展开后，即按投影关系配置视图时，也不需要注明视图名称，其名称由其所在位置即可得出，最后得到的三视图如图2-8(b)所示。4．视图与物体之间的关系物体上有上、下、左、右、前、后六个方向的位置关系，如图2-9(a)所示。每一个视图只反映四个方向的位置关系，如图2-9(b)所示。其中：主视图反映了物体的左、右、上、下之间的位置关系，即反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的前、后、左、右之间的位置关系，即反映物体的宽度和长度；左视图反映了物体的前、后、上、下之间的位置关系，即反映了物体的宽度和高度，如图2-9(c)所示。5．三视图之间的投影关系由上面的讨论可知，在三视图中：主、俯视图均可反映物体的长度；主、左视图均可反映物体的高度；俯、左视图均可反映物体的宽度，如图2-10所示。同时，三视图又是按上述的规定方法展开的，所以，三个视图之间的投影关系可以总结为：主、俯视图——长对正，不仅尺寸相同，位置也要竖直对齐。主、左视图——高平齐，不仅尺寸相同，位置也要水平对齐。俯、左视图——宽相等，仅为尺寸相同。这个“三等”关系就是物体三视图的投影规律。它对于物体整体和局部均是如此，同时对于物体上的直线、点也都是适用的，如图2-10所示。6．画物体的三视图下面举例说明运用三视图之间的位置关系和投影关系画出三视图的方法和步骤。(1)分析物体。分析物体上的面、线与三个投影面的位置关系，再根据正投影特性判断其投影情况，然后综合想象出各个视图形状。(2)确定图幅和比例。根据物体上最大的长度、宽度和高度及物体的复杂程度确定绘图的图幅和比例。(3)选择主视图的投影方向。以最能反映物体形状特征和位置特征且使三个视图投影虚线少的方向作为主视图投影方向。(4)布图画底图；画作图基准线、定位线；画三视图底图。从主视图画起，三个视图配合着画图。要保证三个视图之间符合长对正、高平齐、宽相等的投影关系。(5)检查、修改底图。(6)加深描粗图线完成三视图，如图2-11所示。画三视图时，作图所需尺寸可在模型(在轴测图中可以沿前后、左右或上下三个方向)上去量，每个尺寸测量一次即可。相邻视图之间相应的投影尺寸关系可用丁字尺来保持高相等，用三角板与丁字尺配合起来保持长相等，用分规或作45°斜线来保持宽相等。模型的三视图举例如图2-12、图2-13所示。

第二节点、线、平面的投影基本规律

2.1点的投影如图2-15(a)所示，设有一空间点A，由点A分别向H、V和W面投影，可得到A点的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″。图中每两条投影线确定一个平面，它们与三个投影轴分别相交于aX、aY和aZ，以空间点A、三个投影a、a′和a″以及aX、aY、aZ和原点O为顶点可构成一个长方体。将各投影面展开(展开方法如上节所述)可得A点的投影图，如图2-15(b)所示。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称和投射线与投影轴的交点aX、aY、aZ等，而只画出坐标轴OX、OY、OZ(简称X、Y、Z轴)及点的投影a、a′和a″，如图2-15(c)所示。如果将三投影面体系看作空间直角坐标系，将投影面H、V、W视为坐标面，投影轴OX、OY、OZ视为坐标轴，则空间点A分别到三个坐标面的距离Aa″、Aa′、Aa可用A点的三个直角坐标XA、YA和ZA表示，记为A(XA、YA、ZA)。同时，A点的三个投影a、a′、a″也可用坐标来确定，即水平投影a由XA和YA确定，反映了空间点A到W面和V面的距离Aa″和Aa′；正面投影a′由XA和ZA确定，反映了空间点A到W面和H面的距离Aa″和Aa；侧面投影a″由YA和ZA确定，反映了空间点A到V面和H面的距离Aa′和Aa。根据上述分析，可以得到点在三面投影体系中的投影规律：(1)点的正面、水平投影连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX轴。(2)点的正面、侧面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ轴。(3)点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aaX=a″aZ=YA。为了表示aaX = a″aZ = YA的关系，常用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧把水平投影和侧面投影之间的投影连线联系起来，如图2-15(c)所示。两种方法只采用一种即可，不必同时全部绘制出。2.2直线的投影1.直线的投影常见的直线是平面立体的棱线，即两平面的交线，如图2-20所示。直线的投影一般仍为直线，也有可能成为一个点。作直线的投影时，只需作出确定该直线的任意两点的投影，将这两点的同面投影相连，便可得直线的三面投影，如图2-19(b)和图2-20所示。另外，已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可作出该直线的投影。2．