新教材同步备课2024春高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.4概率的基本性质教师用书新人教A版必修第二册

10.1.4概率的基本性质学习任务驾驭概率的基本性质并能运用这些性质求一些简洁事务的概率．(数学抽象、数学运算)甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．问题：甲获胜的概率是多少？学问点概率的基本性质性质1对随意的事务A，都有P(A)≥0．性质2必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3假如事务A与事务B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6设A，B是一个随机试验中的两个事务，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A与B为互斥事务，则P(A)＋P(B)＝1． ()(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事务A与B为对立事务． ()[答案](1)×(2)×2．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．0.3[P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]类型1互斥事务概率公式的应用【例1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8，10)[10，12)[12，14)[14，16)[16，18]概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].[解]记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事务A，B，C，D，E，且彼此互斥．(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82．(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38．(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24．运用互斥事务的概率加法公式解题的步骤(1)确定题中哪些事务彼此互斥；(2)将待求事务拆分为几个互斥事务的和；(3)先求各互斥事务分别发生的概率，再求和．[跟进训练]1．(1)抛掷一枚骰子，视察出现的点，设事务A为“出现1点”，B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝16(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事务A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事务B表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝310，P(B)＝1(1)13(2)45[(1)设事务C为“出现1点或2点”，因为事务A，B是互斥事务，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝16(2)因为A，B是互斥事务，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310+1类型2对立事务的概率公式【例2】甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为1(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．[解](1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事务，所以“甲获胜”的概率P＝1－12-1(2)法一：设事务A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事务的并事务，所以P(A)＝16法二：设事务A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事务，所以P(A)＝1－13＝2利用对立事务的概率公式解题的思路(1)当对立事务A，B中一个事务的概率易求，另一个事务的概率不易求时，干脆计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事务的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事务的概率．(2)应用对立事务的概率公式时，确定要分清事务和其对立事务原委是什么．该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．[跟进训练]2．备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解]记“射击一次，命中k环”为事务Ak(k＝7，8，9，10)．(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60．(2)记“至少命中8环”为事务B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．(3)记“命中不足8环”为事务C.则事务C与事务B是对立事务．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．类型3非互斥事务概率加法公式的应用【例3】从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事务A表示“选到的数能被2整除”，事务B表示“选到的数能被3整除”，求下列事务的概率：(1)这个数既能被2整除也能被3整除；(2)这个数能被2整除或能被3整除；(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．[解]明显从1～20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20．其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以P(A)＝1020＝12，P((1)“这个数既能被2整除也能被3整除”即事务AB，因为1～20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以P(AB)＝320(2)“这个数能被2整除或能被3整除”即事务A∪B，由分析得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝12(3)由于事务“这个数既不能被2整除也不能被3整除”(即事务AB)与事务“这个数能被2整除或能被3整除”(即事务A∪B)为对立事务，所以PAB＝1－P(A∪B)＝1－首先推断该事务不是互斥事务，为此须要考虑非互斥事务概率加法如何求解，借助公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)进行计算．[跟进训练]3．甲、乙、丙、丁四人参与4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为14[解]设事务A＝“甲跑第一棒”，事务B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝14，P(B)＝1记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，故P(A∩B)＝112所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝141．若A，B是互斥事务，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A．0.3B．0.7C．0.1D．1A[∵A，B是互斥事务，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3．故选A.]2．从一批羽毛球产品中任取一个，假如其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)g范围内的概率是()A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68B[质量在[4.8，4.85)g范围内的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38．]3．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．(1)假如B⊆A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；(2)假如A，B互斥，则P(A∪B)＝_______，P(AB)＝________．(1)0.40.2(2)0.60[(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2．(2)假如A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．P(AB)＝P(∅)＝0．]4．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．0.96[设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事务A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．若事务A和事务B为互斥事务，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．若事务A和事务B不是互斥事务，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．3．若事务A和事务B是对立事务，那么P(A)，P(B)有什么关系？[提示]P(A)＋P(B)＝1．课时分层作业(四十七)概率的基本性质一、选择题1．某学校高一年级派甲、乙两个班参与学校组织的拔河竞赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为13和14，则该年级在拔河竞赛中取得冠A．712B．112C．5A[甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事务，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事务的和事务，其概率为两个互斥事务的概率之和，即为132．若A，B是互斥事务，则()A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1D[∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1)．]3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7B[设事务A为“只用现金支付”，事务B为“既用现金支付也用非现金支付”，事务C为“不用现金支付”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.4．故选B.]4．某学校组织参与爱好小组，其中有82%的学生选择数学小组，60%的学生选择英语小组，96%的学生选择数学或英语小组，则该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%C[设“选择数学小组”为事务A，“选择英语小组”为事务B，则“选择数学或英语小组”为事务A＋B，“既选择数学小组又选择英语小组”为事务AB，依题意得P(A)＝82%，P(B)＝60%，P(A∪B)＝96%，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝82%＋60%－96%＝46%.故该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是46%.]5．若随机事务A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是()A．54，C．54，D[由题意可知0即0即1＜a＜2，54二、填空题6．事务A，B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)＝2P(B)，则P(A25[因为事务A，B互斥，它们都不发生的概率为2所以P(A)＋P(B)＝1－25又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋12P(A)＝3解得P(A)＝25.7．已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是121735[从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事务A，“都是白棋子”记为事务B，则A，B为互斥事务．所求概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝18．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是________．0.10[“射手命中圆面Ⅰ”为事务A，“命中圆环Ⅱ”为事务B，“命中圆环Ⅲ”为事务C，“不中靶”为事务D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90．因为中靶和不中靶是对立事务，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10．]三、解答题9．(源自湘教版教材)某企业有三个分厂，现将男女职工人数统计如下：项目第一分厂其次分厂第三分厂总计男400人350人250人1000人女100人50人50人200人总计500人400人300人1200人若从中随意抽取一名职工，则该职工是女性或是第三分厂职工的概率是多少？[解]设A＝“抽到女工”，B＝“抽到第三分厂职工”，则P(A)＝2001200＝16，P(B)＝3001200＝14，因此，该职工是女性或是第三分厂职工的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1＝3810．(2024·北京丰台期中)在一次随机试验中，其中3个事务A1，A2，A3的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是()A．A1＋A2与A3是互斥事务，也是对立事务B．A1＋A2＋A3是必定事务C．P(A2∪A3)＝0.8D．P(A1＋A2)≤0.5D[由已知条件可知，一次随机试验中产生的事务可能不止事务A1，A2，A3这三个事务，故P(A1∪A2∪A3)≤P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝1，从而AB错误；P(A2∪A3)≤P(A2)＋P(A3)＝0.8，故C错误；P(A1＋A2)≤P(A1)＋P(A2)＝0.5，故D正确．故选D.]11．已知随机事务发生的概率满意P(A∪B)＝34，某人揣测事务AA．1B．12C．1C[事务A∩B与事件A∪B是对立事件，PA12．(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示：血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能相互输血．下列结论正确的是()A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1D．任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1AD[任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事务分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35．因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事务B′∪D′，依据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，A正确；B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何血型的人都可以给AB血型的人输血，知D正确．]13．抛掷一枚质地匀整的骰子，向上的一面出现随意一种点数的概率都是16，记事务A为“向上的点数是奇数”，事务B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B23[抛掷一枚质地匀整的骰子，向上的一面出现随意一种点数的概率都是1所以P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1214．袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率．[解](1)从袋中任取一球，记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事务A，B，C，D，它们彼此互斥，则P(A)＝13，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝5P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B∪C∪D)＝P(