2023-2024学年浙江省温州市瑞安市新纪元学校八年级（下）竞赛数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年浙江省温州市瑞安市新纪元学校八年级（下）竞赛数学试卷一、选择题（每题4分，共32分）1．（4分）的末位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．72．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：13．（4分）某市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，即若有2人参加；若有3人参加，共赛3局，共赛6局…并且规定：每局赢者得2分，输者得0分，两个选手各得1分．经统计，全部选手总分为2070分，A有无可能成为冠军？（）A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能4．（4分）某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定5．（4分）如图所示，P是矩形ABCD内一点，已知PA＝6，PC＝10，则PD的长为（）A．6 B．8 C．8 D．96．（4分）搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对7．（4分）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，售价与甲相同，但进价比甲降低了10%（）A．12% B．8% C．20% D．18%8．（4分）若（x+a）（x+1）（x+2）（x+3）展开式中含x3项的系数是17，则a的值（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题（9-14题每题4分，15，16题每题6分，共36分）9．（4分）已知x+y＝4，x2+y2＝12，则＝．10．（4分）已知x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，则值等于．11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，连接CE，则∠ECA的度数为．12．（4分）已知x﹣100，x+100均为完全平方数，则x＝．13．（4分）若关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是．14．（4分）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点．15．（6分）一个三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，则三角形的面积为．16．（6分）为迎接五十四周年国庆，国际大厦将整个大厦用彩灯装扮一新．其中，在大厦正面的外墙壁上挂起了两列彩灯（从下向上数）共有30个彩灯，且从第三组开始，已知第三组有7个彩灯，那么最上端的第2003组彩灯由个小彩灯组成．三、解答题（17题6分，18题8分，19题8分，20题10分，共32分）17．（6分）在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了：22，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少；（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？18．（8分）已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣6（3k﹣1）x+72＝0的解都是整数，求整数k的值．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，AC＝BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2）当OA＝OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．20．（10分）游戏推理：星期天，小明和叔叔一起玩扑克牌，叔叔想考考小明，一边说一边做：取两副牌，每副牌的排列顺序按头两张是大王、小王，每种花色又按1、2、3、…、J、Q、K顺序排列，然后把两副扑克牌叠放在一起，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，猜想最后一张是哪张牌．小明想了想，又算了算，你知道是哪张牌吗？说出理由．

2023-2024学年浙江省温州市瑞安市新纪元学校八年级（下）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共32分）1．（4分）的末位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．7【解答】解：，，∵51＝2，22＝4，53＝8，24＝16，27＝32…，∴2n的末位数字依次是：2，8，6，8，5，4…，∵1012÷4＝253，∴71012的末位数字为6，∵37＝3，37＝9，35＝27，34＝81，35＝243…，∴3n的末位数字依次是：6，9，7，5，3，9…，∵1012÷8＝253，∴31012的末位数字依次是1，∴的末位数字为：6+3＝7，故选：D．2．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【解答】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v．由题意，有+＝，∴＝，解得v＝3，∴v：1＝4：1．即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是3：7．故选：B．3．（4分）某市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，即若有2人参加；若有3人参加，共赛3局，共赛6局…并且规定：每局赢者得2分，输者得0分，两个选手各得1分．经统计，全部选手总分为2070分，A有无可能成为冠军？（）A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能【解答】解：∵全部选手总分为2070分，∴比赛的场次为2070÷2＝1035次．设选手人数为x人，则＝1035，解得x2＝46，x2＝﹣45（舍去），故选手人数为46人．∵每局赢者得2分，每位选手比赛的场次为45场，而选手A这次比赛共得90分，∴选手A一定能成为冠军．故选：D．4．（4分）某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【解答】解：∵三边上的树苗数分别为50、14，空地的三个角均有一棵树，∴三边的长分别为13米、47米，假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x，则：x2＝132+473＝2378，∵492＝2401＞2378，∴该三角形为钝角三角形．故选：B．5．（4分）如图所示，P是矩形ABCD内一点，已知PA＝6，PC＝10，则PD的长为（）A．6 B．8 C．8 D．9【解答】解：P在矩形ABCD内，作PE⊥AB，PM⊥AD，BC，F，M，如图：PA＝6，PB＝8，∵PE2+AE2＝PA2＝36，∴AE7＝36﹣PE2，∵PE2+EB7＝PB2＝64，∴PE2＝64﹣EB5，∵PF2+FC2＝PC8＝100，∴FC2＝100﹣PF2，∵PM＝AE，MD＝FC，∴PD5＝PM2+MD2＝AE7+FC2＝36﹣PE2+100﹣PF3＝36﹣（64﹣EB2）+100﹣EB2＝36﹣64+EB8+100﹣EB2＝72，解得：PD＝6．