直线分类及其投影特性根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置直线，投影面平行线，投影面垂直线。后两类线统称为特殊位置线。空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，本书中分别用α、β、γ表示，如图2-20(a)所示。1)一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如图2-20所示。AB为一般位置直线，它与H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示，则直线的投影与其实长有如下关系：ABcosα=ab，ABcosβ=a'b'，ABcosγ=a"b"由此可知，一般位置直线的投影特性如下：三个投影都倾斜于投影轴；三个投影长度均小于实长；三个投影与各投影轴的夹角不反映直线对投影面的真实倾角。2)投影面平行线平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面的平行线。投影面平行线有水平线、正平线和侧平线三种，表2-1列出了它们的立体图、投影图和投影特性。投影面平行线的投影特性如下：直线在所平行的投影面上的投影反映实长和对另两个投影面的真实倾角；直线的另两个投影分别平行于相应的投影轴，且均小于实长。3)投影面垂直线垂直于一个投影面(必与另两个投影面平行)的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线有铅垂线、正垂线和侧垂线三种，表2-2列出了它们的立体图、投影图和投影特性。投影面垂直线的投影特性如下：直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；直线在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴(或同平行于一个投影轴)，且反映实长；垂直位置直线与投影面之间的夹角也是固定的，即此直线与和它垂直的投影面之间的夹角是90°，另外两个夹角是0°。例如铅垂线的α角为90°，另外两个夹角为0°，正垂线β角为90°，另外两个夹角为0°等等，其余可以类推。3．直线上的点直线上的点有以下特性：点在直线上，则点的各投影必在该直线的各同面(名)投影上，且点分割直线长度之比等于点的投影分割直线投影长度之比。反之，如果点的各面投影均在直线的同面投影上，且分割直线各投影长度成相同比例，则该点必在此直线上，如图2-21。如果点不在直线上，则点的投影中至少有一个投影不在直线的同面投影上，如图2-22所示。对于投影面的平行线，必须确定点的投影落在反映直线实长的同面投影上，才可确定点在直线上，否则还不能确定。如图2-23所示，点M和点K的H面投影和V面投影都在直线的同面投影上，仅根据H面投影和V面投影还不能确定这两个点是否在直线上，必须根据W面投影才能得出结论，确定点K在直线上，点M不在直线上。如果只有点M和点K的H面投影和V面投影，则可根据投影分割比例进行判断，如a'k'/k'b' = ak/kb，可判断点K在直线上，a'm'/m'b≠am/mb，可判断点M不在直线上。4．两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行和相交两直线均属于同一平面(共面)的直线，而交叉两直线则不属于同一平面(异面)的直线，表2-3列出了它们的投影图及投影特性。4．两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行和相交两直线均属于同一平面(共面)的直线，而交叉两直线则不属于同一平面(异面)的直线，表2-3列出了它们的投影图及投影特性。5．一般位置直线求实长和倾角下面介绍两个求一般位置直线的实长和倾角的方法。方法一：利用直角三角形法求直线的实长、直线和投影面的夹角。观察直线两投影的直观图，如图2-24(a)所示。直线AB在H面和V面上分别有投影ab和a'b'，两个投影都不平行于投影轴，这是一个一般直线。过空间直线的其中一个端点B做一条平行于水平投影ab的直线，交A点的投影线于A0点，这样构成一个直角三角形A0BA。这个三角形的构成情况是：一个直角边AA0长度等于直线的水平投影ab，另一个直角边长度等于直线两端点A、B到水平投影面的距离之差。由于BA0是一条水平线，在正面的投影平行于OX轴，因此在正面投影中可以很容易地找到两端点A、B到水平投影面的距离之差。直角三角形A0BA的斜边即直线的空间实际长度，斜边AB与直角边BA0的夹角即直线与水平面的夹角α。清楚这个直角三角形的关系之后，可以很容易地利用直线的水平投影和正面投影求出直线的实长以及直线与水平面的夹角。如图2-(b)所示，已知直线的两个投影ab和a'b'，如图2-24(c)所示作图，过直线的一个端点的投影绘制一条与直线水平投影ab垂直的直线，在正面投影中求出直线AB到水平投影面距离之差(过直线的一个端点画直线平行与OX轴即可)，在水平投影中绘制的与ab垂直的直线上截取这段长度(可以用圆规画弧的方法)，找到A1点，连接A1点与另一个端点，绘制斜边，即可求得直线的实长。