第11讲 数形结合抛物线（含解析）

【例1】抛物线y2=8x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，若FA×QB=0，则|AF|-|BF|【例2】设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为.【例3】过抛物线y2=2px（p<0）上一定点P)x0,y0(（y0<0作两条直线分别交抛物线于A)x1,y1(，B)x2,y2(两点，求证:当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB的斜率为非零常数.【例4】已知抛物线y2=2px（p<0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上两动点，且7AFB=设线段AB的中点M在l上的投影为点的最大值为()A.4B.1C.2线BC所过的定点的坐标为.【例6】已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2强化训练1.如图11-6，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点，则AF:BF的结果为()A.3:1B.3:2C.2:1D.3:1或1:3yAB图11-62.设点M(-1,)是抛物线y2=2px(p>0)准线上一点，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若FM×FA=0，则△MAB的面积为(A.2B.C.3D.3.如图11-7，已知直线y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x相交A，B两点，F为C的焦点，若FAi=3iFBi，则k的值为()±43±D.±43±D.±C.B.±222l:yk(I1),k0yMNBPAyMNBPAF1图1174.已知斜率为2的直线l过抛物线y2=px(p>0)的焦点F，且与y轴相交于点A.若△AOF(O为坐标原点)的面积为1，则p=.5.设抛物线2,(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF=2AF，且△ACE的面积为3、i2，则p=.【例1】抛物线y2=8x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，若FA×QB=0，则|AF|-|BF|【解析】【解法1】显然直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=k(x-2)(k¹0).y=8x.由y2=k(x-2),得ky2-8yy=8x.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有y1y2=-16，x1x2=4.因为FA×QB=0，所以x1x2+2(x1-x2)+y1y2-4=0，解得x1-x2=8.所以|AF|-|BF|=(x1+2)-(x2+2)=8.故选【点拨】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出y1y2，x1x2，再利的定义求解.【解法2】如图11-1所示，显然直线AB与x轴不垂直，设A(8a2,8a)，B(8b2,8b).AyAQOExOExB因为A，F，B三点共线，所以整理得ab=--2,8a)，-=(8b2+2,8b所以(8a2-2)(8b2+2)+64ab=0，解得a2-b2=1.因为|AF|-|BF|=(8a2+2)-(8b2+2)=8(a2-b2)，所以|AF|-|BF|=8.故选A.【点拨】利用抛物线的参数方程﹐设出A(8a2,8a)，B(8b2,8b)，利用三点共线以及抛物线的定义求解.【解法3】如图11-1，作AE^x轴于点E.因为=0，所以AF^QB，△AFE∽△QFB，.设|AF|=m，|BF|=n，则有，由①②解得m-n=8，所以|AF|-|BF|=8.故选A.【解法4】设直线方程为x=my+2，与抛物线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点.因为FA×QB=0，所以BF×QB=0，即点B在以QF为直径的圆x2+y2=4上.又因为点B在抛物线y2=8x上，·i5-4， 进而可得x1=2·5+4.所以|AF|-|BF|=(x1+2)-(x2+2)=x1-x2=8.故选A.【赏析】【解法1】联立直线与抛物线方程，利用“设而不求”通法求解，“设而不求”是解析几何中非常重要的一个解法﹐能够大大简化计算量.解法⒉充分挖掘题中条件，妙用抛物线参数方程，利用三点共线巧妙转化.【解法3】构造相似三角形，结合焦点弦的常用结论解决问题，因此记住一些常用结论很有意义.【解法4】通过代数运算求出点的坐标，结合抛物线焦半径解题.四种解法开阔思路﹐发散思维，有利于培养数学解题能力和思维能力.【例2】设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为.【解析】yMa,2Ma,2pa)A(0,2)KOy22P(P0)p2'F图112所以y2=4x或y2=16x.【点拨】设出点M坐标，利用抛物线定义与两直线垂直得到方程组求解.这里直接利用了直径所对应的圆周角为直角这一性质.如图11-3所示，设点M易知以MF为直径的圆与y轴相切，切点坐标为，所以yA=2，所以y0=2yA=4，所以M由抛物线的定义知|MF|=5， M 2·/ 2·KFy22pz(p0)图113【点拨】由“以MF为直径的圆与y轴相切"，可得圆心纵坐标为2，M点的纵坐标为4，利用焦半径解得p=8或p=2，所以y2=4x或y2=16x.【点拨】设出点M的坐标，利用AM，AF的数量积为零，及MF=5得解.【解法4】如图11-4所示，易知以MF为直径的圆与y轴相切，可得切点A的坐标为(0,2)，MyMN2OOy2y22pzp图114【点拨】由直线AO与以MF为直径的圆相切得到上OAF=上AMF，应用sin上OAF=sin上AMF求解.【赏析】圆锥曲线标准方程的求解，常用待定系数法或利用圆锥曲线的定义求解.本题解法的实贲都是待定系数法，不同之处在于对条件的转化的方向或形式不一样.【解法1】、【解法2】主要从代数的角度考虑，侧重于代数的运算，区别在于【解法1】把直角转化为斜率之积等于定义，【解法4】应用三角函数关系求解.