新教材2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第二册课后巩固提升 第3章

第三章排列、组合与二项式定理

3.1排列与组合

3.1.1基本计数原理

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1.（2020浙江期中）某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有

（）

A.10种B.25种C.52种D.24种

ggD

解丽共分4步:一层到二层2种走法，二层到三层2种走法，三层到四层2种走法，四层到五层2

种走法，根据分步乘法计数原理,一共有24种.选故D.

2.（2021河南信阳模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动

物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各

一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉

祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）

A.30种B.50种C.60种D.90种

奉B

姓责①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，共有1x2x10=20种满意的

选法，②若甲同学选择马，则乙同学有3种选法，丙同学有10种选法，共有1x3x10=30种满意的

选法，所以总共有20+30=50种令三位同学满意的选法.故选B.

3.如果xjEN+,且lWxW3/+y<7,则满足条件的有序数对（x,y）的个数是（）

A.15B.12

C.5D.4

宣B

解析当x=l时,y=1,2,3,4,5;当x=2时,>=1,2,3,4;当x=3时,y=l,2,3.由分类加法计数原理得，有序

数对有5+4+3=12个.

4.如果一个三位正整数如“033"满足0<42,且。3<。2,则称这样的三位数为凸数（如

120,343,275等），那么所有凸数的个数为（）

A.240B.204C.729D.920

IgA

丽分8类.当中间数为2时，有1x2=2个；

当中间数为3时，有2x3=6个；

当中间数为4时，有3x4=12个；

当中间数为5时，有4x5=20个;

当中间数为6时，有5x6=30个；

当中间数为7时，有6x7=42个；

当中间数为8时，有7x8=56个；

当中间数为9时，有8x9=72个.

故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个.

丝号0上海春季高考）已知4={-3,-2,-1,0,1,2,3},4力右同,则|M＜以的情况有种.

薪118

画当a=-3时，符合条件的情况有0种；

当a=-2时，符合条件的情况有2种；

当a=.\时，符合条件的情况有4种；

当a=0时，符合条件的情况有6种；

当a=\时，符合条件的情况有4种；

当a=2时，符合条件的情况有2种；

当a=3时，符合条件的情况有0种.

依据分类加法计数原理，共有2+4+6+4+2=18种.

6.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有

种不同的取法.

客剽242

函任取两本不同类的书分为三类:①取数学、语文各一本;②取语文、英语各一本;③取数学、

英语各一本.在每一类中利用分步乘法计数原理，再利用分类加法计数原理即可.共有

10x9+9x8+10x8=242种不同取法.

7.椭圆=1的焦点在），轴上，且机C{1,2,3,4,5},“C{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数

为________.

登］2（）

丽当m=l时,〃=2,3,4,5,6,7,有6种取法;当m=2时,“=3,4,5,6,7,有5种不同取法;当避=3

时,”=4,5,6,7,有4种不同取法;当m=4时,〃=5,6,7,有3种不同取法;当m=5时簿=6,7,有2种不

同取法，故这样的椭圆共有6+5+4+3+2=20个.

8.将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种蔬菜，相邻试验田不能种

植同一种蔬菜，不同的种法有种.（种植品种可以不全）

用］324

解桐分五步,由左到右依次种植，

种法分别有4,3,3,3,3种.

由分步乘法计数原理，不同的种法有4x3x3x3x3=324种.

9.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会,

会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的情况有多少种？

网分两类完成.

第一类，甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由

分步乘法计数原理知有2x6=12种情况；

第二类,3人全来自其余4家企业，有4种情况.

根据分类加法计数原理，共有12+4=16种情况.

10.若直线方程Ax+By=0中的可以从0,123,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程

所表示的不同直线共有多少条？

阚分两类完成.

第一类，当A或B中有一个为0时,表示的直线为x=0或y=0,共2条.

第二类，当A,B不为0时,直线小:+8y=0被确定需分两步完成：

第一步，确定4的值，有4种不同的方法；

第二步，确定B的值，有3种不同的方法.

