人教A版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何本章达标检测（含答案解析）

人教A版(2019)选择性必修第一册过关斩将第一章空间向

量与立体几何本章达标检测

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于工轴对称的点坐标是()

A.(-2,1,-4)B.(2,1,-4)

C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)

2.已知日=(1,2,—y),6=(x,l,2),且①+25)//(2万一B),则

A.x=-,y=lB.x=—,y=-4C.x=2,y=——D.x=l,y=-l

324

3.在下列条件中，使〃与A,B,。一定共面的是()

A.OM=OA-bB-OCB.OM=-OA+^-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB-^OC=0

4.如图所示，在平行六面体488-ABC。中，AB=a，AD=b^丽M是4。

的中点，点N是CR上的点，且CN：NA=1:4.用£石区表示向量丽的结果是()

1-尸一c1一1尸4一

A.—a+b+cB.-a+-b+—c

2555

1_31_r4一34_

C.—abr——cD.一。+—br——c

51055105

5.向量a=(2,1㈤)=(2,y,—l),若同=右，且则x+y的值为()

A.B.1C.-4D.4

6.在长方体ABC。—AgGR中,AB=BC=1,A4,=>/3,则异面直线A£>|与。g

所成角的余弦值为

]_D,也

A.c.f

52

7.在棱长为2的正四面体A8CO中，点M满足祝=x旃+y/—(x+y—l)而，点N

满足丽=彳丽+(1-2)而，当AM、BN最短时，AM.MN=()

A.--B.-C.--D.-

3333

二、多选题

8.(多选)下列命题是真命题的有().

A.直线/的方向向量为乙=(1,-1,2),直线机的方向向量为5贝I"与"垂直

B.直线/的方向向量为］=(0,1,-1),平面a的法向量为元=(1,-1,-1),则/JL。

C.平面a,4的法向量分别为1=(0,1,3),0=(1,0,2),则a%

D.平面a经过三点A(l,0,-l),5(0,1,0),C(-l,2,0),向量万=(1,〃,。是平面a的法向量，

则u+t=\

9.给出下列命题，其中正确命题有()

A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B.己知向量1〃5,则万万与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.是空间四点，若丽，的，而不能构成空间的一个基底，那么共

面

D.已知向量{£££}组是空间的一个基底，若沅=*,贝I{£,5,网也是空间的一个基

底

10.设是棱长为。的正方体，以下结论为正确的有()

11

A.ABC^A=-aB.AB-A^Ci=42a

2

C.BC-AyD=aD.AB-C}Ay=cr

11.正方形ABC。沿对角线80折成直二面角，下列结论正确的有()

A.AO与BC所成的角为30P

B.AC与8。所成的角为90。

C.BC与面AC。所成角的正弦值为且

3

D.平面ABC与平面BC。的夹角的正切值是正

12.正方体ABCD-A由iCiDi的棱长为1,E,尸,G分别为BC,CG,的中点.则()

试卷第2页，总6页

A.直线。。与直线AF垂直B.直线AiG与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为gD.点C与点G到平面AEF的距离相等

O

三、双空题

13.已知平行六面体A88-ABCR中，底面A8C£＞是边长为1的正方形，4Al=2,

ZAtAB=ZAtAD=60°,贝lj9•比=

四、填空题

14.如图，在正四棱锥P-48C。中，必=43,点M为孙的中点，BD=ABN.若

MN1AD,则实数2=

15.如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱

C。上，若P为动点，。为动点，则P。的最小值为.

16.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是底边为1的菱形，乙BAD=60°,PB=2,

PA=PD,当直线PB与底面4BCD所成角为30。时，二面角P-CD-4的正弦值为.

p

五、解答题

17.如图，矩形ABC。，PAJ_平面ABC。，M、N、R分别是A3、PC、CO的中点.

(1)求证：直线4?//平面PMC；

(2)求证：直线AW，直线AB.

18.在①NR48=60°;②PALM;③/PAB=120°这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，若问题中的2存在，求出2的值；若人不存在，请说明理由.

已知等腰三角形必8和正方形A8CD,,AB=1,平面平面ABC。，是

否存在点E,满足而=/1.无，使直线OE与平面PBC所成角为60。？

19.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC/所截面而得到的，其

试卷第4页，总6页

中AB=4,BC=2,CG=3,8£=1

(1)求BF的长;

(2)求点C到平面AEC尸的距离.