直线实长与直线水平投影ab之间的夹角就是直线的α角。同样也可以利用直线的水平投影和正面投影求直线的实长以及直线的β角。此时直角三角形的两个直角边分别是直线的正面投影和直线两端点到正面距离之差。利用直角三角形求直线的实长以及直线的β角的空间概念和作图方法如图2-25所示。读者可以根据图2-25自己总结空间推理以及作图方法。同样的道理，可以利用直线的侧面投影和另一个投影求直线的实长以及直线的γ角，只是此时必须利用直线的侧面投影做直角三角形的一个直角边。空间推理和作图方法读者可以自己总结。方法二：利用换面法求直线的实长、直线和投影面的夹角。如图2-26(a)所示，做一个新的投影面V1与H面垂直并平行于直线AB，V1与H面的交线为O1X1，O1X1与直线的水平投影ab平行。将直线两端点A、B分别向新投影面V1投影，得到投影、。从前面已经总结出的投影规律可以得出：到O1X1的距离反映A点的高度，与a'到OX轴的距离相等；到O1X1的距离反映B点的高度，与b'到OX轴的距离相等；与a点的连线垂直于O1X1；与b点的连线垂直于O1X1。可以利用前面学习过的作图方法对图2-26(b)中的直线投影求实长和夹角。作图方法如图2-26(c)所示，做轴线O1X1平行于a、b(此距离不限)，分别过a点和b点做轴线O1X1的垂线，截取到O1X1等于a'到OX轴的距离，截取到O1X1等于b'到OX轴的距离，得到投影、，连接和，即可得到直线AB的实长。、与O1X1的夹角，即为直线的α角。同样，也可以利用换面法在求出直线的实长同时求出直线的β角。这时要求新投影面垂直于V面同时平行于直线。作图时，要利用直线的正面投影a'b'绘制轴线O1X1，新的投影a1、b1度量时要利用直线的水平投影a、b到OX轴的距离。空间构思过程和绘图方法如图2-27所示。2.3平面的投影1．平面的表示法平面可以用各种几何要素表示。图2-28画出了用不同几何要素表示平面的直观图和投影图：图(a)表示用不在同一条直线上的三点确定一平面；图(b)表示用一直线与直线外一点确定一平面；图(c)表示用相交两直线确定一平面；图(d)表示用平行两直线确定一平面；图(e)表示用任意平面图形如三角形、四边形、圆形等确定一平面。2．各种位置平面的投影特性根据空间平面对三个投影面的相对位置，平面可分为三类：投影面平行面，投影面垂直面，一般位置平面。前两类平面被称为特殊平面。1)投影面平行面平行于一个投影面而垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面分为水平面、正平面和侧平面三种，表2-4列出了它们的直观图、投影图和投影特性。投影面平行面的投影特性如下：平面在所平行的投影面上的投影反映空间平面的实形；平面的另两个投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。2)投影面垂直面垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面的垂直面。投影面垂直面分为铅垂面、正垂面和侧垂面三种，表2-5列出了它们的直观图、投影图和投影特性。投影面垂直面的投影特性如下：平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，该投影与投影轴的夹角分别反映平面对另两个投影面的真实倾角；平面的另两个投影均为类似形。3)一般位置平面对三个投影面都倾斜的空间平面称为一般位置平面。其投影特性为：三个投影都为缩小的类似形，如图2-29所示，图2-19(a)中立体上的三角形截面也是一般位置平面。3．平面上的直线和点1)平面上的直线平面上直线的投影，一定通过该平面内的已知两点的投影，或通过该平面上的一个已知点的投影且平行于该平面内的任一直线的投影。如图2-30所示，在平面ABC中的两条边线AB和AC上分别选择点M、N，找到这两个点的两面投影，连接这两个投影即可完成平面内直线MN的两面投影。由于M、N两点都在平面ABC内，所以直线MN一定在平面ABC内。在平面DEF中选择点K，找到点K的两面投影，在两个投影中都过点K绘制与平面内一条直线的平行线，图中显示与直线EF平行，完成直线KL的两面投影，由于点K在平面DEF中(在直线DE上)，直线KL又与平面内的一条直线EF平行，因此直线KL一定在平面DEF内。2)平面上的点欲完成平面上点的投影，可先在该平面内绘制直线，然后按照直线上点的投影方法，完成平面内点的投影，如图2-31所示。图2-31(a)中显示已知平面内点K的一面投影，可过该点绘制平面内的直线MN，完成平面内直线MN的两面投影，然后完成点K的另一面投影；图2-31(b)中显示已知平面内点K的一面投影，可过该点与平面内的已知点(点A)绘制平面内的直线AD，完成平面内直线AD的两面投影，然后完成点K的另一面投影；图2-31(c)中显示已知平面内点K的一面投影，可过该点绘制与平面内的已知直线平行的直线MN，完成平面内直线MN的两面投影，然后完成点K的另一面投影。4．求投影面垂直位置平面的实形前面学