初中几何经典习题

初中几何例题

(1)如图1,图2,图3,在△ABC中，分别以ABAC为边，向△ABC外作正三角形,

正四边形，正五边形，BE,CD相交于点。.

①如图1,求证：；

②探究：如图1,NBOC=

如图2,ZBOC=

如图3,ZBOC=

(2)如图4,已知：AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正“边形的一组邻边；

AC,AE是以AC为边向aABC外所作正〃边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点

0.

①猜想：如图4,NBOC=°(用含”的式子表示);

②根据图4证明你的猜想.

(1)①证法一：•.•△A3。与aACE均为等边三角形，

AD=AB,AC^AE..............................................................................................2分

且ZBAD=NCAE=60°....................................................3分

/.ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即ND4C=ZBAE............................................................4分

:.^ABE^AADC.........................................................5分

B

证法二：•••△A3。与△ACE均为等边三角形，

AD=AB,AC=AE2分

且NA4D=NC4E=60°3分

.•.△ADC可由AABE绕着点A按顺时针方向旋转60。得到.......................4分

/.△ABE^AADC..................................................................................................5分

②120°,90°,72°..............................................................................8分（每空1分）

am。

(2)①"..............................................................................................................10分

n

②证法一：依题意，知和NC4E都是正〃边形的内角，AB=AD,AE=AC,

-G4E=d)18°'

n

ABAD-ZDAE=ZCAE-ZDAE,即ZBAE=ZDAC.................................11分

.•.△A5E2△ADC.................................................................................................12分

/.NABE=ZADC,­.•ZADC+ZODA=180°,/.ZABO+ZODA=180°..........13分

ZABO+ZODA+NDAB+ZBOC=360°,/.NBOC+NDAB=180°

ZBOC=180°-ZDAB=180°一("2)18°=360............................................二分

nn

证法二：同上可证△ABE也△ADC..................................................................12分

:.NABE=NADC,如图，延长BA交C。于口，

NAFD+ZABE+ZBOC=180°,幺

ZAFD+ZADC+ZDAF=180°.......................................13分/\/\F

ZBOC=ZDAF=1800-ABAD=.....................14分

n

证法三：同上可证△ABET^ADC..................................................................12分

/.ZABE=ZADC.­/ZBOC=180°—(NABE+ZABC+ZACB+ZACD)

ZBOC=180°-(ZADC+ZABC+ZACB+ZACD)

ZABC+ZACB=180°-ABAC,ZADC+ZACD=180°-ZDAC

ZBOC=180°-(3600-ABAC-ZDAC)............................................................13分

am。

即ZBOC=180°-ZBAD=.........14分

n

证法四：同上可证△ABET^ADC........................................................................12分

ZAEB=ZACD.如图，连接CE,•/ZBEC=ZBOC+ZOCE0

ZAEB+ZAEC=ZBOC+ZACD-ZACE/\

ZBOC=ZAEC+ZACE.............................................13分E/AD

即ZBOC=1800-ZCAE=.......................................14分I

注意：此题还有其它证法，可相应评分BC

请阅读下列材料：

问题：如图1,在菱形ABC。和菱形BEFG中，点AB,E在同一条直线上，尸是线段

a（a+6）（a-b）的中点，连结尸GPC.ZABC=ZBEF=60°,探究PG与尸C的位置关系

及一的值.

PC

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点X,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及空的值；

PC

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形8E~G的对角线8尸恰好与菱形

4BC。的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的

两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

（3）若图1中==2呢0°<a<90°）,将菱形BEFG绕点8顺时针旋转任意角度,

原问题中的其他条件不变，请你直接写出上的值（用含以的式子表示）.

PC

【解析】⑴线段PG与PC的位置关系是PGJ.PC；

旦收..............................2分

PC一

⑵猜想：（1）中的结论没有发生变化.

证明：如图，延长GP交AO于点”，连结CH,CG.

•.•尸是线段。尸的中点，

FP=DP.

由题意可知AZ)〃FG.

NGFP=ZHDP.

■：NGPF=ZHPD,

.•.△GFP冬AHDP.

