江苏省扬中市2023-2024第二学期高二数学期末模拟试卷 （教师版）

PAGE9江苏省扬中市2023-2024第二学期高二数学期末模拟试卷姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（A）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（D）A.4 B.3 C.2 D.1【详解】令,故系数项的和为,故故被5除所得的余数为1.故选:3．已知，，，下列选项正确的是（B）A. B. C. D.【详解】因为，即，又，，所以，故A错误；又，故B正确；，故D错误；，故C错误.故选：B4．某种细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：存放温度x/℃20151050−5−10存活率y/%6142633436063计算得，，，，并求得经验回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值60录入有误，更正为.则更正后的经验回归方程为（A）A. B. C. D.【详解】依题意，设更正后的经验回归方程为，更正后，，，，，，所以更正后的经验回归方程为.故选：A5．在四棱柱中，，，则（D）A. B.C. D.【详解】因为，所以，所以，所以A错误因为，所以，所以,故选：D6．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（C）A.-1 B.1 C.0 D.e【详解】的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，由两条切线重合的条件，可得，且，则，即有，可得，则.故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于切线方程的分别求解，然后通过切线重合去分析变量之间的关系，其中涉及的指对互化对于计算有一定要求.7．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（A）A. B. C. D.【详解】比三场，甲赢的概率为；比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为；比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为；所以甲赢的概率为，所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为，故选：A.【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为.8．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（B）A.150种 B.210种 C.300种 D.540种【详解】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．所以每位同学的不同选修方式有种．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（AD）A.若随机变量，，则B.若随机变量，则方差C.从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为D.已如随机变量的分布列为，则【详解】A．，A正确；B．，，B错误；C．至少有一名女生的概率为，C错；D．，，，D正确．故选：AD．10．已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ABD）A.平面B.与平面所成角的余弦值为C.二面角的正弦值为D.点到平面的距离为【详解】对于AB，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：正方体的边长为1，，，，，，，，所以，，因为，所以，即，因为，所以，即，又，平面，所以平面，故A正确；设平面的一个法向量为，，则，即，不妨令，得，故，又因为，设直线与平面所成角为，则，所以与平面所成角的余弦值为，故B正确；对于C，如图：连接交于，连接，因为，O为BD的中点，所以，，平面，平面，所以是二面角的平面角，又，故，所以二面角的正弦值为，故C错误；对于D，如图：设点到平面的距离为，因为，所以，，因为，所以，所以，即点到平面的距离为，D正确.故选：ABD11．已知函数，，则（AB）A.当时，函数的极小值点为1B.当时，函数的递减区间为C.若在区间上单调递增，则D.若方程有三个实数解，则【详解】对于ABD，当时，，则，令，则或，令，则，所以函数的单调增区间为，减区间为，所以函数的极小值点为1，故AB正确；方程有三个实数解，即函数的图象有三个交点，又，当时，且，当时，，如图，作出函数的大致图象，由图可知，，故D错误；对于C，，若区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，即，即在区间上恒成立，又因为，所以，所以，故C错误.故选：AB.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12．一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.【详解】根据题意可知，可取，；（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）；（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球；第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）.故.故答案为：；.【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.13．已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________.【详解】设，则，因为，，所以，可得在上单调递增，不等式，即，即，所以，因为在上单调递增，所以，解得：，所以不等式的解集为：，故答案为：．14．已知三棱锥的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为__________，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为__________.【详解】（1）由已知可得，质点M移动1次后，在底面ABC上的概率为；（2）①若质点移动1次后，在点或点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为；②若质点移动1次后，在点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为.所以，点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为.（3）设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为，.①若质点移动次后仍然在底面ABC上，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为；②若质点移动次后在点，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为.所以，，所以有.又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，，所以，.故答案为：；.【点睛】思路点睛：每次移动后均有可能落在平面上或点上，设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为.讨论根据第次的情况，进而得出的关系.变形构造得出等比数列，根据等比数列的通项公式，即可得出答案.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．15．解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是：＝56：3，解得n＝10．因为通项：Tr+1＝•（﹣2）r•，当5﹣为整数，r可取0，6，于是有理项为T1＝x5和T7＝13440．（2）设第r+1项系数绝对值最大，则．解得，于是r只能为7．所以系数绝对值最大的项为T8＝﹣15360．（3）n+++…+9n﹣1＝10+9+92•+…+910﹣1•＝＝＝．16．某学校有两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐，此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为（1）记甲、乙、丙3位同学第二天选择餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望；（2）甲同学第几天去餐厅就餐的可能性最大？并说明理由.16．解：（1）设一位同学第2天选择去餐厅就餐的概率为，17．已知函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.17．解：（1）定义域为，即解得所以在单调递增（2）对任意，不等式恒成立，即恒成立，分离参数得.令，则.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，即，故的取值范围是.18．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.（1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.（i）求该零件为废品的概率；（ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，18．解：（1）由得：（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，则由题意可知，又，于是.（ii）.19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成角最小?（3）是