20.如图，在三棱锥中，AB=BC=2&，PA=PB=PC=AC=4,。为AC的

(1)证明：PO_L平面ABC；

(2)若点M在棱8c上，且二面角"-Rl-C为3伊，求尸C与平面所成角的正弦

值.

21.如图，在四棱锥P—A3C。中，底面ABCD为梯形，AB//CD,AB±AD,

⑴当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由;

(2)若二面角P-AD-B大小为150°,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

22.如图，在四棱锥S-4JCD中，四边形ABCD是矩形，AS4D是等边三角形，平面S4),

平面ABC。，AB=\,E为棱SA上一点，尸为AO的中点，四棱锥S-ABC”的体积为亚.

3

(1)若E为棱SA的中点，尸是S3的中点，求证：平面PE尸〃平面SCO：

(2)是否存在点E,使得平面PE8与平面所成的锐二面角的余弦值为画？若存

10

在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，总6页

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参考答案

1.C

【分析】

先根据空间直角坐标系对称点的特征，点(X,y,z)关于x轴的对称点的坐标为只须将横

坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标.

【详解】

•••在空间直角坐标系中，

点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为：(x,-y,-z),

.,.点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为：

(-2,-1,-4).

故选C.

【点睛】

本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求

解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题

2.B

【解析】

本题考查空间向量坐标的运算，空间向量共线.

因为Z=(1,2,-y),5=(x,l,2),:.a+2b=(l+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2);因为

1+2.x-A(2—x)

4i

(a+2h)//(2a-b),所以｛4=4x3,解得4=§,x=/,y=_4.故选B

—y+4=A(—2y—2)

3.C

【分析】

根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

例与A,B,C一定共面的充要条件是丽=点5+丫而+z元,x+》+z=l,

对于A选项，由于=所以不能得出”,ABC共面.

对于B选项，由于(+；+L所以不能得出共面.

对于C选项，由于碗=-丽豆-碇，则碗，丽，祈？为共面向量，所以共面.

答案第1页，总23页

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对于D选项，由两+砺+而+反=0得前=-砺一而一反，而一1一1一1=一341,所以

不能得出M,A,8,C共面.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查四点共面的条件，属于基础题.

4.D

【分析】

根据向量加法的平行四边形，向量减法的三角形法则可得.

【详解】

如图所示：

因为丽=丽_击=AC+aQ-AA^-AiM

=AC+-CA^-AA^-^Ab

=AC+^AA,-AC)-A\-AD

44—1—

=-AC——AA——AD

55-2

4——4—I—

=-(AB+AD)--AA,--AD

4—34—

=-AB+—AD——AA.

5105-

43-4

=-a-\----b——c.

5105

故选:D

【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形，向量减法的三角形法,属于基础题.

5.C

答案第2页，总23页

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【分析】

根据,=石求出X的值，再根据得出a6=o,列方程求出y的值，即可计算x+y的值.

【详解】

解：向量Z=(2,l,x),若,=不，

则，于+广+-=&，解得x=0；

又向量5=(2,y,-l),且d_L,,

贝!|a石=4+y+0=0,解得y=-4;

所以x+y=-4.

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题.

6.C

【详解】

分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹

角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DDi为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

2X0,0,0),A(l,0,0),g),A(0,0,6),所以函=(-1,0,6),函=(1,1,6)，

因为cos(碣,DBt)=篇周==y,所以异面直线AD,与DB｝所成角的余弦值为

正，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破"建系关”，构建恰当的空间

直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出

平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

7.A

【分析】

利用共面向量定理和共线向量定理得到Mw平面8C。，NE直线AC,再根据若AM、BN

最短时，则平面3CO,BN1AC,得到M为△BCD的中心，N为AC的中点，然后

答案第3页，总23页

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利用中点坐标公式得到丽=!(旗+庇)，再利用数量积运算求解.

2

【详解】

因为点M满足AM=xAB+yAC一(x+y-1)A£),

所以Me平面8co

因为点N满足丽=/l丽+(1-彳)反

所以Ne直线AC,

若AW、8N最短时，则AM_L平面BCD,BN工AC,

所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，

此时|限上2叵，

AM_L平面BCD,MCu平面BCD,

•.•I次|=J|恁J砒F，22-(竿)=半・

又丽=!(雨+雨)，

2

赤.丽=；(病.祝+前.硒=_；|标『=一：

故选：A.

【点睛】

本题主要考查空间向量数量积的计算，共面向量和共线向量定理的应用，还考查了空间想象

和运算求解的能力，属于中档题.

