4.2.2指数函数的图象和性质(1)课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数4.2

指数函数4.2.2指数函数的图象和性质(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.会利用指数函数的性质比较两个幂值的大小．活动方案下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数．首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质．先从简单的函数y＝2x开始．活动一指数函数的图象和性质思考1►►►请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y＝2x的图象.【解析】0.25

0.5

1

2

4x－2－1.5－1－0.500.511.52y

0.35

0.71

1.41

2.83

思考3►►►选取底数a(a>0，且a≠1)的若干个不同的值，

在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、

公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域和性质吗？【解析】

如图，选取底数a的若干值，用信息技术画图，发现指数函数y＝ax的图象按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型．因此，指数函数的性质也可以分0<a<1和a>1两种情况进行研究．一般地，指数函数的图象和性质如下所示．例

1

当a>0，a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________.【解析】

当a>0且a≠1时，总有f(2)＝a2－2－3＝a0－3＝1－3＝－2，所以函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．【答案】(2，－2)例

2比较下列各组数中两个值的大小：(1)1.52.5,1.53.2；活动二指数函数的图象与性质的应用【解析】

考察指数函数y＝1.5x.因为1.5>1，所以y＝1.5x是增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.5－1.2,0.5－1.5；【解析】

考察指数函数y＝0.5x.因为0<0.5<1，所以y＝0.5x是减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【解析】

考察指数函数y＝1.5x.因为1.5>1，所以y＝1.5x是增函数．又因为0.3＞0，所以1.50.3＞1.50＝1.同理0.81.2＜0.80＝1，故1.50.3>0.81.2.(3)1.50.3,0.81.2.比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如例2的(1)、(2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其他数值．比较下列各组数中两个值的大小：(1)30.8,30.7；【解析】

因为3>1，所以指数函数y＝3x是增函数．因为0.8>0.7，所以30.8>30.7.(2)0.75－0.1,0.750.1；【解析】

因为0<0.75<1，所以指数函数y＝0.75x是减函数．因为－0.1<0.1，所以0.75－0.1>0.750.1.(3)1.012.7,1.013.5；【解析】

因为1.01>1，所以指数函数y＝1.01x是增函数．因为2.7<3.5，所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3,0.994.5.【解析】

因为0<0.99<1，所以指数函数y＝0.99x是减函数．因为3.3<4.5，所以0.993.3>0.994.5.例

3

(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；【解析】

因为3>1，所以指数函数y＝3x是增函数．由3x≥30.5，可得x≥0.5，故实数x的取值范围为[0.5，＋∞)．(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．

通过函数值的大小关系来寻找出自变量的取值范围是单调性运用的又一常用方法．不等式2x2－x＜4的解集为________.【解析】

由题意得x2－x<2，解得－1<x<2，故不等式的解集为(－1,2)．【答案】(－1,2)活动三与指数函数有关的定义域和值域问题(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，还需注意：在求形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数值域时，先求得f(x)的值域(即函数t＝f(x)中t的范围)，再根据y＝at的单调性，列出指数不等式(组)，得出at的范围，即y＝af(x)的值域．例

5

如图，某城市人口呈指数增长．(1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；(2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？活动四指数函数的图象与性质的实际应用【解析】(1)观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．(2)因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．检测反馈245131.(2022·桂林高一期中)函数y＝5－