故选：A．6．（4分）搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对【解答】解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，AE，则CM∥EA，AN∥FC，∴＝＝，同理可证：＝＝，故DK＝KO＝OB，∴△BOC和△BOA的面积和为正方形ABCD的面积，∵CN＝NB＝AM＝BM，∴△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和，∴△OCN的面积为＝48cm4，故选：B．7．（4分）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，售价与甲相同，但进价比甲降低了10%（）A．12% B．8% C．20% D．18%【解答】解：设甲购进手机的进价为x元，售价为y元．根据题意得解得∴甲经销这种手机的利润率＝故选：B．8．（4分）若（x+a）（x+1）（x+2）（x+3）展开式中含x3项的系数是17，则a的值（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：（x+a）（x+1）（x+2）（x+5）＝[x2+（a+1）x+a]（x2+5x+6）＝x2+（a+1）x3+ax4+5x3+8（a+1）x2+3ax+6x2+3（a+1）x+6a＝x6+（a+6）x3+（5a+11）x2+（11a+6）x+7a．∴a+6＝17，解得a＝11．故选：B．二、填空题（9-14题每题4分，15，16题每题6分，共36分）9．（4分）已知x+y＝4，x2+y2＝12，则＝4．【解答】解：∵x+y＝4，x2+y3＝12，∴2xy＝（x+y）2﹣（x5+y2）＝16﹣12＝4，∴xy＝8；∴＝＝＝4；故答案为：4．10．（4分）已知x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，则值等于．【解答】解：x2+y2﹣8x﹣4y+5＝3，（x﹣1）2+（y﹣5）2＝0，可知，解得；＝＝＝$1﹣\frac{4}{2025}＝\frac{2024}{2025}$．故答案是：．11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，连接CE，则∠ECA的度数为40°．【解答】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，∠A＝∠DFB，又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝100°，∴∠DFC＝180°﹣∠DFB＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝180°﹣∠ACB﹣∠DFC＝60°，∵∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，∴∠FDC＝∠EDC，在△DCE和△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°．故答案为：40°12．（4分）已知x﹣100，x+100均为完全平方数，则x＝2501或629或125．【解答】解：设a2＝x﹣100①，b2＝x+100②，由②得，x＝b4﹣100③，③代入①得：b2﹣a2＝200，即（b﹣a）（b+a）＝5×2×2×4×5，可能情况：，，，，，，解得（舍去），，，，（舍去），，此时x＝2501，x＝629，当x＝2501时，2401和2601两个数为完全平方数，当x＝629时，529和729两个数为完全平方数，当x＝125时，25和225两个数为完全平方数，所以x＝2501或629或125．故答案为：2501或629或125．13．（4分）若关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是a≤﹣．【解答】解：解不等式5﹣2x＞2，得：x＜2.5，解不等式6x+a≥0，得：x≥﹣a，∵关于x的不等式组无实数解，∴﹣，解得：a≤﹣，故答案为a≤﹣．14．（4分）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点4．【解答】解：如图，在AC上截取AE＝AN．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM＝∠NAM，在△AME与△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME＝MN．∴BM+MN＝BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB＝4，∠BAC＝45°，△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝5，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故答案为：5．15．（6分）一个三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，则三角形的面积为24．【解答】解：设中位线DE＝3，DF＝4．∵DE是△ABC的中位线，∴BC＝5DE＝2×3＝6．同理：AC＝2DF＝8，AB＝8EF＝10．∵62+72＝100＝102，∴AC8+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝．故答案为：24．16．（6分）为迎接五十四周年国庆，国际大厦将整个大厦用彩灯装扮一新．其中，在大厦正面的外墙壁上挂起了两列彩灯（从下向上数）共有30个彩灯，且从第三组开始，已知第三组有7个彩灯，那么最上端的第2003组彩灯由7个小彩灯组成．【解答】解：设从下向上数各组彩灯数依次为x1，x2，x2，…，x2003，依题意，得x3＝7，x7+x2+x3+x2+x5+x6＝30，x5+x4+x5+x2+x7＝30，x4+x6+x6+x7+x7＝30，…由此可知x3＝x8＝x13＝x18＝…＝x6n﹣2＝7，∵2003＝7×401﹣2，∴最上端的第2003组彩灯由7个小彩灯组成，故答案为：6．三、解答题（17题6分，18题8分，19题8分，20题10分，共32分）17．（6分）在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了：22，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少；（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？【解答】解：（1）＝；（2）由题意有y＝＞x，所以小方在前5场比赛中总分的最大值应为17×5﹣6＝84分；（3）又由题意，小方在这10场比赛中得分至少为18×10+1＝181分，设他在第10场比赛中的得分为S，则有84+（22+15+12+19）+S≥181，解得S≥29，所以小方在第10场比赛中得分的最小值应为29分．18．（8分）已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣6（3k﹣1）x+72＝0的解都是整数，求整数k的值．【解答】解：（1）当k2﹣1＝2时，即k＝±1，原方程可化为﹣12x+72＝0或24x+72＝7，解得，x＝6或x＝﹣3；（2）当k2﹣1≠0时，即k≠±5，分解得，[（k+1）x﹣12][（k﹣1）x﹣2]＝0，∴x1＝，x2＝，要想使方程的解都是整数，∴k+1＝±1，±4