圆-冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习（含答案）

专题：圆

冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习

选择题

1.如图，A、B、C、D、E是。。上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一个

五角星图形和五边形MNFG”.有下列3个结论:①②NCGQ=NCOO+NC4D,

③BM=MN=NE.其中正确的结论是（

C.②③D.①②③

2.扇形。AB中，OA=OB=2,NAOB=60°，点C在弧48上，CDLAO,垂足为点，

则△OCD面积的最大值为（）

A.2B.亨C.1D.M

3.如图，△ABC内切圆是。0,折叠矩形A8C£>,使点£>、。重合，FG是折痕，点F在

AD±,G在ABC上，连结OG,DG,若OG垂直。G,且。。的半径为1,则下列结论

A.CD+DF=4B.C£>-DF=2料-3C.BC+AB=2后4D.BC-AB=2

4.如图以正五边形A8CDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交区4的延长线于点4,再

以点B为圆心，氏V为半径作圆弧交CB的延长线于依次进行.得到螺旋线，再顺次

连结E4,AB',BC,CD',DE,得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为Si，S2,S3,

54,S5,且满足s5-S2=1,则54-S3的值为（）

5.如图，AB为。。的直径，户为8A延长线上的一点，。在。0上（不与点A,点8重合）,

连接尸。交。0于点C,且PC=08.设NP=a,N8=0,下列说法正确•的是（）

A.若0=30°,则/。=120°B.若0=60°,则/。=90°

C.若a=10°,则俞=150°D.若a=15°,则俞=90°

6.如图，4B为。。的直径，C为半圆的中点，E为踊上一点，CE=&,AB=2娓,则

7.文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题.如

图所示称为达芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别，为A，B,C,

。，而所在圆的圆心为点A（或C）.若正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

D

A.72B.2C.n-ID.4--

8.如图一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点。恰

好重合，折痕为CQ,则阴影部分的面积为（）

二

。⑷B

A.帆-3兀B.671-973C.3兀-9^D.期-6兀

9.如图，4B为半圆。的直径，AD,BC分别切。。于A、B两点,CO切。。于点E,AD

与CD相交于D,BC与CD相交于C,连接O。、OC,AD=3,,则四边形ABCD

3

的周长为（）

10.如图，△AC。内接于。。，CB垂直于过点。的切线，垂足为民已知。。的半径为幕,

BC=3,那么sinZA=（）

11.如图，以点。为圆心、2c5为半径作半圆，以圆心。为直角顶点作等腰RtZVIOB,斜

边AB刚好与半圆相切于点C,两直角边都与半圆所在弧相交，则图中阴影部分的面积为

D.2TTCW2

12.如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),A(3,0),0A半径为2,P为。A上任意一

点，E是PC的中点,则OE的最小值是()

A.1B.旦C.2D.

2

二.解答题

13.如图，以等腰AABC的一腰AC为直径作。0,交底边BC于点。，过点。作腰AB的

垂线，垂足为E,交AC的延长线于点尸.

(1)求证：EF是的切线；

(2)证明：/CAD=NCDF；

(3)若NF=30°,AD=g求。0的面积.

14.如图，在AABC中，NBAC=90°,点F在BC边上，过A,B,F三点的。0交AC于

另一点。，作直径AE,连结EF并延长交AC于点G,连结BE,BD,四边形8OGE是

平行四边形.

(1)求证：AB=BF.

(2)当F为2c的中点，且AC=3时，求。。的直径长.

15.如图，ZSABC是等腰三角形，S.AC=BC,/ACB=120。，在AB上取一点。，使。3

=0C,以。为圆心，08为半径作圆，过C作CQ〃AB交于点。，连接BD

(1)猜想AC与。0的位置关系，并证明你的猜想；

(2)已知AC=6,求扇形0BC围成的圆锥的底面圆半径.

16.已知直线/与OO,A8是。。的直径，A。，/于点O.

(1)如图①，当直线/与。0相切于点C时，若ND4C=30°,求NBAC的大小；

(2)如图②，当直线/与。0相交于点E,尸时，若/D4E=18°,求NBA尸的大小.