由分步乘法计数原理知，共可确定4x3=12条直线.

由分类加法计数原理知,方程所表示的不同直线共有2+12=14条.

B级关键能力提升练

11.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大

贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和"横式”两种方式来表示数字，如图：

字

形式123456789

纵式1IIII1111muTIT-HIT

横式—====±1X1

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图:

_LIT=m6728

±irin6708

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为

()

A.46B.44

C.42D.40

ggB

噩按每一位算筹的根数分类一共有15种情况，如

下:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(

1,1,3),(1,0,4),

1根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，

则上述情况能表示的三位数的个数分别为2,224,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根据分类加法计数原理,5根算筹能表示的三位数的个数为

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.

故选B.

12.用0,1,…,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()

A.243B.252

C.261D.279

解明由分步乘法计数原理知:用0,1,-,9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有

9x10x10=900个，组成无重复数字的三位数共有9x9x8=648个，因此组成有重复数字的三位数

共有900-648=252个.

13.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，但甲工

厂必须有班级要去，则不同的参观方案的种数为()

A.16B.18

C.37D.48

答案C

丽根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4x4x4=64种情况.其中工厂甲

没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3x3x3=27种

方案.则符合条件的参观方案有64-27=37种.故选C

14.5名同学在“五一”的4天假期中,随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是()

A.10B.60

C.54D.45

答案|D

画］5名同学在“五一’’的4天假期中,随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是

4x4x4x4x4=45,故选D.

15.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参

加，每人只报名参加一项,且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为.

直54

解困甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有两个培训可选，丙、丁各有三个培训可选,

根据分步乘法计数原理，不同的报名方法种数为3x2x3x3=54.

16.在某运动会的百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙3人必须在

123,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.

答案|2880

的分两步安排这8名运动员.

第1步:安排甲、乙、丙3人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，安排方式有4x3x2=24种；

第2步:安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，安排方式有

5x4x3x2x1=120种.

所以安排这8人的方式有24x120=2880种.

17.

如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示

该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点8传递信息，信息可以分开沿

不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为.

客剽19

丽由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自

上而下分别为3,4,6,6,依据分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.

18.某单位职工义务献血，在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的

共有9人,AB型血的共有3人.

(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

圈从O型血的人中选1人有28种不同的选法.从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从

B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.

(1)任选1人去献血，即无论选择哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成,

所以由分类加法计数原理，共有28+7+9+3=47种不同的选法.

(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1

人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28x7x9x3=5292种不同的选法.

C级学科素养拔高练

19.某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师,市教育局拟召开一个

新课程研讨会.

(1)若选派1名教师参会，有多少种派法？

（2）若三个学科各派I名教师参会，有多少种派法？

（3）若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法？

网（1）分三类:第一类选语文老师，有12种不同选法;第二类选数学老师，有13种不同选法;第三

美选英语老师，有15种不同选法，共有12+13+15=40种不同的选法.

（2）分三步:第一步选语文老师，有12种不同选法;第二步选数学老师，有13种不同选法;第

三步选英语老师，有15种不同选法，共有12x13x15=2340种不同的选法.

（3）分三类:第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12x13种不同的选法;第二类选一

位语文老师和一位英语老师共有12x15种不同的选法;第三类选一位英语老师和一位数学老

师共有15x13种不同的选法，共有12x13+12x15+13x15=531种不同的选法.

3.1.2排列与排列数

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1.将两位新同学分到4个班中的两个班，共有的分法种数为（）

A.4B.12

C.6D.24

画共有=12种分法.

2.有5本不同的书，其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.现把它们摆放成一排，要求2本数

学书不能相邻，则这5本书的不同摆放种数是（）

A.24B.36C.48D.72

gg]D

丽先排语文、物理书，有种方法.然后将数学书插空，有种方法.由分步乘法计数原理,得不同

摆放种数为=72.

3.已矢口3=4,贝!Jx等于（）

A.6B.13C.6或13D.12

泡A

解析因为3=4,所以3x=4x,即3=，解得x=6（x=13舍去）.故选A.