/.GP=HP,GF=HD.

・••四边形ABC。是菱形，

/.CD=CB,ZHDC=ZABC=60°.

由ZABC=ZBEF=60°,且菱形BEFG的对角线3尸恰好与菱形ABCD的边AB

在同一条直线上，

可得NG3C=60°.

・•.ZHDC=ZGBC.

;四边形3EFG是菱形，

・•.GF=GB.

HD=GB.

:.&HDC”丛GBC.

/.CH=CG,ZDCH=ZBCG.

・•.ZDCH+ZHCB=ZBCG+ZHCB=120°.

即ZHCG=120°.

•・•CH=CG,PH=PG,

・•・PG上PC,ZGCP=ZHCP=60°.

PGr-

.....................................................................................................................6分

PG

⑶=tan(90°-a).........................................................................................................8分

PC

如图，等腰梯形ABC。中，AB=4,CD=9,ZC=60°,动点P从点C出发沿CD方向向

点。运动，动点Q同时以相同速度从点O出发沿ZM方向向终点A运动，其中一个动

点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.

(1)求40的长；

(2)设CP=x,问当x为何值时△「£>()的面积达到最大，并求出最大值；

(3)探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M,并

求出的长；不存在，请说明理由.

(第25题图)

CD

(备用图)

（1）解法一：如图25-1

过A作AELC。，垂足为E.

9-45

依题意，DE=--=-.'2分

22

在Rt—DE中，AD="，2=5.5分

cos6002

解法二：如图25-2图25-1

过点A作AE//BC交CD于点E,则CE=AB=4.-2分

ZAED=ZC=60°.

XVZD=ZC=6Q°,

...△A即是等边三角形.

：.AD=DE=9~4=5.…”

（2）解：如图25-1

•：CP=x,及为尸。边上的高，依题意，△■?£）（）的面积S可表示为:图25-2

1

S=-PD•h....6分

2

=—(9—X)•X•sin60°

2

V3,

=——(9%—x2)

4

由题意，知0W尤W5..............................................9分

g01A?

当%=一时（满足0WxW5）,S最大值=-----........................10分

216

（3）证法一：如图25-3

假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ.

9

于是9—x=x,x=—.

2

此时，点尸、Q的位置如图25-3所示，连QP.

△尸。Q恰为等边三角形.

过点。作0M〃。。，交BC于点M即为所求.

连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形.

易证△MCP四△Q£）P,ZD=Z3.MP=PD

J.MP//QD,四边形PDQM是平行四边形.

又MP=PD,四边形PDQM是菱形.13分

91

所以存在满足条件的点M，且MC=5——=—•...............14分

22

［注］本题仅回答存在，给1分.

证法二：如图25-4

假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ.11分

于是91%=x，x=—.

2

此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△尸。Q恰为等边三角形.

过点。作DOLPQ于点。，延长D。交BC于点M,连结PM、QM,则DM垂直

平分风），MP=MQ.

易知N1=NC.

：.PQ//BC.

X".'DOXPQ,：.MC±MD

1

：.MP=—CD=PD

2

图25-4

BPMP=PD=DQ^QM

...四边形POQM是菱形……13分

91

所以存在满足条件的点且8M=BC—MC=5——=—........................14分

22

已知矩形A8CD和点P,当点P在8C上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论:

PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究：当点尸分别在图（2）、图（3）中的位置时,

PA\PB\PC?和PD?又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结

论，并利用图（2）证明你的结论.

答：对图（2）的探究结论为______

对图（3）的探究结论为______

证明：如图（2）

图①图③

结论均是融2+2。2=「乐+尸。2（图22分，图31分）

证明：如图2过点尸作MNL4O于点交8C于点M

因为4D〃8C,MNLAD,所以MN_L8C

在RtA4M尸中，PA1=PM2+MA2

在Rt/XBN尸中，PB2=PN2+BN2

在Rt/XOMP中，PDZ=DM1+PM2

在RtZ\CNP中，PC2=PN2+NC2

所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2

尸炉+PD2=PM-+DM2+BN2+PN2

因为MN_L4。，MNINC,DC±BC,所以四边形MNCD是矩形

所以MD=NC,同理AM=BN,

所以PM2+MA2+PN2+NC1=PM2+DM2+BN2+PN2

即PA2+PC2^PB2+PD1

如图，以矩形0A2C的顶点。为原点，。4所在的直线为x轴，0C所在的直线为y轴，建

立平面直角坐标系.已知04=3,0c=2,点E是AB的中点，在。4上取一点D,将△2DA

沿2。翻折，使点A落在BC边上的点P处.