【例3】过抛物线y2=2px（p>0）上一定点P(x0,y0)（y0>0作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，求证:当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB的斜率为非零常数.【解析】【解法1】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=-2y0.从而kAB=为定值.【点拨】设出点的坐标，利用地物线上两点B(x1,y1)，C(x2,y2)连线的斜率公式求解.【解法2】设直线PA的斜率是k，则直线PB的斜率是-k，所以直线PA的方程是y=k(x-x0)+y0，直线PB的方程是y=-k(x-x0)+y0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 所以kNs=为定值.【点拨】设出直线PA，PB的斜率，求出直线PA，PB的方程，与地物线方程联立得到A，B两点的横坐标求解.【赏析】本题以抛物线为载体，考查直线斜率的计算，【解法1】主要利用抛物线上两点(x1,y1)，(x2,y2)连线的斜率公式巧妙化简，是有关直线和抛物线的综合问题的有效解题策略，【解法2】利用直线和抛物线方程，计算各点坐标，对学生的计算能力要求较高.【例4】已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上两动点，且上AFB=设线段AB的中点M在l上的投影为点的最大值为()A.4B.1C.2【解析】+b2-ab，22【点拨】将问题聚焦在三角形中，利用抛物线定义、余弦定理及基本不等式求解.因为|MN|=，本△ABF中使用正弦定理有【点拨】将问题聚焦三角形中，利用抛物线的定义、正弦定理以及三角函数的有界性求解.【解法3】过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，-|MA|2=|FM|2-+BB1)2(2,2所以4|FM|2-|AB|22|MN|2，【点拨】从向量的角度出发，巧借向量数量积的极化恒等式，利用基本不等式求解.【赏析】【解法1】和【解法2】将问题聚焦在三角形中，利用正弦、余弦定理，再利用三角函数的有界性和基本不等式求解，是考虑与三角形有关的最值问题的常用解题策略.【解法3】从向量的角度出发，巧借向量数量积的极化恒等式，利用基本不等式求解，视角独特.线BC所过的定点的坐标为.【解析】2=2x联立消去x得y2-2my-2n=0，所以y1+y2=2m，y1y2=-2n①,y1y2y1y2)y1y222【解法2】设出直线BC的方程x=my+n，及点B，C的坐标，联立方程组，利用韦达定理，将条件中的直角利用向量进行坐标转化，求出m，n的关系，进而求解所过的定点.分类讨论：①当直线BC的斜率存在，即y1+y2≠0时，yy12即BC过定点(3,·).(2)当直线BC的斜率不存在时，y1+y2=0，亦过点(3,·).综上，直线BC过定点(3,·).利用抛物线上两点B(x1,y1)，C(x2,y2)连线的斜率公式k=，以及两直线垂直，【解法3】设B(x1,y1)，C(x2,y2)，A(x0,y0)，1y2+4p2即y(y12)y1y22px=0②,【点拨】利用抛物线上两点连线的斜率公式求解，给出一般情况下的解法.【赏析】【解法1】将直线BC的方程与抛物线方程联立后，利用向量数量积等于0求出定点坐标，是通法.【解法2】利用抛物线上两点B(x1,y1)，C(x2,y2)连线的斜率公式以及两直线垂直，斜率乘积为—1求解.【解法3】利用抛物线上两点连线的斜率公式求解，给出一般情况下的解法，以后遇到此类型题目，用两次结论可以提高解题速度和准确度.【例6】已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2【解析】x1联立2k,消去y得k2x2+x+4k2=0，所以x1【点拨】联立直线与拋物线方程，根据抛物线的焦半径公式，求出x1=4，x2=1，再利用两根之间的关系求出AB的斜率.yMy=yMy=k(x+2),k>0BNPOF(2,0)xl:x=-2C:y2=8xA因为FA=2FB，所以AM=2BN，所以B为AP的中点，B(,y0)，所以4y=8(+2)=2y+16，y=8，所以【点拨】由抛物线的定义，以及平面几何知识可得B为AP的中点，设出B点坐标，可以求A点坐标，代入抛物线方程即可求解.【解法3】如图11-5所示，易得直线AB所过定点P(-2,0)在C的准线上，过点A，B作C的准线的垂线AM，BN，垂足为M，N，则AF=AM，BF=BN，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由FA=2FB，得MA=2NB，B是PA的中点，y1=2y2，y=8x1，y=8x2所以x1=4x2.MANB所以x1=4，y1=8x1=4，【点拨】由抛物线的定义及平面几何知识可得B是PA的中点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用纵坐标的关系，得出横坐标的关系，进而求出点A的坐标，问题得以解决.【解法4】由题意得yA=2yB，联立消去x得ky2-8y+16b=0，因为k>0，解得k=.【点拨】得到yA=2yB后，联立直线与抛物线方程，消去x，把求出的yA,yB带入yA=2yB求解.【解法5】如图11-5所示，已知直线过定点P(-2,0)，点P在C的准线上，过点A，B作C的准线的垂线AM，BN，垂足分别为M，N，则BF=BNAF=AM，BF=BN.设A(x1,y1)，B(x2,y2)FAFBMANB,B是PA的中点，所以kAB=【点拨】由平面几何知识，用三角形中位线定理，可得OB=BF，求得B(1,2·)，进而求出AB的斜率.【赏析】【解法1】将直线方程与抛物线方程联立，根据抛物线的焦半径公式，求出x1=4，x2=1再利用两根之间的关系求出点AB的斜率.【解法2】、【解法3】根据抛物线的定义，平面几何知识证得B为AP的中点，利用A，B坐标的关系，进而求出点A的坐标，问题得以解决.【解法4】得到y4=2yB后，将直线方程与抛物线方程联立，消去x，利用两根关系求解.【解法5】由平面几何知识，用三角形中位线定理，可得OB=BF，求得B(1,2·)进而求出AB的斜率.强化训练1.如图11-6，过抛物线