4.若直线方程Ar+的=0的系数A方可以从0,123,6,7这六个数字中任取两个不同的数值，则

这些方程所表示的直线条数是（）

A.18B.20

C.12D.22

解困第一类:先考虑除o之外的五个数字,它们可以组成的直线条数为，但由于，

从而不同的直线条数应为-4;

第二类:A,8中恰有一个为0时，所表示的直线为x=0或y=0共2条.

由分类加法计数原理可知,不同的直线条数应为-4+2=18.

5.甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天

且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两人前面，则不同的安排方法共有（）

A.20种B.30种

C.40种D.60种

量A

解橱©甲安排在周一,不同的安排方法有=12种;②甲安排在周二,不同的安排方法有=6种;③

甲安排在周三,不同的安排方法有=2种.所以共有12+6+2=20种不同的安排方法.故选A.

6.高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成我校“口才季”中的一个辩

论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙

担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）

A.12种8.16和1

C.20种D.24种

函D

丽若甲、乙有1人担任一辩，则有=12种；

若甲、乙没有人担任一辩，则戊一定担任一辩，则有=12种.

根据分类加法计数原理可得不同组队方式共有12+12=24种.故选D.

7.满足不等式＞12的n的最小值为.

客剽10

解画由排列数公式得＞12,即（〃-5〉（〃-6）＞12,解得n＞9或"2.又〃27,所以"＞9,所以〃的最小

值为10.

8.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙

必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么这6项工程有一

种不同的完成顺序.

答案120

窿画由题意，工程甲、乙、丙、丁的顺序已确定，且工程丙、丁紧挨着，则只需将余下的2项工

程安排好，故这6项工程不同的完成顺序有=20（种）.

9.为配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，其中有机染料的添

加顺序不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数

为.（用数字作答）

答案］440

臃画先排无机染料和添加剂,有种不同的排法，再排有机染料.因为它们不能相邻，所以用插空

的方法排有机染料，有种不同的排法.故共要进行的试验次数为=1440.

10.某市田径集训队有4名队员，要参加4x100接力比赛，根据队员的训练成绩,甲不能跑第一

棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有多少种？

凰（排除法）若不考虑限制条件,4个队员全排列有=24种排法，减去甲跑第一棒有种排法，乙跑

第四棒有种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有种排法,共有一2+2=14种不同的出场顺

序.

B级关键能力提升练

11.（多选）下列问题中，属于排列的有（）

A.10本不同的书分给10名同学，每人一本

B.10位同学去做春季运动会志愿者

C.10位同学参加不同项目的运动会比赛

D.10个没有任何三点共线的点构成的线段

fgAC

睚明因为排列与顺序有关系，因此AC是排列,BD不是排列，故选AC.

12.（2020山东潍坊高二检测）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特

别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》

《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》

的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有()

A.288种B.144种C.720种D.360种

gg]B

函根据题意分2步进行分析:①将《将进酒》《望岳》和另确定的两首诗词共4首诗词全

排列，则有=24种顺序.

《将进酒》排在《望岳》的前面，，这4首诗词的排法有=12种.

②这4首诗词排好后，不含最后一个空位，有4个空位，在4个空位中任选2个，排《山居秋

暝》与《送杜少府之任蜀州》，有=12种安排方法.

则后六场的排法有12x12=144种.

故选B.

13.(多选)(2020山东济南高三月考)6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必

须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有()种

A.24B.36

C.D.

§M]AC

解画第一步:甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；

第二步:丙、丁两本书必须相邻视为整体与其他两本共三本，有种排法.

所以不同的摆放方法有=24种.故选AC.

14.某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，且老师不能

连上3节课(第5节和第6节不算连上)，那么这位老师一天的课表的所有排法有种.

餐剽474

画从9节课中任意安排3节共有=504种，

其中上午5节课连排3节共有3=18种；

下午4节课连排3节共有2=12种.

...老师一大课表的所有排法共有504-18-12=474种.

