向量的数量积高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积[目标导航]核心知识目标核心素养目标1.了解平面向量数量积的物理背景2.掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律,理解其几何意义3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直1.通过理解平面向量数量积的物理背景,学习向量的夹角及数量积的概念及几何意义,进一步体验数学抽象、直观想象及数学运算的核心素养2.通过利用向量的数量积求向量的模、向量的夹角以及判断两个非零向量是否垂直,培养逻辑推理、数学运算的核心素养新知导学·素养启迪课堂探究·素养培育新知导学·素养启迪1.向量的夹角非零同向反向垂直2.向量数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量

叫做向量a与b的数量积(或内积),记作

a·b,即

a·b=|a||b|cosθ.

规定:零向量与任一向量的数量积为

.|a||b|cosθ0投影投影向量3.向量的投影投影向量|a|cosθe4.向量数量积的性质设a与b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a∥b时,a·b=(4)|a·b|≤|a||b|.5.数量积运算的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.小试身手BC解析:|a-b|2=a2-2a·b+b2=22-2×2×1×cos60°+12=3.故选C.答案:45°4.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在向量b上的投影向量为

.

课堂探究·素养培育探究点一平面向量数量积概念的应用方法技巧利用定义求向量数量积的方法求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.探究点二求投影向量方法技巧向量a在向量b上的投影向量的求法即时训练2-1:已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是

.

探究点三平面向量数量积的运算律及其应用探究角度1利用向量数量积运算律求数量积[例3](1)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a+3b);解:(1)(a+2b)·(a+3b)=a·a+5a·b+6b·b=|a|2+5|a||b|cos60°+6|b|2=62+5×6×4×cos60°+6×42=192.(2)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:①a·b;解:(2)①由已知得a·b=|a||b|·cosθ=4×2×cos120°=-4.解:②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.②(a+b)·(a-2b).方法技巧计算(λ1a+μ1b)·(λ2a+μ2b),可以类比多项式乘法运算律.即时训练3-1:(1)已知a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(

)A.4 B.3 C.2 D.0解析:(1)a·(2a-b)=2a·a-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3.故选B.答案:(1)B探究角度2利用向量数量积运算律求模方法技巧求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量的数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.即时训练4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求|a+b|.解:法一

因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2a·b=4,所以a·b=3.所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+9+2×3=16,所以|a+b|=4.法二

因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2,|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,所以|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20.又|a-b|=2,所以|a+b|2=16,所以|a+b|=4.探究角度3利用向量数量积运算律求解垂直问题方法技巧涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律.探究角度4利用向量数量积的运算律求夹角[例6]已知|a|=6,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则a与b的夹角为

.

方法技巧即时训练6-1:已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,求a与b的夹角.课堂达标C1.已知|a|=3,|b|=2,则(a+b)·(a-b)等于(

)A.2 B.3 C.5 D.-5解析:因为|a|=3,|b|=2,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=9-4=5.故选C.ABC2.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中的真命题为(

)A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|解析:A.设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ,所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故是真命题.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cosπ=-|a||b|且以上各步均可逆,故是真命题.C.当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,所以有a⊥b.故是真命题.D.当|a|=|b|,但a与c的夹角和b与