DC

图①

17.如图，已知AB是半圆。的直径，点尸是半圆上一点，连结BP,并延长8尸到点C,

使PC=PB,连结AC.

(1)求证：AB^AC.

(2)若4B=4,NA8C=30°.

①求弦8P的长.②求阴影部分的面积.

18.如图，。0中，直径CD_L弦AB于E,于交CD于N,连AO.

(1)求证：AO=AN；

(2)若48=4&,ON=1,求的半径.

S

19.如图，M,N是以A8为直径的。。上的点，且弧AN=MBN,BM平分NA8O,MCL

BD于点C.

(1)求证：MC是的切线：

(2)若BC=2,MC=4,求00的直径：

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的周长.

20.(1)已知等边△ABC内接于。0.点P为皿匕的一个动点，连结以、PB、PC.

①如图1,当线段PC经过点。时，试写出线段以，PB,PC之间满足的等量关系，并

说明理由；

②如图2,点尸为众上的任意一点(点尸不与点A、点B重合)，试探究线段南，PB,

PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(2)如图3,在AABC中，AB=4,AC=7,NBAC的外角平分线交AABC的外接圆于

点尸，PELAC于E,求AE的长.

参考答案

选择题

1.解：：A、B、C、D、E是。。上的5等分点,

二症=金，

故①正确；

VA>B、C、。、E是。。上的5等分点，

的度数=360。=72。

：.ZCOD=12°

ZCOD=2ZCAD

...NC4D=36°；

连接CQ

：A、B、C、D、E是。。上的5等分点，

•*-AB=DE=BC=CD'

...NBr>C=NOCE=/C4O=36°,

，；.NCGO=108°,

:.NCGD=NCOD+/CAD,故②正确；

连接A8,AE,

则NB4M=NABM=NEAN=NAEN=36°,

•：AB=AE,

:.AABM迫MENCASA),

:.BM=EN=AM=AN,

"：ZMAN=36Q,

：.AM^MN,③错误.

故选：A.

2.解：：0C=2,点C在定上，CDLOA,

=22=

DCVOC-ODV4-OD2,

2

S&OCD=4-0D

.』。加=亭亦“4-0。2）=-$。4+。力2=q（0>-2）2+l

...当O»=2,即。O=A/方寸，△OC£）的面积最大，最大值为1,

故选：C.

设。。与8c的切点为M,连接MO并延长M。交AO于点M

♦.•将矩形A8CD按如图所示的方式折叠，使点。与点。重合，折痕为FG,

OG=DG,

'：OG±DG,

：.ZMGO+ZDGC=9Q1,,

•.,/MOG+NMGO=90°,

NMOG=ZDGC,

fZOMG=ZDCG=90"

在△OMG和△GC。中，，ZMOG=ZDGC

OG=DG

.,.△OMG^AGCD,

：.OM=GC=l,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

•：AB=CD,

：.BC-AB=2.

设AB=mBC=b,AC=c,。0的半径为r,

QO是RtA/lBC的内切圆可得厂=微(a+b-c),

•\c=a+b-2.

在RtZUBC中，由勾股定理可得次+按=(“+6-2)2,

整理得2ab-4a-4〃+4=0,

又：BC-AB=2即匕=2+m代入可得2a(2+a)-4a-4(2+n)+4=0,

解得。=1+J§或a=l-M(不合题意舍去)，

：.BC+AB=2^4.

再设£>F=x,在Rt^ON尸中，FN=3+M，。尸=x,ON=1+如，

由勾股定理可得(2+J&-X)2+(料)2=*，

解得x=4-料，

:.CD-DF=M，CD+DF=yfj.

综上只有选项4错误，

故选：A.

2

4.解：设五边形的边长为则S172•兀・a_5.42”M72。,

3602

S2=您一°（2生）;-工•a•2a•sin72°,

3602

0

53=12二兀"（3包）£-工.a.3a.Sin72,

'3602

S4=?Z二兀"（4亘）.t-L・a・4”・sin72。,

3602

$5=?2二兀"（运）;-工a•5a•sin72°,

'3602

；S5-S2=1，

5-rra2---^i72«sin72°=1,

52

.,.-^^•Tt*a2--^Y72,sin72°=1,

/.S4-S3=-^rta2--15Tfl2--^tj2sin72°=-^rfa2--^a2sin72°=-^-,

故选：D.