15.已知=89,则n的值为.

馥115

解析|由题=90,得(”-5)(〃-6)=90,解得“=15.

16.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有种,两位女

同学相邻的概率是.

翦12

髭责两位女同学相邻的排法共有=2x6=12种排法，四位同学排成一列共有=4x3x2=24种排法,

所以两位女同学相邻的概率P=.

17.(2021浙江宁波)一场小型晚会有三个唱歌节目和两个相声节目，要求排出一个节目单.

(1)两个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

(3)前三个节目中要有相声节目，有多少种排法？

阚⑴把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列，共有=48种排法；

(2)选两个唱歌节目排在首尾,剩下的三个节目在中间排列，共有=36种排法；

(3)五个节目全排列减去后两个都是相声节目的排法，共有=120-12=108种排法.

18.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、

2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

阚分3类:第一类用1面旗表示的信号有种；

第二类用2面旗表示的信号有种；

第三类用3面旗表示的信号有种.

由分类加法计数原理，所表示的信号种数是=3+3x2+3x2x1=15.

C级学科素养拔高练

19.(1)解不等式<6;

⑵解方程=140.

网⑴由<6,得<6x,

化简得19x+84<0,解得7<x<12,①

又所以2cxW8,②

由①②及x《N+得x=8.

(2)因为所以x23,且xdN+,

由=140,得(2x+l)2x(2x-l)(2r-2)=140x(x-1)(x-2).

化简，得4/-35x+69=0,

解得X1=342=(舍去).

所以方程的解为x=3.

20.现有5名男生和3名女生站成一排照相.

(1)3名女生站在一起，有多少种不同的站法？

(2)3名女生次序一定,但不一定相邻，有多少种不同的站法？

(3)3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻，有多少种不同的站法？

(4)3名女生中4,B要相邻,A,C不相令也有多少种不同的站法？

园⑴根据题意，分2步分析：

①3名女生看成一个整体，考虑其顺序有=6种情况，

②将这个整体与5名男生全排列，有=720种情况，

则3名女生排在一起的排法有6x720=4320种.

(2)根据题意，将5人排到8个位置，有种排法，

由于3名女生次序一定,就一种排法，

则其排法有=6720种排法.

(3)根据题意，分2步分析：

①将5名男生全排列，有=120种情况，

②除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有=24种情况，则3名女生

不站在排头和排尾,也互不相邻的排法有120x24=2880种.

(4)根据题意，分2种情况分析：

①A,3,C三人相邻，则8在中间4,C在两边，三人有=2种排法，将3人看成一个整体，与5

名男生全排列，有=720种情况，则此时有2x720=1440种排法；

②A,B,C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有=120种情况，将A3看成一个整体，有=2

种情况，再和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有种情况.此时有120x2x=7200种，

则3名女生中,A,B要相邻AC不相邻的排法有1440+7200=8640种排法.

3.1.3组合与组合数

第一课时组合及组合数公式

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1.计算:=（)

A.120B.240

C.60D.480

ggA

豳=120.

2.（多选）若，则x的值可能为（）

A.2B.3

C.4D.5

SM]AB

解析|由组合数公式的性质可得/+1=2x-l或x+1+2x-l=9,解得x=2或x=3.经检验,均符合题意.

故选AB.

3.给出三个事件:①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分

法?②从1,2,3,…,9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数,这样的三位数共有多

少个?③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?其中是组合问题的有

（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案D

姓酬Dio名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，与顺序无关，所以为组合问题.

②从1,2,3,…,9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，只需选出3个数字，

选出后顺序固定，不需要排序，所以为组合问题.

③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，因为两人之间只握手一次即可,所以该

问题与顺序无关，是组合问题.

所以①②③均与顺序无关，所以都是组合问题.故选D.

4.异面直线a,b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（）

A.20

B.9

C.

D.

蠲B

朝分两类:第一类,在直线«上任取一点,与直线b可确定个平面悌二类，在直线b上任取一

点,与直线a可确定个平面.故可确定=9个不同的平面.