(1)直接写出点E、f的坐标；

(2)设顶点为尸的抛物线交y轴.半轴于点尸，且以点E、F、P为顶点

的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNEE的周长

最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.

解：⑴解3,1)；尸(1,2).

(2)在中，ZB=90°,

EF=^EB2+BF2=Vl2+22=V5.

设点P的坐标为(0,n),其中〃>0,

•••顶点F(L2),

设抛物线解析式为y=a(x-1)z+2(。*0).

①如图①，当所=P歹时，EF2=PF2,

l2+(n-2)2=5.

解得巧=0(舍去)；%=4.

/.P(0,4).

/.4=tz(0-l)2+2.

解得a=2.

/.抛物线的解析式为y=2(x-Ip+2

(第22题图①)

②如图②，当=时，EP。=FP。，

（2-n）2+l=（l-n）2+9.

解得〃=一9（舍去）.

2

③当=时，EP=也＜3,这种情况不存在.

综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x-l）2+2.

（3）存在点M,N,使得四边形MNRE的周长最小.

如图③，作点E关于x轴的对称点E',作点R关于y轴的对称点歹'，连接EW',分别与

x轴、y轴交于点M,N,则点M,N就是所求点.

.♦.E'(3,-l),Fz(-L2),NF=NF',ME=ME,.

BFr=4,BE'=3.

FN+NM+ME=F/N+NM+ME'=F"E'+42=5.

又•：EF=也,

（第22题图③）

FN+NM+ME+EF=5+45,此时四边形MNFE的周长最小值是5+也.

如图1,四边形ABCD是正方形，G是C。边上的一个动点（点G与C、。不重合），以CG

为一边在正方形ABC。外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段8G、

线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段QE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a,

得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否

仍然成立,并选取图2证明你的判断.

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6）,且BC=b,CE=ka,CG=kb（a丰b,

左〉0）,第⑴题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说

(3)在第(2)题图5中，连结DG、BE,且a=3,b=2,k=g,求+的值.

⑴①BG=DE,BG±DE....................................................................................

2分

②BG=DE,BGLDE仍然成

立.........................................1分

在图(2)中证明如下

•..四边形A3C。、四边形A5CD都是正方形

BC=CD,CG=CE,NBCD=NECG=90°

ZBCG=ZDCE.......................................................................................1分

/.ABCG=M)CE(SAS)........................................................................

1分

BG=DEZCBG=ZCDE

又NBHC=ZDHOZCBG+NBHC=90°

ZCDE+NDHO=90°；.NDOH=90°

BGIDE..................................................................................................1分

(2)BGLDE成立,BG=DE不成立.......................................

2分

简要说明如下

•..四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，

且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a手b,k>0)

：.^£=—=-,ZBCD=ZECG=90°

DCCEa

：.ZBCG=ZDCE

ABCG口M)CE.............................................................................................1分

ZCBG=NCDE

又ZBHC=ZDHONCBG+NBHC=90°

ZCDE+ZDHO=90°ZDOH=90°

BGA.DE............................................................1分

(3)BG1DE：.BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2

又,；a=3,b=2,k——

2

BD2+GE2=22+32+l2+(|)2=y.....................................1分

BE2+DG~=—........................................................1分

4

正方形ABCD中，点。是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFLCD于点

F。如图1,当点P与点。重合时，显然有DF=CF.

