山西省晋中市平遥县二中2025届高一数学第二学期期末统考试题含解析

山西省晋中市平遥县二中2025届高一数学第二学期期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生2．某工厂对一批新产品的长度(单位：)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为()A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.753．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．4．圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA、OP，形成一个角，当角，则（）A． B． C． D．15．设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A． B． C．或 D．或6．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（）A． B． C． D．7．若直线平分圆的周长，则的值为（）A．-1 B．1 C．3 D．58．式子的值为()A． B．0 C．1 D．9．已知实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．直线的倾斜角不可能为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，…，则2018位于第________组.12．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．13．如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.14．已知圆及点，若满足：存在圆C上的两点P和Q，使得，则实数m的取值范围是________.15．中，，，，则________.16．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前n项和为，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的最大项的值与最小项的值．18．如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，侧面底面，为侧棱的中点，为线段的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积19．已知函数（1）求函数的最大值，以及取到最大值时所对应的的集合；（2）在上恒成立，求实数的取值范围．20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，，M为线段AD上一点，，N为PC的中点.（1）证明：平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的余弦值.21．已知函数.（1）求的单调增区间；（2）求的图像的对称中心与对称轴.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：A中两事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中两事件既是互斥事件又是对立事件；D中两事件是互斥但不对立事件考点：互斥事件与对立事件2、C【解析】

根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【详解】：根据频率分布直方图，得平均数为1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71，∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1，0.3+0.08×1＝0.7＞0.1；∴中位数应在20～21内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08＝0.1，解得x＝22.1；∴这批产品的中位数是22.1．故选C．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目．3、C【解析】

利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.【详解】将代入四个选项,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD选项故选：C【点睛】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.4、A【解析】

运用求任意角的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.5、C【解析】

的三个内角成等差数列，可得角A、C的关系，将已知条件中角C消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积.【详解】的三个内角成等差数列，则，解得，所以，所以，整理得，则或，因为，解得或.①当时，；②当时，，故选C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.6、B【解析】

由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程，在圆上，在坐标满足方程，在圆上，则作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为与，由图可知，设两圆内公切线方程为，则，圆心在内公切线两侧，，可得，，化为，，即，，的取值范围，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.7、D【解析】

求出圆的圆心坐标，由直线经过圆心代入解得.【详解】解：所以的圆心为因为直线平分圆的周长所以直线过圆心，即解得，故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，属于基础题．8、D【解析】

利用两角和的正弦公式可得原式为cos（），再由特殊角的三角函数值可得结果.【详解】cos（）＝coscos，故选D．【点睛】本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题.9、D【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形阴影部分区域（含边界），令，直线：，平移直线，当过点时取得最大值，当过点时取得最小值，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．10、D【解析】

根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得当时，直线方程为，此时倾斜角为；当时，直线方程化为，则斜率为：，即，又由，解得或，又由且，所以倾斜角的范围为，显然A，B都符合，只有D不符合，故选D.【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的倾斜角和斜率的关系，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4；第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；…∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×1＝1984，∴当n＝1时，第1组的最后一个数为2×1×33＝2112，∴2018位于第1组．故答案为1．【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．12、【解析】

先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得.所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13、【解析】

设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，，在中，，根据余弦定理知：，或（舍去），故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．14、【解析】

设出点P、Q的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m的取值范围.【详解】设点，由得，由点在圆上，得，又在圆上，，与有交点，则，解得故实数m的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题.15、7【解析】

在中，利用余弦定理得到，即可求解，得到答案.【详解】由余弦定理可得，解得.故答案为：7.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、【解析】

设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.【详解】设，由动点满足（其中和是正常数，且），所以，化简得，即，所以该圆半径故该圆的半径为.【点睛】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大项的值为,最小项的值为【解析】试题分析：(1)根据成等差数列,利用等比数列通项公式和前项和公式,展开.利用等比数列不是递减数列,可得值,进而求通项.(2)首先根据(1)得到,进而得到,但是等比数列的公比是负数,所以分两种情况:当的当n为奇数时，随n的增大而减小，所以;当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，然后可判断最值.试题解析：（1）设的公比为q．由成等差数列，得.即，则.又不是递减数列且，所以.故.（2）由（1）利用等比数列的前项和公式，可得得当n为奇数时，随n的增大而减小，所以，故.当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，故.综上，对于，总有，所以数列最大项的值为，最小值的值为.考点：等差中项,等比通项公式;数列增减性的讨论求最值.18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）连接，交于点；根据三角形中位线可证得；由线面平行判定定理可证得结论；（Ⅱ）由等腰三角形三线合一可知；由面面垂直的性质可知平面；根据线面垂直性质可证得结论；（Ⅲ）利用体积桥的方式将所求三棱锥体积转化为；根据已知长度和角度关系分别求得四边形面积和高，代入得到结果.【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于点四边形为菱形为中点又为中点平面，平面平面（Ⅱ）为正三角形，为中点平面平面，平面平面，平面平面，又平面（Ⅲ）为中点又，，由（Ⅱ）知，【点睛】本题考查立体几何中线面平行、线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面垂直性质定理和判定定理的应用、体积桥的方式求解三棱锥体积等知识，属于常考题型.19、，，;（2）【解析】

（1）．此时，（2），，即，．，，且，，即的取值范围是．20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）如图所示，为中点，连接，证明为平行四边形得到答案.（2）分别以为轴建立直角坐标系，平面的法向量为，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）如图所示，为中点，连接.为中点，N为PC的中点，故，，，故，且，故为平行四边形.故，平面，故平面PAB.（2）中点为，，故，故，底面ABCD，故，.分别以为轴建立直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即，取得到，故，故直线AN与平面P