5.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有

（）

A.36个B.72个

C.63个D.126个

廨树此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线的交点个数即所求,

所以交点有=126个.

6.从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数

字的四位数(用数字作答)

餐圜1260

窿丽分两类：

第一类:从0,2,4,6中取到0,

则没有重复数字的四位数有=540个；

第二类:从0,2,4,6中不取0,

则没有重复数字的四位数有=720个.

所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260个.

7.某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的菜品.现在

餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准

备不同的素菜种.(结果用数值表示)

打7

丽设餐厅至少还需准备x种不同的素菜，

由题意，得》200,

从而有220,即x(x-l)240.

所以x的最小值为7.

8.求证:初++,,•+=)〃!.

证明左边二加(1++,,,+)

=”!(+♦・,+)

=7%!(+••・+)

=/?/!(+,,,+)

二右边.

B级关键能力提升练

9.计算2+3的值是()

A.72B.102C.5070D.5100

艇画依题意，原式=2+3=2x+3x5x4=42+60=102,故选B.

10.(多选)(2021江苏苏州星海实验中学高二期中)下列等式正确的是()

A.

B.

C.(n+2)(n+l)

D.

固夏］ACD

臃丽根据组合数的性质可知，故AD正确；

根据排列数与组合数的关系可知，故B不正确；

因为(〃+2)(〃+1)=(〃+2)(〃+1)〃(〃-1)…(九-刃+1),

二(〃+2)(〃+1)・・・(〃+2-切-2+1)

=(n+2)(w+1)n(n-1)••,(n-m+1),

所以5+2)(〃+1),故C正确.故选ACD.

11.2020年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班各

两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中（1）班两

位同学是挛生姐妹,需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的

乘坐方式共有（）

A.18种B.24和1

C.48种D.36种

奉B

回画由题意，第一类,⑴班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班

级中选两个为=3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为=4种，故有3x4=12种；

第二类,（1）班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在

甲车上，为=3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为=4种，这时共有3x4=12种，根据

分类加法计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式.

故选B.

12.（2021湖南高三月考）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.

哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如20=7+13,在不超过20

的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数的和是奇数的概率是（）

A.

B.

C.

D.

飙B

髭责因为不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，随机选取2个不同的数,其和为奇数,

则必有2,所以所求概率P=.故选B.

13.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动,则至少选中一名男生

的选法种数是.

1^17

隆丽从5名学生中选2名学生去参加活动，有=10种，从3名女生中选2名女生去参加活动，

有=3种，所以至少选中一名男生的选法种数是10-3=7.

14.（2020上海第二工业大学附属龚路中学高三月考）用0,1,2,3,4这五个数可以组成

个无重复数字的三位奇数;个三位奇数.（用数字作答）

答案|1840

解册先确定末尾一共有1,3两种情况，再确定百位与十位，所以一共有2x=18个.

先确定末尾一共有1,3两种情况，再确定百位与十位，所以一共有2x=40个.

15.一位教练带领的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛.按照足球比赛

规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：

（1）这17名学员可以形成多少种上场方案？

（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员,那么这位教练有多少种方式安排上

场队员？

国（1）由于上场队员没有角色差异，所以可以形成的上场方案种数为=12376.

（2）教练可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组,共有种选法；

第2步，从选出的11人中选出1名守门员,共有种选法.

所以教练做这件事情的方式有=136136种.

C级学科素养拔高练

16.(2021北京昌平高三期末)高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科

目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知

某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：

选考

科物化生地政

目名理学物史理治

称

选考

该

24281415ab

科人

数

下面给出关于该班学生选考科目的四个结论:①若。=19,则6=11;②选考科目组合为“历史+地

理+政治”的学生一定不超过9人;③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科

目组合;④选考科目组合为“生物+历史+地理''的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最

少的.其中所有正确结论的序号是.

gg0②③

丽①所有学生选的科目总数为37x3=111,则a+6=111-24-28-14-15=30,若“=19,则b=11,故

①对；

②选考化学的学生有28人,37-28=9人，则选考科目组合为“历史+地理+政治'’的学生一

定不超过9人，故②对;③在选考化学的所有学生中，学生还须选另外两科，则从五种里面选两

种，共有=10种，最多出现10种不同的选考科目组合，故③对;④因为地理，政治人数不确定，选

考科目组合为“生物+历史+政治”的学生人数不一定比选考科目组合为“生物+历史+地理”的

学生人数多，故④错.