⑴如图2,若点P在线段A0上(不与点A、0重合)，PELPB且PE交CD于点E。

①求证：DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

⑵若点P在线段0C上(不与点0、C重合)，PEJ_PB且PE交直线CD于点E。请完成图3

并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论(所写结论均不必证

⑴①略；②PC—PA=V2CE；⑵结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数

量关系是PA—PC=J^CE；

将一矩形纸片。45c放在平面直角坐标系中，。(0,0),A(6,0),C(0,3).动点Q从点。

2

出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动一秒时，动点P从点A出发以相

3

等的速度沿A。向终点。运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点P的运

动时间为秒).

(1)用含。的代数式表示OP,OQ；

(2)当/=1时，如图1,将△OPQ沿PQ翻折，点。恰好落在C3边上的点。处，求点。

的坐标；

(3)连结AC,将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ,如图2.问：PQ与AC能否平行?

PE与AC能否垂直？若能，求出相应的/值;若不能，说明理由.

图2

(第24题图)

(2)当/=1时，过。点作交0A于如图1,

54

则DQ=QO=：，QC=§，

CD=1,.•.0(1,3).

(3)①PQ能与AC平行.

若尸。〃AC,如图2,则一=—,

OQ0C

即而OWfWL

”393

3

14

t----.

9

②PE不能与AC垂直.

若PELAC,延长QE交。4于尸，如图3,

2

喂嘿然々

QF=

：.EF=QF-QE=QF-OQ

=(Vs—i)/+—(Vs—1).

PEOC

又­.­RtAEPFsRtA0C4,——=—

EFOA

.6T_3

(V5+6

7

/.t~3.45,而0W/W—,

3

.」不存在.

(1)探究新知：

如图1,已知△ABC与△ABO的面积相等,

试判断AB与C。的位置关系，并说明理由.

(2)结论应用:

①如图2,点M,N在反比例函数>=4(4>0)的图象上，过点M作MELy轴，过

点N作NFLx轴，垂足分别为E,F.

试证明：MN//EF.

OX

D'

②若①中的其他条件不变，只改变点M,N

的位置如图3所示，请判断与所是否平行.

（1）证明：分别过点C,。，作CGLAB,DHLAB,

垂足为G,H,则NCGA=N£WB=90。.....1分

\CG//DH.

：ZXABC与△A8D的面积相等，

*.CG=DH............................2分

•.四边形CGH。为平行四边形.

y

*.AB//CD..................................................3分

E

(2)①证明：连结MF,NE....................….4分

设点M的坐标为（即，乃），点N的坐标为（入2，、2）.

•.•点M,N在反比例函数y=人（k>0）的图象上，

O

X

•西%—k9%2,2=k♦

轴，NF_Lx轴，图2

，

OE=yiOF=X2.y

•<-13E

••~x\'y\=^K9••••5分

SAEFN=3X2.y?=]k.....6分

D

S/\EFM=S/\EFN・..........7分

由(1)中的结论可知：MN//EF.…8分

②MN//EF...................10分

（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分.）图3

经典试题练习

1、已知：如图，AB=AC,D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F。

求证：FB=FCo

2、已知：如图，AB、CD交于。点，CE//DF,CE=DF,AE=BF„

求证：ZACE=ZBDF«

3、已知：如图，AABC中，AD_LBC于D,E是AD上一点，BE的延长线交AC于F,若

BD=AD,DE=DCo

求证：BF±ACo

4、已知：如图，Z\ABC中，AD是BC边上的中线。

AD<-(AB+AC)

求证:

5、证明：有两对角及其中一对角的平分线对应相等的两个三角形全等。

6、已知：如图，AB、CD交于0点,且OA=OB,OC=OD,过。作直线，交AC于E,交

BD于F。

求证：OE=OFo

7、己知：如图，AB=AD,CB=CD,E是AC上一点，求证：EB=ED„

8、己知：如图，AB=CD,AD=BC,0是AC中点，OE_LAB于E,OF_LDC于F。

求证：OE=OF。

9、已知：如图，AC±OB,BD±OA,AC与BD交于E点，若OA=OB,

求证：AE=BEo

10、已知：如图，AB//DE,AE//BD,AF=DC,EF=BC。

求证：△AEFgZ\DBC。

11、已知：如图，AB±BC,AD±DC,AB=AD,若