2024年江苏省扬州市树人教育集团九年级中考三模数学试题（原卷版+解析版）

2024年江苏省扬州市树人教育集团九年级中考三模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）1.在下列四个实数中，的倒数是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.3.如图所示，该几何体的俯视图是（）A.正方形 B.长方形 C.三角形 D.圆4.已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（）A. B. C. D.5.如图，点、、、在网格中小正方形顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（）A.2 B. C. D.6.已知点A（1，m），B（，n），在一次函数y＝2x+1图象上，则m与n的大小关系是（）Am＞n B.m＝n C.m＜n D.无法确定7.如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.个8.如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①；②四边形AFCE的面积是定值；③当时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）9.“燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为______．10.函数中，自变量x的取值范围是____．11.分解因式：x2y-4y=____．12.已知关于x的方程的根是和3，则_______．13.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．14.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）15.如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为_____.16.如图，的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边与y轴交于点E，若，，，则点E的坐标为______．17.如图，点是反比例函数图像上一点，作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图像于、两点，的面积是，则的值是______．18.如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则最小值为__________________．三、解答题（本大题共10小题，共96分.）19.（1）计算：．（2）求不等式的正整数解．20.先化简再求值：，其中．21.如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长．22.每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示．类别ABCD视力视力4.9视力视力健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______人，D类所在扇形的圆心角的度数是______；（2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类；（3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．23.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为；（2）小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．24.为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？25.如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．（1）求证：是的切线；（2）当的半径为，时，求的长．26.在矩形中，．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点E，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C．（2）在（1）的条件下，若，且，则的长为27.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求周长的最小值；（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．28.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式．

2024年江苏省扬州市树人教育集团九年级中考三模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）1.在下列四个实数中，的倒数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了倒数，熟悉掌握倒数的概念是解题的关键．把直接变成倒数求解即可．【详解】由倒数的定义可知，的倒数是．故选：B．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方以及完全平方公式，根据积的乘方，合并同类项和完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A．，故不正确；B．与不是同类项，不能合并，故不正确；C．，故不正确；D．，正确；故选D．3.如图所示，该几何体的俯视图是（）A.正方形 B.长方形 C.三角形 D.圆【答案】C【解析】【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形．故选：C．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的概念是正确判断的前提．4.已知圆锥底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算．【详解】解：圆锥的侧面积是．故选：C．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．5.如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长．【详解】解：AD=，AB=2，CD=3，∵AB∥DC，∴△AOB∽△DOC，∴，∴设AO=2x，则OD=3x，∵AO+OD=AD，∴2x+3x=5．解得：x=1，∴AO=2，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．6.已知点A（1，m），B（，n），在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A.m＞n B.m＝n C.m＜n D.无法确定【答案】C【解析】【分析】由k=2＞0根据一次函数的性质可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=2x+1中k=2＞0，∴该一次函数y随x的增大而增大，∵点A（1，m），B（，n）在一次函数y=2x+1的图象上，且1＜，∴m＜n．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的正负得出该函数的增减性是关键．7.如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；，，判断，由此即可判断②；求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断③；利用图象法即可判断④．【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，，对称轴为直线，，故①正确；，，，故故②错误；二次函数的图象与轴的一个交点坐标为；二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为；时，；将代入中，则故③正确；由函数图象可知，当当时，，故④正确；故正确的个数为：个故选：C8.如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①；②四边形AFCE的面积是定值；③当时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=45°，从而可判定①正确；由已知及①可得△CAF∽△DAE，由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45°，，由正方形的性质可证明△ADE≌△CDE，可得AE=CE，即可判断②；即有∠EAC=∠ECA，再由∠AEC=135°可得∠EAC=∠ECA=22.5°，从而CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，即可判定③正确；连接BD交AC于点O，由∠ADE=∠CDE=45°知，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，由知，点F的运动速度是点E的运动速度的倍，即④错误，因而可确定答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠FAE=∠DAC=45°，∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45°，∴∠CAF=∠DAE，故①正确；∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形，∴即，∵∠CAF=∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴∠ADE=∠ACB=45°，，∵∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDE=45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE=CE，，∴∠EAC=∠ECA，，∴四边形AECF的面积是定值，故②正确；∵∠AEC=135°，∴，∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA，∴CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，∵∠ADE=∠CDE=45°，∴DE平分∠ADC即点E是△ADC角平分线的交点，从而是△ADE的内心，故③正确；如图，连接BD交AC于点O，∵∠ADE=∠CDE=45°，当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，∴点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，∵，且点F与点E的运动时间相同，∴，即点F与点E的运动速度不相同，故④错误故选：C．【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键．确定点E的运动路径是本题的难点所在．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）9.“燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为______．【答案】【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法，根据科学记数法的表示形式直接求解即可．【详解】解：，故答案为：．10.函数中，自变量x的取值范围是____．【答案】【解析】【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；故答案为x≠2．11.分解因式：x2y-4y=____．