17.推广组合数公式，定义，其中xeR,〃?eN+,且规定=1.

⑴求的值；

(2)设x>0,当x为何值时，函数./«=取得最小值？

网(1)由题中组合数的定义得

=-680.

(2)由题中组合数的定义得

7(x)=(x+-3).

因为x>0,由均值不等式得x+22,当且仅当》=时，等号成立.

所以当》=时，取得最小值.

第二课时组合数的应用

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1.从10名大学毕业生中选3人去参加活动，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选

法的种数为（）

A.28B.49

C.56D.85

解画由题意知，丙没有入选，所以只需把丙去掉，把总的元素个数变为9个，因为甲、乙至少有1

人入选，所以条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一个的选法，共有=42种选法;另一类是

甲、乙两人都入选，共有=7种选法.由分类加法计数原理可得，不同的选法种数为42+7=49,故

选B.

2.（多选）上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级

任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）

A.3600种B.种

C9375种D.X54种

ggCD

陵明因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均

有5种选择，所以共有54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有x5，=9375种方案.

3.甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出

2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

A.150种B.180种

C.300种D.345种

ggD

解丽若这名女同学是甲组的，选法有种;若这名女同学是乙组的，则选法有种.故符合条件的选

法共有=345种.

4.两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜,决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局

次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种

C.20种D.30种

画分三种情况:恰好打3局，有2种情形;恰好打4局（一人前3局中赢2局、榆1局，第4局

嬴），共有2=6种情形;恰好打5局（一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢），共有2=12种情形.

所有可能出现的情形共有2+6+12=20种.

5.（2021湖南永州高三三模）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛,决出第1名到第

5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；

对乙说:“你当然不会是最差的”,则该5人可能的排名情况种数为（）

A.18B.36C.54D.64

Sgc

隆丽先看乙，是中间一个名次中的一个，有种可能，然后看甲，是除第一名及乙外剩下的3个名

次中的一个，有种，最后其他三人名次任意，有种可能，共有=54种情况.故选C.

6.小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准

备在冬季的6个节气:立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气:立春、雨水、

惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节

气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是（）

A.345B.465

C.l620D.1860

gg]B

画根据题意可知,小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春.

1冬3春的不同情况有=120种.

2冬2春的不同情况有=225种.

3冬1春的不同情况有=120种.

所以小明选取节气不同情况的种数是=465.故选B.

7.在平面直角坐标系内,平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条,则由这12条直线组成的图

形中，矩形共有个.(用数字作答)

答案1225

画从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有

=225个.

8.甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有一1名或2名志愿

者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种.(用数字作答)

容熟18

丽甲、乙两人在同一路口分配方案有=18种.

9.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才测试到最后一件次品，则这样的不同测

试方法数是多少？

(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

网⑴先排前4次测试，只能取正品，有种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第

10的位置上测试有种测法，再排余下4件，有种测法.所以共有不同的测试方法有=103680种.

(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件次品在前4次中出现,从而前4次有一件正品出

现.所以共有不同测试方法・(=576种.

10.已知平面a〃平面£,在a内有一4个点，在£内有6个点.

(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？

(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？

(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？

魁(1)所作出的平面有三类.

①由a内1点/内2点确定的平面，最多有个；

②由a内2点/内1点确定的平面，最多有个；

③a/本身，有2个平面.

故所作的平面最多有+2=98个.

(2)所作的三棱锥有三类.

①由a内1点/内3点确定的三棱锥，最多有个；

②由a内2点/内2点确定的三棱锥，最多有个；

③由a内3点/内I点确定的三棱锥，最多有个.

