山东省临沂市2019-2020学年高一年级上册期末数学试题（解析版）-高中数学课件教案试题

普通高中学科素养水平监测

数学

一、单项选择题

1.设全集0=区，A={X|X2-2X<0},5={x|l_x>0},则如图阴影部分表示的集合为（）

A.{x|x>l}B.{#41}

C.1x|O<x<l|D,|x|l<x<21

【答案】D

【解析】

【分析】

解出集合A、B,然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.

【详解】：A={x,2-2x<。}={x[O<x<2},3={x[l-x>0}={x|x<l}.

图中阴影部分所表示的集合为{x\xeA且xe6}={%|1<x<2].

故选：D.

【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清

楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题.

2.命题：3/ieN,〃2〉3〃+5,则该命题的否定为（）

A.V〃eN,/>3〃+5B.V〃eN,n2<3n+5

C.BneN,rr<3/?+5D.BneN,n2<3n+5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据特称命题的否定可得出结论.

【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：V“eN,〃2«3〃+5.

故选：B.

【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属

于基础题.

3.若a=e°5,b=ln2,c=log20.2,则有（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较。、b,。三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小

关系.

【详解】指数函数>=，为增函数，则a=e°5>e°=l;

对数函数y=lnx为增函数，则lnl<ln2<lne,即0<。<1：

对数函数y=log?尤为增函数，贝ijc=log?0.2<log21=0.

因此，a>b>c.

故选：A.

【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、

1的大小关系，考查推理能力，属于基础题.

4.设a,bwR,则"（”一七）/<o”是的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】由一〃）/<0一定可得出a<力；但反过来，由a<人不一定得出（a-b）/<0,如。=0,故

选A.

【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是

解答好本类题目的关键.

5.下列四个函数中，以乃为最小正周期，且在区间（办上单调递减的是（）

A.y=sinxB.y=sin2xC.y=cos2xD.y=tanx

【答案】C

【解析】

【分析】

逐个分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间（乃上的单调性，即可得出结论.

【详解】对于A选项，函数y=sinx的最小正周期为2〃，且该函数在区间（凡当）上单调递减;

对于B选项，函数y=sin2x的最小正周期为—=兀，当乃<x<—时，21〈2%<3乃，

22

则该函数在区间（乃，当）上不单调；

2TC37r

对于C选项，函数y=sin2x的最小正周期为—=4，当乃<x<—时，2兀<2x<3几，

22

则该函数在区间（乃上单调递减；

对于D选项，函数y=tanx的最小正周期为万，且该函数在区间卜，技）上单调递增.

故选：c.

【点睛】本题考查三角函数周期和单调性的判断，熟悉正弦、余弦和正切函数的基本性质是判断的关键,

考查推理能力，属于基础题.

6J(x)是定义在［-6,6］上的偶函数，且/(1)</(3),则下列各式一定成立的是()

A./(0)</(6)B./(-3)>/(1)

C./(2)</(3)D./(-1)>/(0)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用偶函数的性质和/(I)(3)对各选项中的不等式逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】由于函数>=〃力是定义在［-6,6］上的偶函数，且*1)</(3).

对于A选项，/(0)与/(6)的大小无法判断；

对于B选项，/(-3)=/(3)>/(1),该不等式成立；

对于C选项，〃2)与“3)的大小无法判断；

对于D选项，/(一1)=/(1),/(0)与了。)的大小无法判断.

故选：B.

【点睛】本题考查利用偶函数的性质判断不等式是否成立，考查推理能力，属于基础题.

/1-cos^住黑可化简为()

7.若。为第四象限角，则1

V1+cos^'

22

A.2taneB.------C.-2tan6D.----

tan。tan。

【答案】D

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的平方关系化简即可.

【详解】・・・津为第四象限角,则sin£<0,且0<cos8<l,.・.l±cose>0,

因此,

1-COS^/1+COS^_I(l-COS。)-(1+COS^)2

1+COS0v1-COS^(1+COS^)(1-cos0s)。一cos6)(1+cos夕)

(l-cos6^)2(1+cos^)2_l-cos。1+cosB1-cos01+cos02

-----1-----=---

sin2^Vsin23~sin。sin。sin。singtang

故选：D.

【点睛】本题考查利用同角三角函数的平方关系化简，在去绝对值时，要考查代数式的符号，考查计算能

力，属于中等题.

8.用函数"(X)表示函数“X)和g(龙)中的较大者，记为：M(x)=max{/(x),g(x)}.若/(%)=桐,

g(x)=x-2,则M(x)的大致图象为()

【答案】A

【解析】

【分析】

在同一直角坐标系中作出两个函数y=/(x)和y=g(x)的图象，结合函数y=M(x)的定义得出该函数

的图象.