8.AD

【分析】

根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法

向量之间的关系可判断C；=(-1,1,1),配=(-1,1,0),利用法向量与上面两向量的数量积

可判断D.

【详解】

Va=(1,-1,2),5=(2,1,一£|,

答案第4页，总23页

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晨5=1x2-lx1+2x(一g)=0,则日,

，直线/与阳垂直，故A正确；

5=(0,1,-1),«=IJIlJ«-n=0xl+lx(-l)+(-l)x(-l)=0,

则MJ_"，，〃/a或/ua,故8错误；

一一►uUU

Vn｝=(0,1,3),%=(1,0,2),，/与%不共线，

，a//£不成立，故C错误；

•.•点A(l,0,-l),8((),1,0),C(-l,2,0),

/.AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0).

•向量万=(l，"，r)是平面a的法向量，,竺一°,

«BC=0

1+〃+/=0

即｛,解得“+f=l,故。正确.

[-1+M=0

故选：AD

【点睛】

本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

9.ABCD

【分析】

选项A,8中，根据空间基底的概念，所以A8正确；选项C中，可得丽，丽"，就共面，又

由丽，加，前过相同点8,可得A,8,M,N四点共面，所以C正确；选项。中：基向量1,5

与向量坑=1+1一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以。正确.

【详解】

选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所

以A正确；

选项8中，根据空间基底的概念，可得8正确：

选项C中，由BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，可得BA,BM,BN共面,又由丽，丽，前

过相同点B,可得四点共面，所以C正确；

选项。中：由｛a,B,c｝是空间的一个基底，则基向量1,B与向量玩=万+不一定不共面，所以

答案第5页，总23页

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可以构成空间另一个基底，所以。正确.

故选：ABCD.

【点睛】

本题主要考查空间向量基底的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

10.AC

【分析】

利用向量数量积的几何意义，对照选项一一验证，即可得答案；

【详解】

如图所示，在正方体中，

对A,彳在岫方向上的投影为一。，..•通♦不=-4,故A正确；

对B,小仁在痂方向上的投影为。，；・丽•福=〃，故B错误；

对C,4方在反方向上的投影为。，.••觉•丽=片，故C正确；

对D,C4在府方向上的投影为一a,••.通・/*=-/,故D错误；

故选：AC.

【点睛】

本题考查向量数量积的几何意义的应用，考查空间想象能力、运算求解能力.

11.BD

【分析】

以。为原点，OC所在直线为x轴，0。所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角

的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值.

答案第6页，总23页

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【详解】

取8。的中点0,连接A。,。。，则

,/正方形A8CD沿对角线8。折成直二面角，故平面A8£>_L平面BCD,

而平面AB£)c平面BC£)=3r),AOu平面4BD,故AO_L平面3CO.

；.以。为原点，0C所在直线为x轴，0。所在直线为)，轴，OA所在直线为z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

设OC=1,则A(0,0,1),8(0,-1,0),C(1,0,0),0(0,1,0),函=((),1,1),/ID=(0,1,-1),

宓=(1,1,0),AC=(1,(),-1),=(0,2,0).

ADBC11

；cos(而，画=

\AD\\BC\~y/2xy/2~2

..rr.■7/

因为〈AD,8Qe[0,句，故为。,BC〉=、,

.••异面直线AO与BC所成的角为60。，故A错误;

VACBD=0,AACVBD,故B正确；

设平面ACZ)的法向量为7=(x,y,z),

t-AC=x-z-0,„

则一取z=l得X=1,y=1,

t-AD=y-z=O,

A7=(1,U)，

设8c与面AC。所成角为。,

\BC-7\2V6

则sin0=|cos(BCj)|=故错误;

\BC\-\t\~42x^3~~C

答案第7页，总23页

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易知平面BCO的一个法向量为7=((),0,1),

设平面ABC的法向量为m=(x',y',z'),

fn-BA—y'+z'-0,

__取x'=l

m-BC=x'+y'=0,

得y'=-l,z'=l,.•.诟=设两个平面的夹角为a(a为锐角)，则

cosa=lcos</n,7z)|=WJ=,故sina=迈，故tana=V^.

11\m\-\n\33

平面ABC与平面3c。的夹角的正切值是0,故D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向

向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题.

12.BC

【分析】

对于选项AD可以利用反证法分析得解；对于选项B可以证明；对于选项C,可以先找到截

面再计算得解.