故最多可作出的三棱锥有=194个.

(3)当底面积、高相等时,三棱锥的体积相等.

所以体积不相同的三棱锥最多有=114个.

故最多有114个体积不同的三棱锥.

B级关键能力提升练

11.（2020山东济南模拟）篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮

球赛中，某队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包

含两名中锋,两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球

后卫，则该队的主教练出场阵容的选择的种数为（）

A.16B.28

C.84D.96

奉B

解明有两种出场方案:①中锋1人，后卫1人，有=16种出场阵容,②中锋1人，后卫2人，有=12

种出场阵容，共计28种，故选B.

12.（2020辽宁高二期末）十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会

议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A,B两市代表团）安排至a,b,c三家宾馆入住，规

定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A,B两市代表团必

须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（）

A.6B.12

C.16D.18

睚画如果仅有A,B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时安排种数有

=6,如果有A,8及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团分别入住此时安排种数

有=6.综上，共有不同的安排种数为12,故选B.

13.

算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”,档中横以梁，梁上两珠，

每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如:在十位档拨上

一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选

择一档拨一颗上珠,再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于1000的概率为

（）

A.B.C.D.

噩依题意得所拨数字共有=24种可能.

要使所拨数字大于1000,

若上珠拨的是千位档，则所拨数字一定大于1000,

有=6种；

若上珠拨的是个位档或十位档或百位档，则下珠一定要拨千位档，再从个位、十位、百位

档里选一个拨下珠，有=9种.

则所拨数字大于1000的概率为.故选D.

14.（多选）某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参

加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征

集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有（）

A.2种B.60种

C.120种D.种

答案|BD

解面从6人中选1人负责“征集留言''，从剩下的人中选2人负责“共绘展板''，再从剩下的人中

选3人负责“发放彩绳''，则不同的分配方案共有=60种.故选BD.

15.(2020上海高三月考)从3名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中

至少有一个人是男生的选派方案是46,那么〃=.

直5

解画三人中没有男生的选派方案为，故有-46,

所以-46,

整理得到层+"-30=0,故〃=5或"=-6(舍).

故n=5.

16.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践

活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有种,学生甲被单独安排去金华的

概率是.

噩根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论：

①五人分为2,2,1的三组，有=15种分组方法,对应三项志愿者活动，有15x=90种安排方

案；

②五人分为3,1,1的三组，有=10种分组方法,对应三项志愿者活动，有10x=60种安排方案,

则共有90+60=150种不同的安排方案.

学生甲被单独安排去金华时，共有=14种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的

概率是.

17.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求出现下列结果各有多少

种情况：

(1)4只鞋子没有成双的；

(2)4只鞋子恰有两双；

(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双.

网⑴从10双鞋子中选取4双,有种不同选法，每双鞋子中各取一只,分别有2种取法，根据分步

乘法计数原理，不同取法有N=X24=3360种.

(2)从10双鞋子中选2双有种取法，即有45种不同取法.

(3)先选取一双有种选法，再从9双鞋中选取2双有种选法，每双鞋只取一只，各有2种取法,

根据分步乘法计数原理，不同取法有N=X22=1440种.

C级学科素养拔高练

18.一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组，每组两人.

(1)若任意两人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？

(2)若这10人中有5名男生和5名女生，要求各组人员不能为同性，求这样的分组方式有多少

种？

(3)若这10人恰为5对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的分组方

式有多少种？

网⑴将10人平均分为5组共有=945种.

(2)将5名男生视为5个不同的小盒,5名女生视为5个不同的小球，问题转化为将5个小

球装入5个不同的盒子，每盒一个球，共有=120种.

(3)先任选一对夫妻有种，再将剩余4对夫妻分组，再将4个丈夫视为A,B,C,D四个小球,4

个妻子分别视为a力,四个盒子，则4个小球装入4个不同的盒子，每盒一个球，且与自己的字

母不同，有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA供有9种方法，故不同

的分组方法有x