【详解】在同一直角坐标系中作出两个函数y=/(x)和y=g(x)的图象，如下图所示:

g(x),O<|x|<l

由图象可知,M(x)=max{/(x),g(x)}

因此，函数y=M(x)的图象为A选项中的图象.

故选：A.

【点睛】本题考查函数图象的识别，理解函数y=M(x)的定义是关键，考查分析问题和解决问题的能力,

属于中等题.

二、多项选择题

9.对于①sin(9>(),@sin6»<0,③cos6>0,④cos6<0,⑤tan6>(),⑥tan6<(),则。为第二象

限角的充要条件为()

A.B.C.④⑥D.②⑤

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据。为第二象限角判断出sin。、cos。、tang的符号，从而可得出。为第二象限角的充要条件.

【详解】若。为第二象限角，则sin8>0,cos6<0，tan6»<0.

sin"0sin^>0cos0<0

所以‘,为第二象限角=3"。或,nV<

tan0<0”tan。<0

故选：BC.

【点睛】本题考查三角函数值的符号与象限角之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

io.如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：〃/）与时间，（单位：月）的关系为>=储.关于下列说法正确

的是（）

A.浮萍每月的增长率为2

B.浮萍每月增加的面积都相等

C.第4个月时，浮萍面积不超过80加2

2

D.若浮萍蔓延到2m2、4，/、8m所经过的时间分别是4、f2、，3，则2f2=。

【答案】AD

【解析】

【分析】

将点（1,3）的坐标代入函数），="的解析式，求出底数"的值，然后利用指数函数的基本性质以及指数运算

逐个分析各选项的正误，可得出结论.

【详解】将点（1,3）的坐标代入函数y="的解析式，得4=3,函数的解析式为y=3’.

对于A选项，由J=2可得浮萍每月增长率为2,A选项正确；

3"

对于B选项，浮萍第1个月增加的面积为31—3°=2（m2）,第2个月增加的面积为32-3,=6（m2）,2H6,

B选项错误；

对于C选项，第4个月时，浮萍的面积为34=81>80,C选项错误；

对于D选项，由题意可得3"=2，3'2=4，3々=8，•.•42=2x8，，9）2=3"x3'2,

即32〃=3s所以，2t2=tt+t3,D选项正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查指数函数基本性质应用以及指数基的运算，解题的关键就是求出指数函数的解析式,

考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11.下列命题中正确的是()

A.函数一/区间(0,1)上有且只有1个零点

B.若函数/(x)=x2+cix+b,则卜/⑸

C.如果函数丫=*+!在］。,可上单调递增，那么它在［―久―上单调递减

X

D.若函数y=/(x)的图象关于点(。,。)对称，则函数y=/(x+a)—人为奇函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】

分析函数y=在区间(o,。上的单调性，结合零点存在定理可判断A选项的正误；利用作差法可

判断B选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判

断D选项的正误.

(1、x

【详解】对于A选项，函数X=廿在区间(0,1)上减函数，函数%=/在区间(0,1)上为增函数，所

\2>

以，函数y=——在区间(0,1)上为减函数,

一。2>0,所以，函数y=―/在区间(0,1)上有且只有1个零点，A选项正

确：

对于B选项,

/(%,)+/(x)Ya(%|+x)

玉+x22CXy+x22+ax}+h+xl+ax2+b

22I2J22

=(X+7)-2(汇+%)=2gx；x；=(W)2w0,B选项正确；

444

对于C选项，令/(x)=x+：,定义域为{x|x=O},关于原点对称，

且/(一x)=-x+17=—fx+L]=-/(x),所以，函数/(x)=x+^f■为奇函数,

一%kXJX

由于该函数在区间何为增函数，则该函数在区间［-h-上也为增函数，C选项错误；

对于D选项，由于函数y=/(x)的图象关于点(a,。)对称，则/(a+x)+.f(a-x)=2/7,

令g(x)=/(x+a)一匕，定义域为R，且g(-x)+g(x)=/(-x+a)-b+/(x+a)-匕=2Z?-%=0,

即g(-x)=_g(x),

所以，函数y=/(x+a)—人为奇函数，D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及函数的单调性、对称性、零点存在定理的应用，考查分析问题和

解决问题的能力，属于中等题.

12.若函数〃x)=l+4sinxT在区间信27)上有2个零点，则f的可能取值为()

A.-3B.0C.3D.4

【答案】BD

【解析】

【分析】

令/(x)=°，可得sinx=M。，作出函数旷=$指"与＞=、!■在区间仁,2万)上的图象，可知两个函数

在区间看,2乃上的图象有两个交点，进而求出实数f的取值范围，从而可得出合适的选项.