【详解】

根据题意，假设直线。I。与直线4尸垂直，又0A■14£,4£口4尸=人，4£,4尸<=平面/^凡

所以。。_L平面所以。,又DDJICC,，所以CC,±EF，与NEFC=f矛盾，所以

直线。点与直线4尸不垂直，所以选项A错误；

因为4G〃9F,AiGC平面AEFDi,RFu平面AE尸。i,所以4G〃平面AEF9,故选项B

正确.

平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFDy,由题得该等腰梯形的上底EF=也,下底

2

4。=夜，腰长为且，所以梯形面积为苫，故选项C正确；

28

假设。与G到平面A"的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面A所必过CG的中点，

连接CG交收于，，而H不是CG中点，则假设不成立，故选项D错误.

故选：BC.

答案第8页，总23页

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【点睛】

方法点睛：对于空间几何线面位置关系命题的判断，常用的方法有：（1）举反例；（2）直接

证明；（3）反证法.要根据已知条件灵活选择方法解答.

13.3V10

【分析】

选定丽=7亚=瓦丽=5为基向量，利用向量数量积和模长的计算法则，求解即可.

AB=a,AD=b,=c,则由题意得:151=1,|^|=l,|c|=2

ab=O,a-c=\,bc=\f

2

ADtAC=(b+c)-(b+a)=b+bc+b-a+a-c=\+]+0+\=3

222

\ACt\=\a+b+c\=\]a+b+c+2a-c+2b-c+2c-c=Jl+1+4+2+2+0=M

故答案为：3；VTo.

【点睛】

本题考查空间向量数量积的运算以及模长的求解，选定合适的基向量是解决问题的关键.

14.4

答案第9页，总23页

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【分析】

连结AC,交BD于0,以。为原点，0A为x轴，08为y轴，0P为z轴，建立空间直角

坐标系，利用向量法能求出实数尢

【详解】

解：连结AC,交BD于0,以。为原点，0A为x轴，0B为），轴，。尸为z轴，建立空间

直角坐标系，

6F）

设PA=AB^2,则4（五，0,0）,D（0,-夜，0）,尸（0,0,72），M（―,0,—）,

22

B（0,72，0）,

BD=（0,-2夜，0）,设N（0,b,0）,贝|丽=（0,b-母,0）,

:而，丽，；.-2垃=旭一码，:"=回-2版,

A

•—2,\/2八、——>J2\p2A,—2,\/2>/2、--/r-r—x

•・N（0,--------,0）,MN—（f----，---------，----），A.D—（—\/2,一J2，0n）,

A.2

______22—4

MNLAD,：.MN•AD=1------=0,

A

解得实数九=4.

故答案为4.

【点睛】

本题考查实数值的求法,考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识,考查运算求解能力,

是中档题.

15.近

【分析】

建立空间直角坐标系，利用AB,尸三点共线设出点PQ,九2-2）,0<z<2,以及。（0,2,"）,

答案第10页，总23页

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0%W2,根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，设P。，2,2-2),

(2(0,2,〃)(0W在2且0口区2),

可得PQ—J+(C—2)~+(2—2—〃)~=^2(zt-l)~+(2—A—//)"+2，

V2(A-D2>0,(2-2-/z)2>0,.*.2(2-1)2+(2-A-/z)2+2>2,

当且仅当4-1=2-2-〃=0时，等号成立，此时7=〃=1,

,当且仅当P、Q分别为A8、CQ的中点时，

P。的最小值为

故答案为:啦.

【点睛】

本题考查空间向量法求两点间的距离,将动点用坐标表示是解题的关键,考查配方法求最值,

属于中档题.

16.1

【分析】

取4。中点E,过P作PF1BE于尸点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得

4D_L平面PBE,从而得到4DLPF；再根据线面垂直判定定理得到PFUSABCD,由线面角

定义可知4PBF=30。，通过勾股定理可求得EF=BE,由此可知F在直线CD上，从而得到

面面垂直关系，可知二面角为90。，从而得到正弦值.