OD=OB,

：・NB=NODB=B，

：.NPOD=NB+N0DB=2B，

*：CP=CO=OD,

:・/P=/COP=a,ZOCD=ZODCf

•・・NOCZ)=NP+NCOP,

：.ZODC=2a,

•・・/P+NPOQ+/OQP=180°,

A3a+2p=180°①，

不妨设选项A正确，则a=30°,0=30。，显然不满足①，故假设错误.

不妨设8正确，则a=30°,0=60。，显然不满足①，故假设错误.

不妨设C正确，则a=10°,0=75。，满足条件①，故选项C正确.

不妨设5正确，则a=15°,0=45°,显然不满足①，故假设错误.

故选：C.

6.解：连接AC、BC,延长BE,过。作BE的延长线于“，

・・・AB为。。的直径，。为半圆的中点，

・・・N4・CB=90°,AC=BCf

：.ZCAB=45°,

：.Z2=135°,

AZI=45°,

CHA.BE,

：.ZCHE=90°,

；.NHCE=45°,

:・CH=HE,

；CE=&,

：.CH=HE=\,

275-

•,-B//=VBC2-CH2=3;

:.EB=3-1=2,

7.解：•.•圆与正方形的各边均相切，切点分别为A,B,C,D,

B,C,。分别是正方形各边中点，

如图所示，分别连接AB,BD,

则ZD4B=90°,

♦.•正方形边长为2,

：.AD=AB=^

S扇形ABO-S&ABD=90、好2_枭&X&苫一1,

360NN

JTJT

阴影=S圆-21)=7TXI2-2-1)=2.

故选：B.

A

0(A)B

・・•扇形纸片折叠，使点4与点。恰好重合，折痕为CD,

：.AC=OCf

：.OD=2OC=6,

・・・NCQO=30°,ZCOD=60°，

由弧A。、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇般A。。-翅三X-2_lx

_3602

3X3«=6n-^^，

••・阴影部分的面积为迎US•武-2X（6n-2返）=973-3n,

3602"'

故选：A.

・・・AQ、BC分别切。。于A、3两点，CD切。0于点E,

：.AD=DEfBC=CE,NZM3=NC3A=9O°,

・・・四边形A。尸8是矩形，

；・AD=BF,AB=DF,

；4D=3,BC=—,AD=DE,BC=CE,

3

；.£)£：=3,C£=—,

3

.\DC=3+—=—,CF=BC-AD=—-3=工,

3333

在RtaCF。中，由勾股定理得：力尸=而1石上=｛穹)2_(,)2=8,

即AB=DF=S,

即四■边形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB=3,+^-^-8=―,

333

故选：D.

10.解：如图，作。。的直径。K,连接*CK,

垂直于过点。的切线，垂足为B,

：.ZKDB=90°,ZKCD=90°,

：.ZCDB=90°-/KDC=/K,

・.,NKC£)=NB=90°,

:•△KCDs^DBC,

・CDBC

••—,

DKCD

的半径为蒋，BC=3,

o

DC-

即C£>=4,

TAB切半圆。于C,

・・・OCA.AB,

・・・△BOA是等腰直角三角形，

・・・NAO8=90°,OA=OB,ZA=ZB=45°,

：.AC=BCfOC=BC=AC=2crn1

HPAB=4cm,NNEOG=18」0°-90°=90。,

阴影部分的面积5=迎12空+[x4X2-迎上^i=4{cm2),

3602360

故选：A.

12.解：如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH.

八

•：CE=EP,CH=AH,

：.EH=—PA=\,

2

.•.点E的运动轨迹是以，为圆心半径为1的圆，，

VC(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

OH=722+l.52=2.5.

；.OE的最小值=OH-EH=2.5-1=1.5,

故选：B.