【详解】令〃x)=0,可得sinx=1L可知两个函数在区间煮,27上的图象有两个交点,

作出函数丫=揄1工与y=在区间话,2万）上的图象，如下图所示:

1Z-lt-\

则一<——<1或一1<——<0,解得3</<5或一3<f<l.

244

故选：BD.

【点睛】本题考查利用三角函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，考查数形结合

思想的应用，属于中等题.

三、填空题

13.（、）+logg4=------

【答案】|4

【解析】

【分

利用指数的运算性质和对数的换底公式可计算出所求代数式的值.

22

［详解］原式=［I）+log7.,2=|+|=^.

4

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查指数与对数的混合运算，涉及指数的运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于

基础题.

14.已知lgx+lgy=2,则一+一的最小值是

xy

【答案】I

【解析】

由lgx+lgy=2得：邛=100,所以一+一=；77肛一+—=；7^(尤+丁)2二而=之，当且仅当

xy100yxy)100505

X=y=10时，取等号，故填;.

门、kl

15.已知函数y=+6的图象过原点，且无限接近直线y=l但又不与该直线相交，则a-b=.

【答案】-2

【解析】

【分析】

由函数y=〃(；)"+。的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交可得出6=1,再将原点坐标代入该函

数的解析式可求出。的值，由此可计算出G-B的值.

【详解】由于函数y=的图象无限接近直线＞=1但又不与该直线相交，则匕=1,

k2；

门、0

又••.函数y=+人的图象过原点，则+1=0,可得a=-l,

因此，a-b=-2.

故答案为：—2.

【点睛】本题考查利用指数型函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题.

16.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿.当小轮转动两周时，大轮转动的角为rad；

如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16c根,则大轮周上一点每1秒转过的弧长为cm.

94

【答案】(1).—(2).54万

【解析】

【分析】

可设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为外、。，，根据两齿轮转动时转过的齿轮数相等可求出国的值，

co2

进而可求出结果.

【详解】设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为外、02,在转动时，两齿轮转过的齿轮数相等,

当小轮转动两周时，转过的齿轮数为18x2=36,

369

则大齿轮转动的角为盆'X2万=1乃(rad).

In

co占9aa27

由题意可知，—=^=—>(转/秒)，

<y2=—x3=—

co,2万16161616

-18

27

所以，大轮周上一点每1秒转过的弧长为16X—X2I=54乃(cm).

16

9"_

故答案为：—；54TT.

4

【点睛】本题考查扇形圆心角与弧长的计算，解题时要明确两齿轮旋转时转过的齿轮数相等，考查分析问

题和解决问题的能力，属于中等题.

四、解答题

4cosa-sina

17.已知

3sinfz+2cosc4

(1)求tancr的值;

(2)求sin(7一a)sin(^-a)的值.

2

【答案】(1)2；(2)

【解析】

【分析】

4COS(1—Qin<7

(1)由等式----------------二—可求出sina与cosa的等量关系，从而可求出tana的值;

3sina+2cosa4

(2)利用诱导公式将所求代数式化简，然后在所求代数式上除以sir?a+cos2a转化为正、余弦齐次分式,

利用弦化切的思想可计算出所求代数式的值.

、4cosa-sina1八一r-

【详解】(1)•/-------------------=—,.•.16cosa—4sma=3sma+2cosa,14cosa=7sina,

3sina+2cosa4

因此，tana=2；

./、.(3万、.sinacosatana22

(2)vsin(^-a)sin-----a=-sinacosa=--------------------=--------------=——-----=——

'(2)sin-a+cos2ataira+122+l5

【点睛】本题考查三角函数求值，涉及弦化切思想以及诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

18.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x〉0时，/。)=1一2'.

(1)求当x<0时“X)的解析式；

(2)求不等式〃x)<l的解集.

【答案】⑴/(x)=2-x-l；⑵(-1,+8).

【解析】

【分析】

(1)设X<0,可得出T>0,求出/(—X)的表达式，再利用奇函数的性质可得出“X)的表达式；

(2)分x〉0、x=0、x<0三种情况解不等式进而可得出该不等式的解集.

【详解】(1)•.•当x〉0时，/(x)=l-2l,

当x<0时，T>0，.•./(—x)=l—2-*.

又y=/(x)是R上的奇函数，.・.〃—x)=—/(力.

