高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练14九章算术-“堑堵”“鳖膈”“阳马”教师版

专题14《九章算术》-“堑堵”、“鳖膈”、“阳马”一、单选题1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，BC⊥CD，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】画出图形，取的中点，连接，，可得，则所求为，易证是直角三角形，则可得，进而求解.【详解】如图，取的中点，连接，，由题，，M为AD的中点，所以，，则为所求，由平面BCD，则，又，，所以平面，则平面，所以是直角三角形，即，又，所以，故选：C2．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依据题意将三棱锥放入长方体中，长方体的外接球为三棱锥的外接球，求出长方体外接球半径，即可求出外接球体积；再由“堑堵”的性质求剩余四棱锥的体积即可.【详解】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：外接球半径，所以外接球体积，阳马—的体积为．．故选：B．3．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】用补形法还原为正方体问题，然后用公式求解.【详解】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选：B.4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑中，平面BCD，，，点P在棱AC上运动，则面积最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由点P引帮助线，首先通过作帮助线可得，即转化为求PM的最小值，设，通过比例关系表示PM，并求其最值.【详解】如图，作于点Q，作，交BD于点M，连接得到，平面BCD，，又，，QM，面PQM，所以面PQM，所以设，，由，得到，，在中，，得到，，，当且仅当时，等号成立.故选：D.5．我国古代数学专著《九章算术》中介绍“堑堵”为：底面为直角三角形的直棱柱，如下图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖儒（四个面都为直角三角形的四面体），已知鳖儒体积为6，AB=3，AF=4，则阳马中AC与DF夹角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据条件可求出，然后将该三棱柱补全为长方体，然后可求出答案.【详解】，，由得，得，将该三棱柱补全为长方体，则AC与DF的夹角即为AC与CG的夹角，即为∠ACG，易得，，，由余弦定理得，故选：C6．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪"，其中，，当“阳马”（即四棱锥）体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据当“阳马”（即四棱锥）体积为，求得BC，再将将三棱柱补成长方体求解.【详解】解：由已知得，∴．将三棱柱置于长方体中，如下图所示，此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径为，∴三棱柱的外接球的体积为，故选：B7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】将三棱锥放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．【详解】如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满意题意的鳖臑，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，则，，，则异面直线BM与CD夹角的余弦值．故选：A．8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥是阳马，PA=5，AB=3，BC=4，则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B．50π C．100π D．【答案】B【解析】【分析】连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，则可证明平面ABCD，即O为该四棱锥的外接球的球心，在中，求得PC的值，进而可求得外接球半径R，代入公式，即可求得答案.【详解】连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，如图所示因为分别为PC，AC的中点，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，所以O到A,B,C,D的距离都相等，又，所以O为该四棱锥的外接球的球心，在中，，，所以，所以该四棱锥的外接球的半径，所以该阳马的外接球的表面积.故选：B9．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依据四棱锥的性质，分别求侧面与底面面积，即可得解.【详解】如图，由题意知,,平面,因为，所以,故选：B10．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.【详解】解：因为四棱锥为阳马，侧棱底面，如图，补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为，则，所以，所以该阳马的外接球的表面积为.故选：C.11．我国古代数学名著《九章算术》中给出了许多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的全部顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作出图形，设在三棱锥中，平面，且，，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】如下图所示：在三棱锥中，平面，且，，因为平面，、、平面，则，，，，，平面，平面，，所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且，，设线段的中点为，则，所以，点为三棱锥的外接球球心，设球的半径为，则，因此，球的表面积为.故选：A.12．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将“阳马”补成长方体，利用长方体的外接球半径与长方体棱长之间的关系、球的表面积公式及基本不等式即可求解.【详解】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同.因为长方体外接球的半径，所以该“阳马”外接球的表面积为:.故选：C.13．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一侧棱垂真于底面的四棱锥”.现有阳马，平面，，，，上有一点E，使截面的周长最短，则与所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通过底面绽开转化为平面图形，简洁找到最小值点，然后利用平移法作出异面直线所成的角，即可得解；【详解】解：将平面沿折至，使与共面，连接交于，连接，此时周长最短，作交于，则（或其补角）即为所求角，在中，，由，即，可得，在中，，在中，，故与所成角的余弦值等于．故选：D．14．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由题可得最小，利用绽开图可得此时，，利用正弦定理可得的外接圆半径为，进而可得，即得.【详解】因为固定，所以要使的周长最小，只需最小．如图，将四棱雉的侧面沿绽开，使得与矩形在同一个平面内，当P，E，F三点共线时，取得最小值．易得，，，．设的外接圆半径为，则．设三棱锥外接球的半径为，则，所以三棱锥外接球的表面积．故选：D.15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，则鳖臑的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先推断出点为三棱锥的外接球球心，利用勾股定理求出外接球半径，即可求出球的表面积.