【详解】

取40中点E,连接BE并延长，过P作PFJ.BE于F点

答案第11页，总23页

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VPA=PD,E为AD中点PE1AD

•••四边形4BCD为菱形，NB/W=60°二ZMBO为等边三角形BE1AD

•••PE,BEu平面P8E,PEdBE=E•••4。_L平面PBE

...pFu平面PBEAD1PF

又PFLBF,u平面48CD,BFOAD=E：.PFl^ABCD

・♦•直线PB与底面4BCO所成角为4PB尸•••PF=PB-sinzPBF=2xsin30°=1

在/PBE中，由余弦定理得：PE2=PB2+BE2-2PB-BEcos乙PBE=4+--4x—X—=

422

亚

2

EF=>JPE2-PF2=—.又BE=—?在CO延长线上

22

PFu平面PCO平面PCFJL平面48co

.••二面角P-CD-4的大小为90。，正弦值为1

故答案为：1

【点睛】

本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定

理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与

平面所成角的位置.

答案第12页，总23页

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17.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)由已知中四边形ABC。为矩形，M、R分别是AB、CQ的中点.易得AR〃CM,结合

线面平行的判定定理，可得到直线AR〃平面PMC；

(2)由已知条件可得平面物£>,即ABJ_PD,从而得到ABJ_平面MNR,进而得到直

线MNJ_直线A8.

【详解】

(1):四边形ABC。为矩形，M,R分别是A8、8的中点.

J.AR//CM

又平面PMC,CMu平面PMC

，直线AR〃平面PMC-,

(2)连接RMMR

平面ABCD^AB±PA

又AB_LA。，PA(yAD=A,平面PAE>=AB_LP£>

,:R、N分别是C。、PC的中点=/?'〃「£>,ABJ./W,

又；48_LMR=MRCRN=R,A8_L平面MNR且MNu平面MNR,

二ABLMN.

【点睛】

本题的知识点是直线与平面平行的判断与直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间直线与

平面关系的判定定理、性质定理、定义是解答本题的关键.

18.答案见解析

【分析】

若选①，则三角形RIB为等边三角形，取AB的中点。，连接P。，再根据平面平面

答案第13页，总23页

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ABCD,利用面面垂直的性质定理得到PO_L平面ABC。，然后以。为原点，直线48为工

轴，直线0P为z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量£=（冷加zj和

由星=4前表示向量诙的坐标，由|cos〈诙,£〉|=乎求解.

【详解】

若选①，则三角形以8为等边三角形，取AB的中点。,

连接尸。，则PO_LA8,又平面必B_L平面ABC。，

平面卓Be平面ABC£>=M,所以PO_L平面ABC。,

以。为原点，直线48为》轴，直线0P为z轴，

建立如下图所示的空间直角坐标系，

•,•丽=（卜用，方=椒用前=

■'-DE=DP+PE=DP+APC

设4=（占,加4）是平面PBC的一个法向量,

丽•a=；%一冬|=0,

则

PC-a=^xl+yt-^-zl=0,

令Z1=1,得XI=%=0,

2=（6,0,1）是平面PBC的一个法向量,

由直线OE与平面P8C所成角为60°,

得|cos〈万瓦£〉|=g,

即=手,

2以/2F-3/1+22

答案第14页，总23页

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2矛-3/1+1=0，

解得八g或/1=1，

存在点E与C重合，即彳=1时满足条件,

或点E为PC中点，即2=；时满足条件.

若选②，则三角形以8为等腰直角三角形,

取AB的中点。，连接PO,则POLA8,

又平面P4B_L平面A8CD,平面BWc平面=

所以尸OJL平面ABC。,

以。为原点，直线AB为x轴，直线OP为z轴,

建立如下图所示的空间直角坐标系,

则8G，0,0),c1,L0)，d-；J0),p[0,0,g

...而=6,O，T斥=d),而=(/1

2'22'3

•'-DE=DP+PE=DP+APC

1-11+A?b4

2'’2

fl11।111J

(2222J

设B=(%,%，Z2)是平面PBC的一个法向量,

PBb=-x2--z2=0,

2-22

则

------11

PCh='^X2^y2~^Z2=0,

令Z?=1,得/=I%二°，

答案第15页，总23页

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/.b=(1,0,1)是平面PBC的一个法向量,

由直线与平面PBC所成角为60。,

得|cos(诙，扬|=等，

1_V3

二9万一124+5=0,

VA=144-180<0,方程无解，

即不存在2,满足西=2前，使直线OE与平面P8C所成角为60。.

又平面PAB_L平面A8C。，平面PA8c平面ABCD=A8,

所以PO_L平面A8C3,

以。为原点，直线48为》轴，直线OP为z轴，

建立如下图所示的空间直角坐标系，

则呜0,0),唱，1,0),唯1,0Joo9

9<U,U,?