【答案】y(x+2)(x-2)【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，故答案为：y(x+2)(x-2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．12.已知关于x的方程的根是和3，则_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．由关于x的方程的根是和3，可得，计算可求，然后代值求解即可．【详解】解：∵关于x的方程的根是和3，∴，解得，∴，故答案为：．13.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．【答案】【解析】【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．【详解】解：设平均每年增产的百分率为x；第一年粮食的产量为：300（1+x）；第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；故答案为：300（1+x）2＝363．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．14.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】7.5【解析】【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可；【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键．15.如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为_____.【答案】【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据尺规作图的方法判定出菱形是解题的关键．根据题目所给的作图信息判定出四边形为菱形，再根据菱形的性质建立勾股定理的等式求解即可．【详解】解：连接，，，设与相交于点，如图所示：由作图可得，，∴四边形为菱形，∴，，，在中，由勾股定理得，，∴；故答案为：．16.如图，的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边与y轴交于点E，若，，，则点E的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．求出，，，由平行四边形的性质得出，过点作轴于点，求出，，求出的长，则可得出答案．【详解】解：，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，过点作轴于点，，，，∴∴，，．故答案为：．17.如图，点是反比例函数图像上一点，作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图像于、两点，的面积是，则的值是______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，设，可求，，根据的面积是，可得，结合，求出符合题意的k即可．【详解】解：设，则，∵作轴，交反比例函数的图像于，∴，∴，∵轴，交反比例函数的图像于点，∴，∴，∵的面积是，∴，∴∴，∴，∴或，由题意知，∴，故答案为：2．18.如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为__________________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值．【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点，∵，∴．∵，轴，∴，，∴，又∵，，∴（ASA），∴，∵，∴点在以为直径的圆上，取的中点，连接，∴，，∴当点三点共线时，有的最小值为；故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共96分.）19.（1）计算：．（2）求不等式的正整数解．【答案】（1）；（2），1、2、3．【解析】【分析】本题主要考查了实数混合运算，求不等式的正整数解，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据零指数幂和算术平方根定义，特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1，求出不等式解集，然后求出不等式的正整数解即可．【详解】解：（1）；（2），去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，∴不等式的正整数解为1、2、3．20.先化简再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先算分式的加法，再算乘法运算，最后代入求值，即可求解．【详解】解：原式．当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．21.如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）利用AAS即可证明△ABE≌△ADF；（2）设菱形的边长为x，利用全等三角形的性质得到BE=DF=x−2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），∵AE⊥BCAF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF(AAS)；【小问2详解】解：设菱形的边长为x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x−2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x−2（全等三角形的对应边相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+(x−2)2=x2，解得x=5，∴菱形的边长是5．【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．22.每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示．类别ABCD视力视力4.9视力视力健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______人，D类所在扇形的圆心角的度数是______；（2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类；（3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．【答案】（1）4；（2）B（3）135人【解析】【分析】（1）首先利用组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数；（2）用周角乘以类所占的百分比即可；（3）用样本数据估计总体数据即可．【小问1详解】解：观察两个统计题知：类有7人，占，所以调查的总人数为（人，所以视力情况属于类的学生有（人，类所在扇形的圆心角的度数为．【小问2详解】解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了类，所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类．【小问3详解】解：（人，所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．23.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为；（2）小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了概率，用树状图或表格求概率，熟悉掌握树状图或表格法列出所有可能性是解题的关键．（1）根据摸出的可能性运算求解即可；（2）运用列表法列出所有可能性，运算求解即可．【小问1详解】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸出的球为标有数字的结果有种，∴摸出的球为标有数字的概率为；【小问2详解】列表如下：012012由表格可知，共有种等可能的结果．其中点在坐标轴上的结果有：，，，，，共种，∴点在坐标轴上的概率为．24.为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？【答案】第一批足球每个的进价是50元【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一批足球每个的进价是元则第二批足球每个的进价是元，根据第二批所购进足球的数量比第一批少40个列出方程求解即可．【详解】解：设第一批足球每个的进价是元则第二批足球每个的进价是元根据题意得：，解得，经检验是原方程的解，符合实际题意，，答：第一批足球每个的进价是50元．25.如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．（1）求证：是的切线；（2）当的半径为，时，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了圆的性质，圆周角，切线的判定，平行线的判定及性质，三角函数的比值关系等知识点，灵活运用圆的性质进行角的等量代换是解题的关键．（1）由得到，由角平分线可得到，利用圆的性质进行角的等量代换证出，即可由平行线的性质得到，从而推导出结果；（2）利用角的等量代换和三角函数的比值关系求出和的长，再利用勾股定理运算即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵是圆的半径，∴是的切线；【小问2详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．26.在矩形中，．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点E，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C．（2）在（1）的条件下，若，且，则的长为【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）以B点为圆心，长为半径画弧，交于E点，连接，作的垂直平分线，与的交点即为F点．（2）根据，设，，利用，列式计算求得，则可得．设，在中，由勾股定理列式计算求出x的值即可．【小问1详解】如图所示：E点和F点即为所求．小问2详解】∵四边形是矩形，，，，，∴可以假设，，，，，，，，设，则，在中，，即，，．故答案为：5．【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，正弦函数的定义，勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求周长的最小值；（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．【小问1详解】解：由题意可知，设抛物线的表达式为，将代入上式得：，所以抛物线的表达式为；【小问2详解】作点O关于直线的对称点E，连接，∵，，，∴，∵O、E关于直线对称，∴四边形为正方形，∴，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，∵的周长为，，的最小值为10，∴的周长的最小值为；【小问3详解】由已知点，，，设直线的表达式为，将，代入中，，解得，∴直线的表达式为，同理可得：直线的表达式为，∵，∴设直线表达式为，由（1）设，代入直线的表达式得：，∴直线的表达式为：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴当时，此时P点为.．【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．28.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“