解答题(共8小题)

13.(1)证明：如右图，连接。。，AD,

；AC是直径，

AZADC=90°,BPAD±BC,

又AB=AC,

：.BD=CD,

又AO=C。，

，OD//AB.

又FELAB,

：.FEA.OD,

・・・EF是。。的切线;

(2)VOD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

VZADC=ZODF=90°,

：.ZCAD+ZOCD=90°,ZC£)F+ZO£>C=90°,

：・/CAD=/CDF；

(3)在RtZ\O£>b中，N尸=30°,

ZDOC=90°-30°=60°,

^OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=—ZDOC=30°,

2

在RtAADC中，

An如

心知。=石=2,

cos30*迎

2

r=L

/.SQO—n*l2=ir,

，O。的面积为Tr.

是。。的直径，

：.AF1,EG,

•.•四边形2OGE是平行四边形,

：.BD//EG,

：.BD±AF,

VZBAC=90°,

是。。的直径，

.•.80垂直平分A凡

：.AB=BFi

(2)•.•当F为BC的中点,

：.BF=—BC,

2

'：AB=BF,

：.AB=—BC,

2

VZBAC=90°,

；./C=30°,

"./ABC=60°,4B=^4C=百,

•：AB=BF,

:.NABD=30°,

：.BD=2,

•••O。的直径长为2.

理由：

"：AC=BC,ZACB=\20°,

.•.NA8C=NA=30°.

'：OB=OC,/CBO=/BCO=30°,

.".ZOCA=120°-30°=90°,

-：.AC±OC,

又是OO的半径，

...AC与。。相切；

(2)在RtZ\40C中，ZA=30°,AC=6,

则tan30°=—=—=^,ZCOA=60°,

AC63

解得：CO=2百，

120冗X(2«)娟兀

.•.弧BC的弧长为:

1803

设底面圆半径为：r,

则2nr=玄巧兀，

3

解得：r=±^A.

3

16.解：⑴连接0C、

•・,/是。。的切线，

A0C1Z,

VAD±Z,

・•.OC//AD,

・・・NOC4=NZMC=30°,

*：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

(2)连接BE,

TAB是。0的直径，

AZAEB=90°,

AZAED+ZBEF=90°,

VZAED+ZDAE=90°,

：.ABEF=ADAE=MQ,

;BF=BF,

；・NBAF=NBEF=18°

a

DE

图②

A

w

DCI

图①

17.(1)证明：连接4P,

「AB是半圆。的直径，

AZAPB=90a,

：.APLBC.

,/PC=PB,

.♦.△ABC是等腰三角形，即AB=AC；

(2)解：①；NAPB=90°,AB=4,/ABC=30°,

."P=LB=2,

2

•'•^^VAB2-AP2=V42-22=2V3：

②连接OP,

；NA8c=30°,

：.ZPAB=60°,

：.ZPOB=nO°.

•.•点。时AB的中点，

Sys=="^-XPB=[x2X2^/^=

1・S阴影=s扇形8。尸■S/,POB

管

c

B

18.(1)证明：•.•/•BA。与NBC£>是同弧所对的圆周角，

：.ZBAD=ZBCD,

'：AE±CD,AM±BC,

...NAMC=NAEN=，90°,

NANE=/CNM,

；.NBCD=NBAM,

：.ZBAM=BAD,

在△ANE与△AOE中，

rZBAM=ZBAD

V<AE=AE.

,ZAEN=ZAED

：./\ANE^/\ADE,

：.AD^AN；

(2)解：VAB=4^2,AE±CD,

；.4E=2&,

又；ON=1,

，设NE=x,贝lJOE=x-l,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x-1

连结AO,则AO=OD=2x-1,

「△AOE是直角三角形，AE=2近,OE=x-l,AO=2x-1,

(2&)2+(x-1)2=(2x-1)2,解得》=2,

19.解：（1）如图1,连接OML

•：OM=OB,

；.NOMB=NOBM,

平分/AB。，

NOBM=NDBM,

：.NOMB=NDBM,

J.OM//BC,

'：MC±