.•J(x)=—/(—x)=—(1—27)=2一'—1,即x<0时，/(x)=2-x-l；

(2)当x>0时，不等式可化为1一2,<1，.・.2'>0，显然成立；

当x=0时，y=/(x)是奇函数，/(0)=0<1成立；

当X<0时，不等式可化为.,.2-*<2，得—l<x<0.

综上可知，不等式/。)<1的解集为(T”).

【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，同时也考查了分段函数不等式的求解，涉及指数函数单

调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

19.已知函数/(力=3!1(8_9)卜〉0,0<夕<?的最小正周期为不，且„=；,

(1)求“X)的解析式；

TT5冗

(2)求/(力在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)/(x)=:sin(2x—g］；(2)最大值为，，最小值为一立.

2k3；24

【解析】

【分析】

(1)由函数y=/(x)的最小正周期可求出力的值，再由；结合9的取值范围求出/的值，由此

可得出函数y=/(x)的解析式；

(2)由xe葛计算出2%-3的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可得出函数y=/(x)的最大

值和最小值.

2九*1

【详解】⑴•••y=/(x)的最小正周期T=—=〃，二0=2,则〃x)=—sin(2x—e),

CD2

由/C；，得;sin(2x;e]=；,即cos°=：,又0<e<],"=q,

故〃x)=gsin(2x_?

3

、兀,,5兀兀，小兀，4兀

(2)V—<x<—，.——<2x—<——

126633

W-，

2

最大值为L,最小值为-也.

.,.y=/(x)在区间上

24

【点睛】本题考查利用正弦型三角函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上最值

的求解，解题时要充分利用正弦函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.

20.某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔f(单位：分钟)满足5WtW20,teN.经测算，该路无人驾

60-(r-10)2,5<z<10

驶公交车载客量p«)与发车时间间隔『满足:P”)=其中tGN.

60,10<f<20

⑴求p(5),并说明p(5)的实际意义;

（2）若该路公交车每分钟的净收益y=6'"）+24一J。（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车

t

每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.

【答案】（1）"（5）=35,发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）当发车时间间隔为6分钟时，该路

公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.

【解析】

【分析】

（1）将1=5代入函数y=p（f）的解析式，可计算出p（5）,结合题意说明p（5）的实际意义：

（2）求出函数y=6'0）+24一I的解析式,分别求出该函数在区间［5/0）和［10,20］上的最大值，比较

大小后可得出结论.

【详解】（1）.（5）=60-（5-10）2=35,实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；

6P")+24I。

t

360-6(10)2+24(216、

二当54/</0时，y=------i-----------10=110-6/+力’

任取5K%＜，246,则

*7]A、216)

%一%=110-64H-----110-6,2+---

\’17，2)

216(八—L)6(,2—%)(小2—36)

6(/2-ri)+-----=6(r2-，1)+

2’12K2

5<r,<r2<6,所以，J-4>0，25<t]t2<36,.,・必一>2<0,

216

所以，函数y=iio-|6/+增，同理可证该函数在区间［6,10）上单调递减，所

以，当/=6时，y取得最大值38；

当10W/W20时，y=6x6；+24_］0=2^L］0,该函数在区间［10,20］上单调递减,

则当"10时，y取得最大值28.4.

综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.

【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查分段函数最值的计算与实际应用，考查分析问题和解决问题

的能力，属于中等题.

21.已知/(x)=log(3'+l)+g依(xeR)是偶函数.

(1)求女的值;

(2)若函数y=/(x)的图象与直线y=(x+a有公共点，求。的取值范围.

【答案】(1)左=一1；⑵(0,+功.

【解析】

【分析】

(1)由偶函数的定义结合对数的运算性质可求出实数人的值；

(2)利用参变量分离法得出关于％的方程log3(l+!)=。有解，然后利用指数函数和对数的函数的基本

性质求出k)g3(l+")的取值范围，即可得出实数。的取值范围.

【详解】⑴=是偶函数，；./(—x)=/(x),，k)g3(3'+l)-gAx=log3(3*+l)+：丘，

f3-x+01_

化简得Iog3-+^=辰，即唾3彳=丘，，10g33r=依，.•.一X=履，

即(左+1)x=0对任意的XeR都成立，.•《=—1；

(2)由题意知，方程log3(3'+l)—；x=；x+a有解，

亦即log(3"+l)-x=a,即log3^—―=。有解，，log3|l+彳卜。有解，

由">0,得1+彘>1,.•.1呜［1+")>0,故a>(),即4的取值范围是(0,+8).

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，涉及对数运算性

质的应用，灵活利用参变量分离法能简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.

22.某地区上年度电价为0.7元/(ZW/),