数学《同角三角比的关系与诱导公式》教案(沪教版高一)

5.3(2)同角三角比的关系及诱导公式

一、教学目标设计

1.掌握诱导公式的推导方法和记忆方法；

2.会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角,

并会化简单的三角比的关系式；

3.通过公式的探求及应用培养思维的严密性.

三、教学重点及难点

重点：诱导公式

难点：诱导公式的灵活应用

四、教学流程设计

五、教学

过程设计

一、复习引入

1.公式一：

sin（2A：^+a）=sina

cos(2^+a)=cosa

tanQk九+a)=tana

cot(2&4+a)=cota(其中k£a)

用角度可写成：sin(Z♦360°+a)=sina

cos(A:-360°+a)=cosa

tan(Z•360°+a)=tana

cot(k-360c+a)=cota(其中ZwZ)

2.讨论

公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0°—360。之间角的正弦、

余弦、正切，其方法是先在0°—360。内找出及角a终边相同的角，再把它写成诱

导公式一的形式，然后得出结果.

这组公式可以统一概括为/(a+2左左)=f(a)(keZ)的形式，上述一组公式叫做

任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都

为正.

说明］运用公式时，注意“弧度”及“角度”两种度量制不要混用，如写成

sin(800+2攵笈)=sin80°,

二、学习新课

1.公式推导

公式二：

sin(-a)="sina

cos(-a)=cosa

它说明角-a及角a的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等.这是因为,

若角a的终边及单位圆交于点P(x,y),则角-a的终边及单位圆的交点必为P'

（x,-y）（如图1）.由正弦、余弦三角比的定义，即可得

sina=y,cosa=x,

sin(-a)=~y,cos(-a)=x,

所以：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa

由三角比的商数关系，得：tan(-a)=独工^=-tana

cos(-a)cosa

即tan(-a)=-tana

类似可得cot(-a)=-cota

这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式

练习:求弋的正弦、余弦、正切和余切的值.

［说明］公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证

明.

公式三:

用角度可表示如下:

sin("+a)=-sinasin(180°+a)=-sina

cos(%+a)="cosacos(180°+a)="cosa

tan(4+a)=tanatan(180°+a)=tana

cot(^r+a)=cotacot(1800+a)=sina

它刻画了角180°+a及角a的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是:

以角a终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）及角a的正弦值（或

余弦值）是一对相反数.这是因为若设a的终边及单位圆交于点P（x,y）,则角a

终边的反向延长线，即180°+a角的终边及单位圆的交点必为P'（-X,-y）（如图

2）.由正弦、余弦三角比的定义，即可得sina=y,cosa=x,

sin(180°+a)=-y,cos(180°+a)=-x,

所以:sin(180°+tz)=-sina,cos(180°+a)=~costz.

［说明］公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义.根据点P

的坐标准确地确定点P'的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质.直观的对

称形象为我们准确写出P'的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的

优越性.

练习：求下列三角比的值：(1)cos210；(2)

分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题.求解时，只须设法将所给角分解

成180。+。或(冗+a),a为锐角即可.

解：(1)cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-—；

2

/Q\,51•/\•TCd2

(2)sm——=smO=—sin—=———.

442

公式四：

把第三组公式中的a换成-a,得第四组诱导公式：

sin("-a)=sinasin(180°-a)=sina

cosO-a)=-cosacos(180°-a)="cosa

tan("一a)=-tanatan(180°-a)=-tana

cot("一a)=-cotacot(180-a)--cota

［说明］这组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化

为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的推导并不难，然而推导中的化归意

识和策略是值得我们关注的.

四组诱导公式可概括为：

k,3600+tz(k£Z),~a,180°+a,360°-a的三角比值，等于a的同

名三角比的值，前面加上一个把a看成锐角时原三角比的符号.

［说明］这里的“同名三角比值”是指等号两边的三角比名称相同；“把a看

成锐角”是指a原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；”前面加上一个……

符号”是指a的同名三角比值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号(正号

或负号，主要是负号，正号可省略)，而这个符号是把任意角a视为锐角情况下

的原三角比的符号.应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要

把任意角a看成锐角.建议通过实例分析说明.

练习：求下列各式的值：(1)sin(一制);(2)cos(-60°)-sin(-210°)

3

分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题.求解时一般先用诱导公式三

把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐

角的正弦、余弦来求.

解：(1)sin(——)=—sin()=sin—=—；

332

(2)原式=cos60°+sin(180°+30°)=cos60°—sin30°=———=0

22

2.例题分析

例1：利用诱导公式，求下列各三角比：

(1)；(2)

例2化简：

cos(2^--a)cot(万+a)tan(-a-兀)

sin("-a)cot(3%-a)

例3根据条件,求角x：

(1)已知；

(2)已矢口tanx=——,x

［说明］由三角比求特殊角的问题，是个“反”问题，对学生是个难点问题，

教师可先缩小范围，如考虑在［0,1］±,求角，再考虑［0,2%)等.

三、巩固练