【详解】如图所示，取的中点，中点，连结，.由直角三角形的性质可知点为的外心，且平面，故球心在直线上.又，故点为三棱锥的外接球球心.设外接球半径为，则：，.球的表面积．故选：．16．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正方体中，当分别与，，，重合时，所形成的四面体中鳖臑共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】当与，重合时，由为等边三角形即可推断四面体不是鳖臑；当与，重合时，证明四个面均为直角三角形即可.【详解】如图，当与重合时，易得，故为等边三角形，此时四面体不是鳖臑；当与重合时，易得为直角三角形，又面，面，故，故为直角三角形，同理为直角三角形，此时四面体是鳖臑；当与重合时，易得，故为等边三角形，此时四面体不是鳖臑；当与重合时，易得为直角三角形，又面，面，故，故为直角三角形，同理为直角三角形，此时四面体是鳖臑；故共有2个.故选：B.17．《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，当△BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依据题意可证明，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.【详解】由题意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，故AB⊥,又AC⊥CD，平面ABC，故平面ABC，平面ABC，故,所以,当且仅当时取得等号，故,由AB⊥平面BCD，可知,故,所以,,所以鳖臑ABCD的表面积为，故选：D二、填空题(共0分)18．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】求出三角形ABC外接圆的半径，进而求出鳖臑P-ABC外接球的半径，求出体积.【详解】由题意可得三角形ABC外接圆的半径，因为PA⊥平面ABC，所以鳖臑P-ABC外接球的半径，故鳖臑P-ABC外接球的体积是.故答案为：19．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深化的探讨，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥，体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为_______.【答案】【解析】【分析】依据均值定理去求四棱锥取体积最大值时的长度，再去求三棱柱的表面积即可.【详解】四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号.所以三棱柱的表面积为.故答案为：20．《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥和三棱锥的内切球半径比为___________.【答案】【解析】【分析】设，依据等体积法求得两个棱锥内切球半径，即可求得结果.【详解】因为面，又四边形为正方形，故，又四棱锥的四个侧面均为直角三角形，设，，，故四棱锥的表面积；又三棱锥为鳖臑，其全部面均为直角三角形，又，，故三棱锥的表面积设四棱锥的内切球半径为，故，则，同理可得，故.故答案为：.21．在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们相互垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们相互垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们相互垂直的概率是.则的大小关系为___________.【答案】【解析】【分析】利用古典概型求概率的方法分别求出，比较出大小.【详解】如图所示，连接长方体的四个顶点，可得鳖臑.（1）从鳖臑的六条棱中任取两条，有种取法，其中相互垂直的取法有5种：，，，，，所以.（2）从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上）有4×3=12种取法，它们相互垂直的取法有2种：平面，平面，所以.（3）从鳖臑的四个面中任取两个面，有种取法，它们相互垂直的取法有3种：平面平面，平面平面，平面平面，所以，故.故答案为：22．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】取AC的中点O，连接MO、BO，则点O就是三棱锥的外接球的球心，解三角形和运用球的表面积公式可计算得答案．【详解】解：取AC的中点O，连接MO、BO，则，，所以，则，又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：．23．《九章算术》中的“商功”篇主要讲解并描述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，是的中点，，，分别在棱，上，且，，平面与交于点，则______．【答案】【解析】【分析】延长，交于，连接，交于，连接，，由三角形相像可得，，由直棱柱的性质可求得答案.【详解】解：如图，延长，交于，连接，交于．则，则，则，又，所以，则，所以．连接，，则，．故答案为：.24．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．【答案】【解析】【分析】先分析出三棱锥P—ABC的外接球就是一个长方体的外接球，干脆求出长方体体对角线长，即可求解.【详解】将三棱锥P—ABC放入一个长方体中，如图所示：则三棱锥P—ABC的外接球即为该长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，故，设外接球的半径为，则，故外接球的表面积为.故答案为：.25．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）．已知在鳖臑M－ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，则该鳖臑的外接球的体积为_________．【答案】【解析】【分析】依据鳖臑的四个面都为直角三角形，且MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，可得MC的中点O为四面体M－ABC外接球球心，求出MC的长，从而依据球的体积公式即可求解.【详解】解：因为平面ABC，平面ABC，所以，同理，又AB＝BC＝2，且为直角三角形，所以，又，，平面MAB，所以平面MAB，又平面MAB，所以，所以MC的中点O到M，A，B，C四点距离相等，即为四面体M－ABC外接球球心，又由已知得，，所以该鳖臑的外接球的半径为，所以该鳖臑的外接球体积为．故答案为：.26．在我国古代的数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，鳖臑的体积为，若，则阳马外接球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】阳马(四棱锥)所在的三棱柱为直三棱柱，则两个几何体的外接球是同一个球，则求直三棱柱外接球半径即可.由等体积法得出三棱锥的体积为2，并由此求出直三棱柱的高，依据几何关系找到外接球球心，求出外接球半径即可求其表面积．【详解】阳马(四棱锥)所在的三棱柱为直三棱柱，则两个几何体的外接球是同一个球．由于三棱锥与三棱锥等底同高，∴这两个三棱锥的体积相等，即三棱锥的体积为2．，，△的面积为，∴，如图，分别为直三棱柱上下底面外接圆圆心，则中点O为外接球球心，OB即为外接球半径R，Rt的外接圆半径为，则，∴阳马外接球的表面积为．故答案为：．27．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，且，则该阳马的表面积为______．【答案】##【解析】【分析】由题意知该几何体是底面为正方形的四棱锥，结合图形求出它的表面积,即得答案．【详解】由题意知侧棱底面ABCD，且，底面ABCD为正方形，且,平面SAB,故平面SAB,平面SAB，故,同理可证,且,故几何体的表面积为：，故答案为：28．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，若三棱锥为“鳖臑”，平面，，，，则此“鳖臑”的表面积为______.【答案】【解析】【分析】依据“鳖臑”的定义和已知数据可求得，，，从而可求出其表面积【详解】因为平面，平面，所以,因为，，所以平面，