2025届正定中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2025届正定中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）A．1 B． C． D．22．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A． B． C． D．3．在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是（）A． B． C． D．4．下列函数中，在区间上为增函数的是（）.A． B． C． D．5．已知是两条异面直线，，那么与的位置关系（）A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能垂直6．已知,下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．7．已知点在第三象限，则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．己知向量，.若，则m的值为()A． B．4 C．- D．-49．某船从处向东偏北方向航行千米后到达处，然后朝西偏南的方向航行6千米到达处，则处与处之间的距离为（）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米10．如图所示的程序框图，若执行的运算是，则在空白的执行框中，应该填入A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中,,且,则．12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=.13．用秦九韶算法求多项式当时的值的过程中：，__．14．某工厂生产三种不同型号的产品,产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本,样本中种型号产品有16件,那么此样本的容量=15．设，，，，则数列的通项公式=．16．给出下列四个命题：①正切函数在定义域内是增函数；②若函数，则对任意的实数都有；③函数的最小正周期是；④与的图象相同.以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，，（1）求的最小正周期；（2）若，求的最大值和最小值，并写出相应的x的值.18．锐角的内角、、所对的边分别为、、，若.（1）求；（2）若，，求的周长.19．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.（1）设年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.（参考数据：，，）20．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；（3）已知，，试计算．21．已知等差数列中，与的等差中项为，.（1）求的通项公式；（2）令，求证：数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值．【详解】圆在点处的切线为，即，点是圆上的动点，圆心到直线的距离，∴点到直线的距离的最小值等于．故选D．【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.2、A【解析】

根据同角三角函数关系，进行求解即可.【详解】因为，故又因为是第二象限的角，故故.故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数关系的简单使用，属基础题.3、D【解析】

首先计算BD长为2，判断三角形BCD为直角三角形，将三棱锥还原为长方体，根据体对角线等于直径，计算得到答案.【详解】三棱锥中，面中：在中：即ABCD四点都在对应长方体上：体对角线为AD答案选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积，将三棱锥放在对应的长方体里面是解题的关键.4、B【解析】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B考点：函数的单调性点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．5、C【解析】

由平行公理，若，因为，所以，与、是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能．【详解】、是两条异面直线，，那么与异面和相交均有可能，但不会平行．因为若，因为，由平行公理得，与、是两条异面直线矛盾．故选C．【点睛】本题主要考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题.6、A【解析】

逐个选项进行判断即可.【详解】A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.故选A.【点睛】此题考查不等式的基本性质，是基础题.7、B【解析】

根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.【详解】因为点在第三象限，则，，所以，则可知角的终边在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：.8、B【解析】

根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.9、B【解析】

通过余弦定理可得答案.【详解】设处与处之间的距离为千米，由余弦定理可得，则.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.10、D【解析】试题分析：解：运行第一次：，不成立；运行第二次：，不成立；运行第三次：，不成立；运行第四次：，不成立；运行第四次：，成立；输出所以应选D.考点：循环结构.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

∵在△ABC中，∠ABC＝60°，且AB＝5，AC＝7，

∴由余弦定理，可得：，

∴整理可得：，解得：BC＝8或−3（舍去）．考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式．12、13【解析】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.13、1【解析】

f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，进而得出．【详解】f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，当x＝2时，v0＝5，v1＝5×2+2＝12，v2＝12×2+3＝27，v3＝27×2﹣2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14、1．【解析】

解：A种型号产品所占的比例为2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故样本容量n=1，15、2n+1【解析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．16、②③④【解析】

①利用反例证明命题错误；②先判断为其中一条对称轴；③通过恒等变换化成；④对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样.【详解】对①，当，显然，但，所以，不符合增函数的定义，故①错；对②，当时，，所以为的一条对称轴，当取，取时，显然两个数关于直线对称，所以，即成立，故②对；对③，，，故③对；对④，因为，，两个函数的定义域都是，解析式均为，所以函数图象相同，故④对.综上所述，故填：②③④.【点睛】本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解过程中要注意数形结合思想的应用.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）时最大值为2，时最小值【解析】

（1）由二倍角公式和辅助角公式可得，再由周期公式，可得所求值（2）由的范围，可得的范围，由于余弦函数的图象和性质，可得所求最值．【详解】（1）函数，可得的最小正周期为；（2），，可得，，可得当即时，可得取得最大值2；当，即时，可得取得最小值．【点睛】本题考查二倍角公式和两角差的余弦函数，考查余弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理边角互化思想，结合两角和的正弦公式可计算出的值，结合为锐角，可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可求出，利用余弦定理得出，由此可得出的周长.【详解】（1）依据题设条件的特点，由正弦定理，得，有，从而，解得，为锐角，因此，；（2），故，由余弦定理，即，，，故的周长为．【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查余弦定理和三角形面积公式解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形所适用的基本类型，同时在解题时充分利用边角互化思想，可以简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1），；（2）2022年【解析】

（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前n项和公式，即可求解；（2）根据（1）中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解.【详解】解：（1）2018年投入为1000万元，第年投入为万元，所以，年内的总投入为.2018年旅游业收入为500万元，第年旅游业收入为万元，所以，年内的旅游业总收入为.（2）设至少经讨年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得，即，令，代入上式得，解得或（舍去），即，不等式两边取常用对数，，即.∴∴至少到2022年，旅游业的总收入才能超过总投入.【点睛】本题考查等比数列求和公式，转化法解指数不等式，考查数学建模思想方法，考查计算能力，属于中等题型.20、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】

（1）根据不等式可得，把代入即可解出（2）根据化简，利用为有理数即可解决（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．【详解】（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴．∵，∴，当时，∴当时，∴，∴为有理数列，∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，∴当时，∴当时，∴，∴．【点