...丽=仔0,用瓦=j|,l,用，而=禺,.1,日

>9-DE=DP+PE=DP+APC

答案第16页，总23页

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设〃=(x,y,z)是平面尸8c的一个法向量,

~nn-3「

PBn--x----z=0,

22

则

PC•万=Tx+y---z=0,

令x=1,得z=y/3,y=0,

.•=(1,0,6)是平面PBC的一个法向量,

由直线OE与平面P8C所成角为60。,

得|cos(DE,n)|=,

即

274A2-52+22'

12万-152+5=0,

•.•△=225-240<0,.•.方程无解，

即不存在2,满足两=2前，使直线OE与平面P8C所成角为60。.

【点睛】

本题主要考查利用空间向量法求线面角问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中

档题.

19.(1)2m；(2)^3

11

【分析】

以O为坐标原点，分别以D4、DC、DF为&y、z轴，建立空间直角坐标系。一肛z,

(1)由4EC/为平行四边形，运用向量的模的计算方法，可得8尸的长度;

(2)运用向量坐标运算计算点到平面的距离.

【详解】

答案第17页，总23页

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(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),

E(2,4,1),Ci(0,4,3).

设F(0,0,z).

•.♦AECiF为平行四边形，.•.由AECF为平行四边形，

*,•由4产EC［得，(-2，0，z)=(-2,0,2),

•・・z=2・・・・F(0,0,2).・・・j=(-2,-4,2,于是|j|=2击，即BF的长为2也；

(2)设;为平面AECiF的法向量，显然;不垂直于平面ADF,故可设；=(x,y,1).

T•：=Or=1

(0xx+4xy+l=0।4y+1=0(~1

〜=0=|-2xx+0xy+2=0,即|-2x+2=0，，•)¥=--

nrAFI,

又cq=(。，0,3),设s与n的夹角为a,则cosaq一;.jg十黯丁旭,

CCLnxV

AC到平面AEC,F的距离为d=lc)cosa=3x祭粤.

【点睛】

本小题主要考查空间中的线面关系、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推

理、运算能力.

20.(1)证明见解析；(2)且.

4

答案第18页，总23页

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【分析】

(1)根据等腰三角形性质得P。垂直AC,再通过计算，根据勾股定理得P。垂直0B,最

后根据线面垂直判定定理得结论；

(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标,根据方程组解出平面PAM一个法向量，

利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解

得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面以M法向量夹角，最后根据线面角与向

量夹角互余得结果.

【详解】

(1)因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以OPJ.AC,且。尸=26.

连结0B.

因为AB=8C=也AC,

2

所以AABC为等腰直角三角形，

且08_LAC,O8=1AC=2

2

由OP：+OB2=PB-知PO1.OB.

由OP_LOB,OP±AC知PO_L平面ABC.

(2)如图，以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-WZ.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2百),AP=(0,2,2扬

UL1U

取平面R4C的法向量03=(2,0,0).

UUUL

设M320)(0<a<2)f则AM=3,4-a,0).

答案第19页，总23页

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设平面R4M的法向量为为=(x,y,z).

,—---\2y+2>/3z=0

由AP•元=(),4W•万=0得〈

⑷+(4-〃)y=0

可取2元=(>/3(a-4),\/3a,-a)

.由已知得cos〈O月•万)=日

所以8历为“言二2

25/3|a-4|G4

所以行.解得a=T(舍去)，a=-

2j3(a-4f+3/+/，3

又定=(0,2,-26)，所以cos〈定㈤=正.

4

所以PC与平面R4M所成角的正弦值为且.

4

【点睛】

利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破"建系关''，构建恰当的空间直角坐

标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关“，求出平面的

法向量；第四，破“应用公式关

21.(1)当P8=2/时，平面出O_L平面438,详见解析(2)萼?

【分析】

(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得利用直角三角形知识可得心的长;

(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

【详解】

解：(1)当PB=2夜时，平面•平面A8CZ),

证明如下：在中，因为A8=PA=2,P8=25/5,所以4?_1以，

又AB_LA£>,ADr>PA=A,所以AB_L平面PAD，

又A8i平面ABC。，所以平面F4Q_L平面A8CO；

(2)分别取线段A。,8c的中点。,£,连接PO,OE,因为A4Z)尸为等边三角形，。为AD

的中点，所以。,后为4),8。的中点，所以QE//AB,

又所以OE_LA£),故/POE为二面角P-AD—8的平面角，所以NPOE=15CT,

答案第2